第1章 二次根式 单元测试-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第1章 二次根式 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B．2 C． D．4 4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 7．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 8．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．7 B． C． D．无法确定 9．如果满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 10．摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共18分． 11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 12．计算： ． 13．当式子取最小值时， ． 14．若是最简二次根式且，则 ． 15．如图，规定上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即．若，则的值为 ． 16．分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．计算： (1)； (2)． 18．计算：． 19．一次数学活动课上，江老师要求大家化简，下面是小西和小赣两位同学的运算过程： 小西： 原式 小赣： 原式 (1)小赣第一步的运算依据是______； (2)江老师认为小西和小赣两人都错，现请你写出正确的运算过程； (3)若a，满足，求这个式子的值． 20．如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 21．认真阅读下列解答过程：比较与的大小． 解：因为， ， 且，所以， 即． 请仿照上述方法比较与的大小关系． 22．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当___________时，有最小值为___________． (2)当时，求的最小值． 23．若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与_____是关于3的平衡数；与_____是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数： (3)已知，，m，n为整数，a和b是关于3的平衡数，则_____． 24．如图，在中，，，，，． (1)如图1，连接，，当时，求的面积； (2)如图2，点G在线段上，连接，点N在线段上，连接BN，当时，求线段，，的关系； (3)点G在射线上，连接，点N在线段上，连接，且，连接，取的中点M，连接，若，当最小时，求出的面积． 小明在刚看到这个问题的时候不知道怎么思考，在用几何画板作图时，意外发现当点N在上移动时，点M也沿着一条直线运动，马上建立直角坐标系进行了验证，发现点M的运动轨迹确实是一条直线，请你根据小明的发现求解，并写出主要过程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次根式 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的判断，根据二次根式的定义：形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、当时，不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意； 故选：D． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判定，根据最简二次根式的要求：被开方数不含能开得尽方的因数；被开方数不含分母，由这两条逐项判定即可得到答案，熟记最简二次根式的要求是解决问题的关键． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、中被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．计算的结果是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，根据，进行化简求值，即可作答． 【详解】解：， 故选：B 4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式为同类二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选C． 5．下面计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的加减运算法则、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则及二次根式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，故选项符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. 和不是同类二次根式，不能相加，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，原计算错误，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的乘法，二次根式的除法，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 6．将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质得把放到根号内并变为，即可得到答案，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 7．已知，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的性质．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 8．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 9．如果满足，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和绝对值的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出的范围，把原式化简，计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期T（单位：s），周期公式为，其中l（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在内该摆钟发出滴答声的次数约为（   ）（结果保留整数；参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的应用．根据公式求出一个周期，即可求出在内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解：一个周期， ∵， ∴在内该摆钟发出滴答声的次数约为； 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共18分． 11．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 13．当式子取最小值时， ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的非负性，因为式子取最小值，则，解出，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵式子取最小值， ∴， 解得， 故答案为：3． 14．若是最简二次根式且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．根据同类二次根式的定义得出，再求出的值，由，得到，代入计算即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，规定上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据新规定，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，, 得：， 解得：， 故答案为：． 16．分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：，观察此算式规律回答问题，已知，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了分母有理数化，完全平方公式，先将m进行化简，再将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 【详解】解： ∴ ， 故答案为：0． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，进行计算，即可． （1）先化简，去绝对值，然后根据二次根式的加减，进行计算，即可； （2）先化简，然后根据二次根式的加减运算，进行计算，即可． 【详解】（1）解： 原式 ． （2）解： 原式 ． 18．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】 ． 19．一次数学活动课上，江老师要求大家化简，下面是小西和小赣两位同学的运算过程： 小西： 原式 小赣： 原式 (1)小赣第一步的运算依据是______； (2)江老师认为小西和小赣两人都错，现请你写出正确的运算过程； (3)若a，满足，求这个式子的值． 【答案】(1)乘法分配律 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，绝对值的非负性，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）观察小赣同学的解题过程，即可确定运算依据； （2）先算括号内同分母的分式减法，再算除法即可； （3）根据非负性，分别求出a，b的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：小赣第一步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （2）解：原式 ； （3）解：满足， ，， 原式． 20．如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)求剩余木料的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，再求出原矩形木板的长为，宽为，进而根据矩形的面积得到答案； （2）求出剩余木料的长为，宽为，进而可得出答案． 【详解】（1）解：（1）∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为，， ∴原矩形木板的长为，宽为， ∴原矩形木板的面积为； （2）解：剩余木料的长为，宽为， ∴剩余木料的周长为． 21．认真阅读下列解答过程：比较与的大小． 解：因为， ， 且，所以， 即． 请仿照上述方法比较与的大小关系． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据示例中的方法，把与分子有理化，再比较大小即可． 【详解】解：因为， ， 且， 所以，即． 22．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：，，又，，当时取等号．的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当___________时，有最小值为___________． (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)4，8 (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答． （1）根据阅读中的公式计算即可； （2）先配方，化简，运用公式计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ，即时，的最小值为8． 故答案为：4，8； （2）解：， ， ， 又， ，即， 的最小值为． 23．若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与_____是关于3的平衡数；与_____是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数： (3)已知，，m，n为整数，a和b是关于3的平衡数，则_____． 【答案】(1)， (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据若，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可； （2）先得，因为，故，再结合“3的平衡数”的定义进行分析，即可作答． （3）先得，则， 因为，所以，解得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，与是关于3的平衡数； 则， 与是关于3的平衡数， 故答案为：， （2）解：依题意，， ∵ ， ∴， 解得， ∴， 则 ∴与是关于3的平衡数； （3）解：∵，a和b是关于3的平衡数， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵m，n为整数， ∴ ∴ ， 故答案为：． 24．如图，在中，，，，，． (1)如图1，连接，，当时，求的面积； (2)如图2，点G在线段上，连接，点N在线段上，连接BN，当时，求线段，，的关系； (3)点G在射线上，连接，点N在线段上，连接，且，连接，取的中点M，连接，若，当最小时，求出的面积． 小明在刚看到这个问题的时候不知道怎么思考，在用几何画板作图时，意外发现当点N在上移动时，点M也沿着一条直线运动，马上建立直角坐标系进行了验证，发现点M的运动轨迹确实是一条直线，请你根据小明的发现求解，并写出主要过程． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，连接，根据等腰直角三角形的性质以及已知条件得出，进而可得，结合已知线段的长度以及勾股定理分别求得，即可求解； （2）延长交于点，连接，证明，得出即，根据是等腰直角三角形，则，得出； （3）根据题意得出在射线上运动，当时，取的最小值；进而证明，再求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， ∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，延长交于点，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴， 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴即， 又∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∴，即； （3）解：依题意在射线上运动， ∴当时，取得最小值； 证明如下：如图所示，取的中点，连接，， 同（2）可得， ∵是的中点，， ∴，， 设，， ∵， ∴，则， ∴； 同理可得， ∴，， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴； 即在射线上运动； ∴当时，取的最小值； 如图所示，∵， ∴， 即， ∴点M在射线上运动； 过点作于点，过点作于点， 则； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，二次根式的混合运算；熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$