第2章 二元一次方程组 单元测试-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

第2章 二元一次方程组 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的定义是：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是的方程． 根据二元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，分母中含有未知数，是分式方程，故该选项不符合题意； B. ，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是，是二元一次方程，故该选项符合题意； C. ，含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是，是二元二次方程，故该选项不符合题意； D. 含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：B ． 2．已知二元一次方程，下列是此方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解，练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 将各选项中的值代入方程，看是否满足方程即可． 【详解】解：A.当时， 不是方程，故该选项不符合题意； B.当时，， 不是方程，故该选项不符合题意； C.当时，， 不是方程，故该选项不符合题意； D.当时，， 是方程，故该选项符合题意； 故选：D ． 3．用加减法解方程组，下列解法正确的是（   ） A．①②消去 B．①②消去 C．①②消去 D．①②消去 【答案】D 【分析】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法， 用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元． 根据加减消元法解二元一次方程组逐项判断即可解答． 【详解】解：A、①②，不能消去x，故选项错误，不符合题意； B、①②，不能消去y，故选项错误，不符合题意； C、①②，不能消去x，故选项错误，不符合题意； D、①②，消去y，故选项正确，符合题意． 故选D． 4．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．2 B．4 C．0 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了方程组的解．将方程组的解代入得的新的二元一次方程组，然后观察发现，两式相加即可完成解答． 【详解】解：把代入方程组得：， ①②得：， 则， 故选：A． 5．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足1尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺?可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键．根据题意，直接列方程组即可． 【详解】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺， 根据题意，得， 故选：A． 6．若x、y满足方程组，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤是解答的关键．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得， 解得， 故选：D． 7．有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为（   ） A．15 B．10 C．8 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是方程思想的应用，由大的长方形的长相等可得，再把看做是整体解方程即可. 【详解】解：由题意得：， 整理得： ， 故选：D． 8．m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（   ） A．1 B． C．5 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质．根据相反数的性质得到，得到，求得，再得到，进一步计算即可得解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 9．关于x，y 的方程组 的解也是二元一次方程的解，则 m的值是 （     ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组，正确求出、的值是解题的关键． 先求出方程组的解，然后代入方程中即可求出的值． 【详解】解：， ②①得，，即， 把代入①得，， 把、的值代入中，得， 解得：． 故选：C． 10．张老师要往外地寄运一些资料，将资料用纸包好后成长方体形状，如图所示，张老师准备了一根包装绳，若采用方式①，绳子还剩余24厘米；若采用方式②，绳子刚好用完；若采用方式③，绳子还剩余64厘米．绳子长（    ）（绳子结头处长度忽略不计） A．308厘米 B．318厘米 C．328厘米 D．338厘米 【答案】C 【分析】本题考查列方程组解决实际问题，由题意列出方程组是解题的关键．由题意列方程组即可求解． 【详解】解：设绳长为厘米，由题意得 又因为，方程组整理为 解得 绳子长为厘米． 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共18分． 11．已知方程 是关于x的二元一次方程，则 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义得到且，解题即可． 【详解】解：∵ 是关于x的二元一次方程， ∴，解得， 故答案为：． 12．将方程改写成用含的式子表示的形式为： ． 【答案】/ 【分析】本题考查解二元一次方程，涉及等式的性质，将方程左边的移到右边、方程右边的移到左边即可得到答案，熟练掌握解移项法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 移项得， 故答案为：． 13．一个笼子装有鸡和兔，共有10个头，34只脚，设鸡有只，兔有只，则可列二元一次方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设鸡有只，兔有只，根据共有10个头，34只脚，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设鸡有只，兔有只，根据题意得 故答案为：． 14．若，则 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，求代数式的值，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 联立成方程组，从而可求得的值，再代入所求的式子运算即可． 【详解】解：由题意得：， 由得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴， ∴， 故答案为：22． 15．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次次方程组的解是解题的关键． 令，，得到关于X和Y的二元一次方程组的解，再代入并求出x和y即可求解． 【详解】解：令，，则方程组可变形为： ， ∵方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1．现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了列代数、整式的运算、配方法、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解成为解题的关键．设下方竖着放的有a个（），上方竖着放的有b个（），则正方形的边长为，一共摆了个礼盒；然后根据留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的得到，然后运用列举法确定a的值成为解题的关键． 【详解】解:设下方竖着放的有a个（），上方竖着放的有b个（），则正方形的边长为，一共摆了个礼盒 这些礼盒的面积为， ∴阴影部分的面积为：， ∵留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴当时，不是整数，不符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； ∴正方形的边长为． 故答案为：10． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法直接解方程组即可； （2）利用加减消元法直接解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由，得，解得． 将代入，得，解得． 原方程组的解是． （2）解：， 由，得，解得． 将代入，得，解得． 原方程组的解是． 18．已知方程组的解满足x是y的5倍，求a的值． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，根据题意得到，解方程组得到，，再代入方程即可求出a的值． 【详解】解：由题意，得 把②代入①，得． 把代入②，得． 把，代入得到， 得． 19．解二元一次方程组， (1)小明同学是这样做的∶由②得，③， 将③代入①得∶， 解得y的值，从而解得x的值，则方程组的解可求． 小明同学使用的方法是______消元； (2)小华同学使用了另一种消元方法解这个方程组，请你帮小华写出解题过程； (3)两位同学都通过消元法实现了从“二元”到“一元”，都是用______思想解决问题的． 【答案】(1)代入 (2) (3)转化 【分析】（1）根据小明的解题过程可知是用的代入消元法解方程组，即可得到答案； （2）由得，②③得，，解得，把代入①得，解得，即可得到方程组的解； （3）无论代入法和加减法都是体现的转化思想，即可得到答案． 【详解】（1）解：小明同学是这样做的∶由②得，③， 将③代入①得∶， 解得y的值，从而解得x的值，则方程组的解可求． 小明同学使用的方法是代入消元； 故答案为：代入 （2） 由得， ②③得，， 解得， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解是 （3）两位同学都通过消元法实现了从“二元”到“一元”，都是用转化思想解决问题的． 故答案为：转化 【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 20．如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 【答案】小长方形花坛的长为，宽为 【分析】设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为．构造方程组解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形花坛的长为，宽为，则长方形的绿化带的长是，宽为． 根据题意，得     解得 答：小长方形花坛的长为，宽为． 21．某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表： 胜/场 平/场 负/场 积分 A队 8 2 2 26 B队 6 5 1 23 C队 5 7 0 22 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？ 【答案】每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分 【详解】解：设每队胜1场积x分，平1场积y分，负1场积z分． 根据题意，得，解得， 故每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分． 22．某地有一片蔬果采摘园，小美一家决定去采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬菜一共30千克，共支付了120元． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，父母决定让小美将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售价格分别是每千克7元和每千克元，求西红柿和土豆全部售出后共计获利多少元？ 【答案】(1)西红柿采摘了，土豆采摘了 (2)西红柿和土豆全部售出后共计获利20元 【分析】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系正确列出相应方程是解题的关键． （1）设西红柿采摘了，土豆采摘了，根据题意列出二元一次方程组，解答即可． （2）根据题意列出算式求值获得的利润即可． 【详解】（1）解：设西红柿采摘了，土豆采摘了． 根据题意得， 解得． 答：西红柿采摘了，土豆采摘了． （2）解： （元） 答：西红柿和土豆全部售出后共计获利20元． 23．阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种购买方案：方案一：购买8本笔记本和5支钢笔；方案二：购买1本笔记本和10支钢笔 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解材料提示的计算方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意，是的倍数，则可以取的值有，由此代入计算即可； （3）设购买本笔记本，支钢笔，由此列二元一次方程组，结合材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵方程的解为正整数， ∴， 解得，， ∵是正整数， ∴是的倍数， ∴当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴方程的正整数解为； （2）解：∵为自然数，且，是的倍数， ∴， 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； 当时，原式的值为，是自然数，符合题意， ∴； ∴满足条件的整数有4个， 故答案为：4； （3）解：设购买本笔记本，支钢笔， ∴， ， 又均为正整数， 为5的正整数倍数， 或， 故有如下两种购买方案： 方案一：购买8本笔记本和5支钢笔； 方案二：购买1本笔记本和10支钢笔． 24．对于一个四位正整数，如果其十位数字等于千位数字减去百位数字，个位数字等于百位数字减去十位数字，则称这个四位数为“山峰数”．对于一个“山峰数”（a、b、c、d是整数且，、c、），它的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作t；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作s，规定：． 例如：，因为，，故3211是一个“山峰数”， ，，则． (1)判断6514和9542是否是“山峰数”，如果是，求出相应的； (2)记最小的“山峰数”M的各个数位数字之和为m．若“山峰数”A满足被3整除，并且．求所有满足条件的“山峰数” 【答案】(1)是一个“山峰数”，，不是一个“山峰数” (2)3211，5321，7431，9541 【分析】（1）根据“山峰数”定义判断出即可； （2）先求出最小的“山峰数”，从而得出，设“山峰数”A的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为，个位数字为，求出，再根据“山峰数”A满足被3整除，并且得出a和b，即可得出答案 【详解】（1），因为，，故是一个“山峰数”， ，，则． ，因为，，故不是一个“山峰数”， （2）∵M是最小的“山峰数”, ∴，∴ 设“山峰数”A的千位数字为a，百位数字为b，则十位数字为，个位数字为， ∴， ∴ ∵“山峰数”A满足被3整除 ∴能被3整除并且 ∴ ∵， ∴且 ∵ ∴，，， ∴满足条件的“山峰数”为3211，5321，7431，9541 【点睛】本题主要考查了整式的加减，数字变化的规律，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 二元一次方程组 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第2章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列各方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二元一次方程，下列是此方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．用加减法解方程组，下列解法正确的是（   ） A．①②消去 B．①②消去 C．①②消去 D．①②消去 4．已知是方程组的解，则的值是（   ） A．2 B．4 C．0 D．7 5．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足1尺．木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺?可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若x、y满足方程组，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 7．有四个完全相同的小长方形和两个完全相同的大长方形按如图所示的方式摆放，若小长方形的长为x，宽为y，则的值为（   ） A．15 B．10 C．8 D．5 8．m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（   ） A．1 B． C．5 D．14 9．关于x，y 的方程组 的解也是二元一次方程的解，则 m的值是 （     ） A． B．3 C．2 D． 10．张老师要往外地寄运一些资料，将资料用纸包好后成长方体形状，如图所示，张老师准备了一根包装绳，若采用方式①，绳子还剩余24厘米；若采用方式②，绳子刚好用完；若采用方式③，绳子还剩余64厘米．绳子长（    ）（绳子结头处长度忽略不计） A．308厘米 B．318厘米 C．328厘米 D．338厘米 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共18分． 11．已知方程 是关于x的二元一次方程，则 12．将方程改写成用含的式子表示的形式为： ． 13．一个笼子装有鸡和兔，共有10个头，34只脚，设鸡有只，兔有只，则可列二元一次方程组 ． 14．若，则 ． 15．若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 16．如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1．现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．解下列二元一次方程组： (1)； (2)． 18．已知方程组的解满足x是y的5倍，求a的值． 19．解二元一次方程组， (1)小明同学是这样做的∶由②得，③， 将③代入①得∶， 解得y的值，从而解得x的值，则方程组的解可求． 小明同学使用的方法是______消元； (2)小华同学使用了另一种消元方法解这个方程组，请你帮小华写出解题过程； (3)两位同学都通过消元法实现了从“二元”到“一元”，都是用______思想解决问题的． 20．如图，在长为，宽为的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽． 21．某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表： 胜/场 平/场 负/场 积分 A队 8 2 2 26 B队 6 5 1 23 C队 5 7 0 22 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？ 22．某地有一片蔬果采摘园，小美一家决定去采摘一些新鲜蔬果．已知西红柿和土豆两种蔬菜的价格分别是每千克6元和每千克3元，采摘这两种蔬菜一共30千克，共支付了120元． (1)求西红柿和土豆各采摘了多少千克？ (2)为了让小美去体验生活，父母决定让小美将采摘的蔬菜拿去售卖，已知西红柿和土豆的销售价格分别是每千克7元和每千克元，求西红柿和土豆全部售出后共计获利多少元？ 23．阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由，得（为正整数），，则有． 又为正整数，为正整数， 为3的正整数倍数，从而， ，的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解：_____； (2)若为自然数，则满足条件的整数有_____个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本5元的笔记本与单价为每支7元的钢笔两种奖品，共花费75元，问有哪几种购买方案？ 24．对于一个四位正整数，如果其十位数字等于千位数字减去百位数字，个位数字等于百位数字减去十位数字，则称这个四位数为“山峰数”．对于一个“山峰数”（a、b、c、d是整数且，、c、），它的千位数字和百位数字组成的两位数为，十位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作t；它的千位数字和十位数字组成的两位数为，它的百位数字和个位数字组成的两位数为，将这两个两位数求和记作s，规定：． 例如：，因为，，故3211是一个“山峰数”， ，，则． (1)判断6514和9542是否是“山峰数”，如果是，求出相应的； (2)记最小的“山峰数”M的各个数位数字之和为m．若“山峰数”A满足被3整除，并且．求所有满足条件的“山峰数” 2 学科网（北京）股份有限公司 $$