18.1.1 第2课时 平行四边形对角线的性质-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（人教版 2012）

第2课时平行四边形对角线的性质 A基题 知识点1平行四边形的对角线互相平分 1.(2023·益阳)如图，□ABCD的对角线AC, BD相交于点O,则下列结论一定成立的是 A.OA=OB D B.OA⊥OB C.OA=OC D.∠OBA=∠OBC 知识点2平行四边形的面积 2.如图，已知□ABCD的对角线AC,BD相交于 7.如图，□ABCD的对角线相交于点O.若 点O,且AC=8,BD=10,AB=5,则OA= S△M0b=2,则S么AoB= ,S△0= SOABCD= OC= .OB=OD= ,△OAB的周 长为 D 第7题图 第8题图 8.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E,AF⊥ DC于点F,BC=5,AB=4,AE=3,则AF的 第2题图 第3题图 长为 3.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 9.如图，在□ABCD中，过点D作DE⊥AB,垂 点O,AC=10,BD=12,则AB的取值范围为 足为E,过点B作BF⊥AC,垂足为F.若 AB=6,AC=10,DE=3,求BF的长. 4.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点 O,AB⊥AC.若AB=3,BD=10,则AC的长 是 第4题图 第5题图 5.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点 易错点考虑不全面致错 10.如图，AC,BD是□ABCD的两条对角线，则 O,且AC+BD=36,AB=11,则△OCD的周 图中的全等三角形共有 长为 A.2对 6.如图所示，在□ABCD中，对角线AC与BD相 B.3对 交于点O,点M,N在对角线AC上，且AM C.4对 CN.求证：BM∥DN. D.6对 36名地误衣·数单·八年魔下，阳 (2)若AB=BC,求∠CAF的度数. B中档题 11.如图所示，在□ABCD中，EF过对角线AC, BD的交点O.若AB=4,BC=7,OE=3,则 四边形EFCD的周长是 A.14B.11 C.17 D.10 【拓展设问1】若四边形EFCD的面积为 4,则□ABCD的面积为 【拓展设问2】若△DOE的面积为3，△COF C综合题 的面积为2，则□ABCD的面积为 14.如图，O为□ABCD的对角线AC,BD的交 点，∠BCO=90°，∠BOC=60°，BD=8,E是 OD上的一动点，F是OB上的一动点（点E, F不与端点重合)，且DE=OF,连接AE, CF. 第11题图 第12题图 (1)线段EF的长为 12.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于 (2)若△OAE的面积为S,,△OCF的面积为 点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E.若 S,S十S的值是否发生变化？若不变，求 AE=12,DE=5,AB=13,则AC的长为 出这个不变的值：若变化，请说明S+S 的值是如何发生变化的。 13.如图，四边形ABCD、四边形ABDF均为平 行四边形，对角线AC,BD相交于点O,BF, AD相交于点E. (1)试猜想△BOC与△DEF的面积关系，并 说明理由。 围€题③平行四边形中的面积问题模型 【模型归纳】如本课时T11【拓展设问2】，T13(1),T14. S/S S/S. S=8=8=S S 5..S 8 5+5,S SIS.-S,S S.S..S S.S:S ·针对训练 2.如图，在□ABCD中， 1.如图，E是□ABCD ∠DAB与∠CBA的 平分线相交于边DC 内任意一点.若 上的一点E.若AE= S-D=8,则图中阴 3,BE=2,则口ABCD的面积为 ( A.3 B.6 C.8 D.12 影部分的面积是 名置37 日44数曰0B。△AEM☑△DCAM(AAS).,AE=D.∴.AE=AB.(2),BM平分5.D ∠AC,,.∠ABM=∠CBM.四边形ABD是平行四边形， 6.解：AE=CF(答案不唯一)证明：，AE∥CF,∴.∠E=∠F,,BE AD∥BC,AD=BC∴，∠CBM=∠AMB..∠ABM=∠AMB. =DF,AE=CF,,△ABE≌△CDF(SAS),,.AB=CD,∠ABE AB=AM..AB=AE.AM=DM..BE=2AB.BC=AD-2AM ∠CDF,,∠ABD-∠CDB.∴，AB∥CD.,四边形ABD是平行 ,C=BE,△CE是等腰三角形.BM平分∠AC,,BM⊥CE 四边形. 微专题2 7.证明：四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,(OA=OC. 1.A2.22或20 ∠OAE-∠OCF,∠OEA-∠OFC..△AOE2△COF(AAS). 第2课时平行四边形对角线的性质 1.C2.45143.1<AB114.85.29 OE=OF,G是OA的中点，H是OC的中点，(0G=之0A.OH 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.,AM OB=OD. 之OC0G=OH.两边形ECFH是平行网边形， =CN,.OM=ON,在△BOM和△ON中， ∠BOM=∠D)N, 8.29.D10.D M=)N, I1.证明：(I):CE∥AB,.∠FAD=∠FCE,∠ADF=∠CEF,F ∴，△BOM≌△DON(SAS)..∠OBM=∠ODN,.BM∥DN 是A的中点，，AF=CF,在△AFD和△CFE中， 7元22889 ∠FAD=∠FCE, ∠ADF=∠CEF,:△AFD≌△CFE(AAS)..DF=EF.,四 9.解：四边形ABCD是平行四边形，，Se一2Sm·AB·DE AF=CF, 边形ADCE是平行四边形.(2)，四边形ADCE是平行四边形， -2X号AC·BE.6X3-10BE.BF-号 CE=AD.,D是AB的中点，∴.AD=BD..CE=BD.又CE∥ 10.C11.C【拓展设间1】8【拓展设问2】2012.122 BD,.四边形BCED是平行四边形.，DE=BC 13.解：(1)Sam=Ssm.理由如下：四边形AD是平行国边形 12.解：四边形ABCD为平行四边形.PD∥BQ.若要以P,D.Q,B Sar=有S.同理，Sam啡=才Se,义Sn=Sm 为顶点的四边形是平行四边形，则PD-BQ.当5<1<要时，AP =2Sm.S△=S.(2)四边形ABCD是平行四边形. =1m,PD=(10-t)em,BQ=(30-4)cm,.10-=30-4+解 OA=(OC,又，AB=BC,,AC⊥BD..∠COD=90.四边形 得1-号：当号<10时，AP-1cm,PD-(10-)am,BQ-( ABDF是平行四边形，.AF∥BD,,.∠CAF=∠COD=90°， 14.解：（门）4(2)S,十S:的值不变，理由：连接AF,:四边形ACD 是平行四边形，AO=C.Sw=Sar,DE=OF.S 一30)cm10-=一30，解科1=8综上所述，当1的值为婴或 ,=Sw,六S十S:=Sg=Saxw.四边形ABCD是平 8时，以P,D,Q.B为顶点的四边形是平行四边形 行四边形，，AD∥BC,OD=OB..∠DAC=∠BCO=90, 第3课时三角形的中位线 L.C2.D3.2+.65.B6.B7.8 ∠A0D=∠BC=60'.·∠AD0=30.A0=20D=BD 8.证明：D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，∴，DE,EF是△ABC 的中位线..DE∥AC,EF∥AB..四边形ADE下为平行四边形. 2.在Rt△AOD中，AD=√OD-A0=√4-2T=25,.S,+ ∴.AE与DF互相平分。 5=5am=AD·0A=×2X2=2,. 9.A10.26”11.2 12.解：(1)证明：D,E分别是AC,AB的中点，，DE是△ABC的中 微专题3 位线..DE∥BC.BC-2DE.CF-3BF,.BC-2BF..DE- 1.42.B BF.又DE∥BF,.四边形DEFB是平行四边形.(2)28 18.1.2平行四边形的判定 13,解：(1)图略，(2)送命题Ⅱ，证明：图略，过点E作EM∥AB交BC 第1课时平行四边形的判定1 边于点M,连接DM.又，DE∥BC,,四边形EDBM是平行四边 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.B3.B 形.BD=EM,DE=BM又DE=BC,∴DE=BM=CM· 4.解：(1)图略.(2)设小正方形方格的边长为1.则AC=√2.AB=后 BE-√E,CE-5..AC一BE.AB-(CE.:四边形ABEC是平行四 四边形DECM是平行四边形..DM=CE,DM∥CE..DM∥ 边形 AE.义：EM∥AD,.四边形ADME是平行四边形，.AD一EM, 5.D6.D7.对角线互相平分的四边形是平行四边形8.D DM=AE.AD=BD,AE=CE..D,E分别是AB,AC的中点 9.正明：，四边形ABCD是平行四边形，.OB=OD,O=OA.AE 选命题Ⅲ，证明：图路，延长ED至点F,使DF=DE,连接BF,,D =CF,.OA十AE=OC十CF,即OE=OF.OB=OD,.四边形 是AB边的中点，∴.AD=BD.又∠ADE=∠BDF,,△ADE≌ △BDF(SAS)..AE=BF,∠AED=∠BFD..AC∥BF.,EF∥ BFDE是平行四边形. 10.C11.C12.24 B,,四边形BEF是平行四边形，.BF=CE..CE=AE.,E 13.证明：，AB∥CD,.∠B十∠C=180°，.∠C=180°-45°=135 是AC的中点 ,ADLCD,DE=DA,.∠E=45,∴，∠C+∠E=180°.∴.AE∥ 微专题4 BC,又AB∥CD,.四边形ABCE是平行四边形，AE=BC. 1.C2.C3.6T 14.证期：(1)四边形ABCD是平行四边形，.AD∥B,AB=CD 小专题6平行四边形的证明思路 ·∠DAE=∠AEB.,AE平分∠BAD,,∠BME-∠DAE. L.证明：，EF∥AC,.∠EDC十∠C=180又，∠EDC=∠CBE,, ∠BAE=/AEB.∴.BE=AB.,BE=D.(2),BE=AB,BF平 ∠CBE+∠C=180..EB∥DC.又，DE∥BC,.四边形BCDE 分 ∠ABE,，AF=EF.在△ADF和△ECF 中 是平行四边形， ∠DAF=∠CEF, AE-CF. AF-EF. ,△ADF≌△EF(ASA)..DF-CF又 2.证明：在△AEB和△CFD中，AB=CD,,.△AEB2△CFD ∠AFD■∠EFC, BE-DF. AF=EF,∴.四边形ACED是平行四边形， (SSS).∠EAB-∠FCD.∴.AB∥DC.义AB-DC..四边形 15.解：(1)以①©作为题设构成的命题是真命题.证明：，AB∥CD ABCD是平行四边形. ∠OAB-∠OCD. 3.证明：”E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各边的中点，AH∥ ·∠(OAB=∠OXD.在△AOB和△COD中，AO=), CF,AH=CF..圆边形AFCH是平行四边形..AM∥CN.同理 ∠AOB=∠OD. 可得，四边形AECG是平行四边形.∴.AN∥CM..四边形AMCN △AOB≌△COD(ASA)..OB-OD..四边形ABCD是平行四 是平行四边形， 边形.(2)以①③作为题设构成的命地是段命圈：如果四边ABCD 4.证明：由题意可知，CF⊥BD,.∠CFD=∠CFE=90°.，AE⊥BD, 中.AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形，反例： ,.∠AEB=∠AED=90,,∴.∠CFE=∠AEF=∠AEB=∠CFD= 图1略，等梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC.但它不是平行四 90,.AE∥CF,四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,ABA 边形：以②③作为题设构成的命题是假命题：如果四边形ABCD CD. ∠ABE ∠CDF,在△ABE和△CDF中 的对角线交于点)，且OA=,AD=BC,那么四边形ABD是 I∠AEB=∠CFD, 平行四边形.反例：图2路，根据已知条件不能推出四边形ABCD ∠ABE=∠CDF,∴.△ABE≌△CDF(AAS).,AE=CF.又 是平行四边形. AB-CD. 第2课时平行四边形的判定2 AE∥CF,,四边形AECF是平行四边形 1.平行四边形2.C3.C 5.证明：(1)Rt△ABC中，∠BAC=30,AB=2BC又：△ABE 4.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC.AD∥BC又， 是等边三角形，EF⊥AB.AB=2AF,AE=AB.AF=BC在 BE=DF,.AD-DF一BC-BE.即AF-(CE..四边形AECF是 平行四边形. R△BCA和RL△AFE中，(BA-AE,R△BCA≌RL△AFE 13=A5, 36 R阳八下·参考落素