18.1.1 第1课时 平行四边形边，角的性质-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（人教版 2012）

(2n)2=n一2n2十1十4n=n+2n2十1=《n2十1)3=2，，以a,h,e 小专题5利用勾股定理解决最短路径问题 为边的三角形是直角三角形， 第2课时勾股定理及其逆定理的综合应用 【例】号 1.不垂直2.正北3.72cm4.C5.906.6√57.45 5 【例2】3v2 8.解：该尾翼符合设计要求，理由如下：：∠DBC=90°，BC=16cm, 【例3】解：平面展开图略，由题意，得AM=12m,A'B=号×2元× CD=20cm,,.BD=VCD-BC=√20一16=12(cm》.在 △ABD中，AB=13cm.AD=5cm,.ADy+BD=5+12=13 3=9m,在Rt△AAB中，根据勾股定理，得AB=AA+AB AB.·△ABD是直角三角形，且∠ADB-90.·.∠ADB 12+9=15(cm).∴.苦要爬行的最短路程是15cm. ∠DBC.AD∥BC,该尾翼符合设计要求 针对训练 ,.2±510.专1.①g0 L.62.53.A4.255.106.107.258.10 9,解：(1)长方体的高为5cm,底面长为4m,宽为1cm,,AC2= 12.解：(1)H是从工广C到问边最近的一条路.理由：，CH十BH √+下=17(em).∴.AC=5+(7)=√42(em).(2)图 =2十(1,5)2=6.25，B=6.25,.CHF+BF=B,,△CHB 是直角三角形，且∠CHB=9O°.∴.CH与AB乘直，即CH是从T 1略，AC=√1+4)+5=52(cm).图2略，AC= 厂C到河边最近的一条路.(2)设AC=xkm,期AB=rkm,AH W(4+5)+1-√82(cm).图3略，A:C-√(1+5)+4 -《r一1.5)km.在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC一A十 2√13(cm).:5√2<2√3<√82，∴爬行的最短路程是5巨m, CP,即r=(x一1.5y+2,解得x=器AC的长为登km 章末复习（二）勾股定理 13.解：(1)证明：，AC=300km,BC'=400km,AB-500km,∴.A+ 1.A2.1003.x2+2=(r十0,5)4.V5+15.50km6.D BC一AB..△ABC是直角三角形，且∠ACB一90°.(2)海港C 7.D 8.解：(1)"，la-√/481+(6-/12)=0.，a-48=0,b-12=0, 会受台风影响.理由：过点C作CD⊥AB于点D.“Sar=乞AC .a=4√3，b=2√3.(2》分两种情况讨论：①当，b为直角三角形的 BC-AB.CD.:CD-AC BC-300x400-240(km). AB 500 两条直角边时，∴c=√a+=√(4)+(23)=2√15：@当 250>240,.海港C会受台风影响.(3)在直线AB上取点E,F,且 为直角三角形的斜边时，∴.r=√一=/(4③)-(2)= EC=250km,FC-250km.在R1△CED中，由勾股定理，得ED 6,综上所述，c的值为2√15或6 √EC-CD-√250-2t0-70(km).同理，FD-70km.∴.EF 9.B10.C11.2412.45 =140km.:台风的速度为40km/h,.140÷40=3.5(h)..台风 13.解：(1)证明：CD=1,BC=5,BD=2,.CD+BD)=1P+2 影啊该海港持续的时间为3.5h. 5=BC,,△BCD是直角三角形，(2)设腰长AB=AC=r.在 小专题2利用勾股定理探索两点间距离公式 R△ADB中，由勾股定理，得AB=AD十BD,即=《r-1)2 一教材P26练习T2的变式与拓展 2,解得r=号Sm=2AC·BD=子×号×2=号 1.A2.C3.B4.25 5.解：△ABC是等根三角形，理由如下：”AB= 14.解：(u+b2-abX4-(a+6-bX42+ V/(-1+3)+(4-1)=/13,BC'=√(-3-1)+(1-1)=4， ■(2)这个零件不符合要求.理由如下：”BC+DC=152十 AC=√(-1-1)+(1-1下=√13，，AB=AC,AB+AC≠ 20=225十00=625=BD,.△BCD是直角三角形，且∠C B,.△ABC为等腰三角形. 90°.，AB+AD-23+72-529+49-578,BD-25-625, 6.解：设Cr,0).A(3,0),B(0,4),∴.AB=√3+下-5，AC=13-x AB+AD≠BD,△ABD不是直角三角形，∠A不是直角. 这个零件不符合要求。 BC=√+16，①当AB=AC时，△ABC为等腹三角形.∴|3一x =5,解得x=一2或x=8..点C的坐标为（一2,0）或(8,0)：②当 新课标·新情境·新题型·引领训练 1.48 ABBC时，△ABC为等根三角形..√r+16=5,解得x=3或 x=一3.当x=3时，点A,C重合，不合题意，舍去，点C的坐标为 (一3,0)；③当AC一BC时，△ABC为等腰三角形.3一r一 2解：1)证明：Sma-5a十56a十56e-ab十ah中 √十16，解得x=一合∴点C的坐标为（一石0》.综上所述，点 C的坐标为(-2,0)或(8,0)或(-3,0)或(-古，0) =a+2ah+)=d+号+ab,6+2=d 小专题3方程思想在勾股定理中的运用 之+uhC-。+,(2):△ABE是直角三角形，a-7cm,b 【例1】10-子(10-)+6=了3到 24cm六g=√0+6=V7+2T=25(m入.六5aoe=z 【例2】14-x15-x-13-(14-x)9 针对训练 62题m 1.5 3.解：(1)5(x十1)(2)在R1△ABC中，由勾股定理，得BC十AB 2.解：过点A作AD⊥BC于点D.设CD-E.AC一CD一AB =AC,即5十=(x+1),解得x=12,答：旗杆的高度为12米 BD,.13-x-15-(4+x),解得x-5..AD-AC-CD 第十八章平行四边形 =Vg-可=12.58r=号C·AD=之XX12=24 18.1平行四边形 3.解：设AD一.在R△ACD中.AC-AD+CD-P+.在 18.1.1平行四边形的性质 R1△BCD中，BC-CD+BD-4+2.在R1△ABC中，AC+ 第1课时平行四边形边、角的性质 BC=AB,即x十4十4十2=(x十2)，解得r=8..AD=8. 1.平行四边形2.D3.(1)1811(2)5512555(3)70110 小专题4利用勾股定理解决折叠问题 (4)108724.40°5.26.(4,2) 【例】解：，D为BC的中点，.BD=CD=3.设BV=x,则AN 7,正明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,AB∥(D, DV=8一x.在R:△BDN中，由勾殿定理，得(8一x)=x十3，解得 AB=CD. 上一语故BN的长为需 55 ∠BAE=∠DCF.在△BAE和△DCF中，∠BAE=∠DCF, AE=CF. 针对训练 △BAE△DCF(SAS,,BE=DF 1.C2.C3号4号或1 8.D9.7或1710.C11,D12.21 13.解：(1)图路.(2)四边形ABCD是平行四边形.(CD=AB=3, 5.解：(1)证明：由折叠的性质可知，∠A=∠EGB=90,AE=EG.”E AD=BC-5.:EF是AC的垂直平分线..AE=CE.△DCE 是AD的中点，，AE=EG=DE,在R:△BGF和R△EDF中， 的周长为CE+DE+CD-AE+DE+CD-AD+CD-5+3-8. EF-EF. 14.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，，AB∥CD,AB=CD. EGED. .R1△EGF≌R1△EDF(HL),·DF=GF,(2)设DF ∠E=∠NM, x,则GF=r,BF=6+x.CF=6-x.在Rt△BFC中，BF=CF ·∠E-∠DCM.在△AEM和△DCM中， ∠AME-∠DMC. +BC,即(6十x)一(6一x)十96，解得x一4..DF的长为4. AM-=DM. R」八下·参考答案 多胶课堂35 △AEM☑△DCAM(AAS).,AE=D.∴.AE=AB.(2),BM平分5.D ∠AC,,.∠ABM=∠CBM.四边形ABD是平行四边形， 6.解：AE=CF(答案不唯一)证明：，AE∥CF,∴.∠E=∠F,,BE AD∥BC,AD=BC∴，∠CBM=∠AMB..∠ABM=∠AMB. =DF,AE=CF,,△ABE≌△CDF(SAS),,.AB=CD,∠ABE AB=AM..AB=AE.AM=DM..BE=2AB.BC=AD-2AM ∠CDF,,∠ABD-∠CDB.∴，AB∥CD.,四边形ABD是平行 ,C=BE,△CE是等腰三角形.BM平分∠AC,,BM⊥CE 四边形. 微专题2 7.证明：四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC,(OA=OC. 1.A2.22或20 ∠OAE-∠OCF,∠OEA-∠OFC..△AOE2△COF(AAS). 第2课时平行四边形对角线的性质 1.C2.45143.1<AB114.85.29 OE=OF,G是OA的中点，H是OC的中点，(0G=之0A.OH 6.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.OA=OC,OB=OD.,AM OB=OD. 之OC0G=OH.两边形ECFH是平行网边形， =CN,.OM=ON,在△BOM和△ON中， ∠BOM=∠D)N, 8.29.D10.D M=)N, I1.证明：(I):CE∥AB,.∠FAD=∠FCE,∠ADF=∠CEF,F ∴，△BOM≌△DON(SAS)..∠OBM=∠ODN,.BM∥DN 是A的中点，，AF=CF,在△AFD和△CFE中， 7元22889 ∠FAD=∠FCE, ∠ADF=∠CEF,:△AFD≌△CFE(AAS)..DF=EF.,四 9.解：四边形ABCD是平行四边形，，Se一2Sm·AB·DE AF=CF, 边形ADCE是平行四边形.(2)，四边形ADCE是平行四边形， -2X号AC·BE.6X3-10BE.BF-号 CE=AD.,D是AB的中点，∴.AD=BD..CE=BD.又CE∥ 10.C11.C【拓展设间1】8【拓展设问2】2012.122 BD,.四边形BCED是平行四边形.，DE=BC 13.解：(1)Sam=Ssm.理由如下：四边形AD是平行国边形 12.解：四边形ABCD为平行四边形.PD∥BQ.若要以P,D.Q,B Sar=有S.同理，Sam啡=才Se,义Sn=Sm 为顶点的四边形是平行四边形，则PD-BQ.当5<1<要时，AP =2Sm.S△=S.(2)四边形ABCD是平行四边形. =1m,PD=(10-t)em,BQ=(30-4)cm,.10-=30-4+解 OA=(OC,又，AB=BC,,AC⊥BD..∠COD=90.四边形 得1-号：当号<10时，AP-1cm,PD-(10-)am,BQ-( ABDF是平行四边形，.AF∥BD,,.∠CAF=∠COD=90°， 14.解：（门）4(2)S,十S:的值不变，理由：连接AF,:四边形ACD 是平行四边形，AO=C.Sw=Sar,DE=OF.S 一30)cm10-=一30，解科1=8综上所述，当1的值为婴或 ,=Sw,六S十S:=Sg=Saxw.四边形ABCD是平 8时，以P,D,Q.B为顶点的四边形是平行四边形 行四边形，，AD∥BC,OD=OB..∠DAC=∠BCO=90, 第3课时三角形的中位线 L.C2.D3.2+.65.B6.B7.8 ∠A0D=∠BC=60'.·∠AD0=30.A0=20D=BD 8.证明：D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，∴，DE,EF是△ABC 的中位线..DE∥AC,EF∥AB..四边形ADE下为平行四边形. 2.在Rt△AOD中，AD=√OD-A0=√4-2T=25,.S,+ ∴.AE与DF互相平分。 5=5am=AD·0A=×2X2=2,. 9.A10.26”11.2 12.解：(1)证明：D,E分别是AC,AB的中点，，DE是△ABC的中 微专题3 位线..DE∥BC.BC-2DE.CF-3BF,.BC-2BF..DE- 1.42.B BF.又DE∥BF,.四边形DEFB是平行四边形.(2)28 18.1.2平行四边形的判定 13,解：(1)图略，(2)送命题Ⅱ，证明：图略，过点E作EM∥AB交BC 第1课时平行四边形的判定1 边于点M,连接DM.又，DE∥BC,,四边形EDBM是平行四边 1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.B3.B 形.BD=EM,DE=BM又DE=BC,∴DE=BM=CM· 4.解：(1)图略.(2)设小正方形方格的边长为1.则AC=√2.AB=后 BE-√E,CE-5..AC一BE.AB-(CE.:四边形ABEC是平行四 四边形DECM是平行四边形..DM=CE,DM∥CE..DM∥ 边形 AE.义：EM∥AD,.四边形ADME是平行四边形，.AD一EM, 5.D6.D7.对角线互相平分的四边形是平行四边形8.D DM=AE.AD=BD,AE=CE..D,E分别是AB,AC的中点 9.正明：，四边形ABCD是平行四边形，.OB=OD,O=OA.AE 选命题Ⅲ，证明：图路，延长ED至点F,使DF=DE,连接BF,,D =CF,.OA十AE=OC十CF,即OE=OF.OB=OD,.四边形 是AB边的中点，∴.AD=BD.又∠ADE=∠BDF,,△ADE≌ △BDF(SAS)..AE=BF,∠AED=∠BFD..AC∥BF.,EF∥ BFDE是平行四边形. 10.C11.C12.24 B,,四边形BEF是平行四边形，.BF=CE..CE=AE.,E 13.证明：，AB∥CD,.∠B十∠C=180°，.∠C=180°-45°=135 是AC的中点 ,ADLCD,DE=DA,.∠E=45,∴，∠C+∠E=180°.∴.AE∥ 微专题4 BC,又AB∥CD,.四边形ABCE是平行四边形，AE=BC. 1.C2.C3.6T 14.证期：(1)四边形ABCD是平行四边形，.AD∥B,AB=CD 小专题6平行四边形的证明思路 ·∠DAE=∠AEB.,AE平分∠BAD,,∠BME-∠DAE. L.证明：，EF∥AC,.∠EDC十∠C=180又，∠EDC=∠CBE,, ∠BAE=/AEB.∴.BE=AB.,BE=D.(2),BE=AB,BF平 ∠CBE+∠C=180..EB∥DC.又，DE∥BC,.四边形BCDE 分 ∠ABE,，AF=EF.在△ADF和△ECF 中 是平行四边形， ∠DAF=∠CEF, AE-CF. AF-EF. ,△ADF≌△EF(ASA)..DF-CF又 2.证明：在△AEB和△CFD中，AB=CD,,.△AEB2△CFD ∠AFD■∠EFC, BE-DF. AF=EF,∴.四边形ACED是平行四边形， (SSS).∠EAB-∠FCD.∴.AB∥DC.义AB-DC..四边形 15.解：(1)以①©作为题设构成的命题是真命题.证明：，AB∥CD ABCD是平行四边形. ∠OAB-∠OCD. 3.证明：”E,F,G,H分别是平行四边形ABCD各边的中点，AH∥ ·∠(OAB=∠OXD.在△AOB和△COD中，AO=), CF,AH=CF..圆边形AFCH是平行四边形..AM∥CN.同理 ∠AOB=∠OD. 可得，四边形AECG是平行四边形.∴.AN∥CM..四边形AMCN △AOB≌△COD(ASA)..OB-OD..四边形ABCD是平行四 是平行四边形， 边形.(2)以①③作为题设构成的命地是段命圈：如果四边ABCD 4.证明：由题意可知，CF⊥BD,.∠CFD=∠CFE=90°.，AE⊥BD, 中.AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形，反例： ,.∠AEB=∠AED=90,,∴.∠CFE=∠AEF=∠AEB=∠CFD= 图1略，等梯形ABCD中，AB∥CD,AD=BC.但它不是平行四 90,.AE∥CF,四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD,ABA 边形：以②③作为题设构成的命题是假命题：如果四边形ABCD CD. ∠ABE ∠CDF,在△ABE和△CDF中 的对角线交于点)，且OA=,AD=BC,那么四边形ABD是 I∠AEB=∠CFD, 平行四边形.反例：图2路，根据已知条件不能推出四边形ABCD ∠ABE=∠CDF,∴.△ABE≌△CDF(AAS).,AE=CF.又 是平行四边形. AB-CD. 第2课时平行四边形的判定2 AE∥CF,,四边形AECF是平行四边形 1.平行四边形2.C3.C 5.证明：(1)Rt△ABC中，∠BAC=30,AB=2BC又：△ABE 4.证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC.AD∥BC又， 是等边三角形，EF⊥AB.AB=2AF,AE=AB.AF=BC在 BE=DF,.AD-DF一BC-BE.即AF-(CE..四边形AECF是 平行四边形. R△BCA和RL△AFE中，(BA-AE,R△BCA≌RL△AFE 13=A5, 36 R阳八下·参考落素第十八章平行四边形 18.1平行四边形 18.1.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边、角的性质 CI.2) A基础题 B 知识点1平行四边形的定义 1.(教材习题变式)如图，剪两张对边平行的纸 A3.0)x 条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张， 第5题图 第6题图 重合的部分构成了一个四边形ABCD,这个 6.(2023·凉山州)如图，□ABCO的顶点O,A, 四边形是 C的坐标分别是(0,0)，(3,0)，(1,2)，则顶点 B的坐标是 E 7.(2024·湖北)如图，在□ABCD中，E,F为对 角线AC上的两点，且AE=CF,连接BE, DF,求证：BE=DF B G H 第1题图 第2题图 2.如图，在□ABCD中，AB∥EG∥FH∥CD,则 图中平行四边形的个数是 () A.3 B.4 C.5 D.6 知识点2平行四边形边、角的性质 3.(教材习题变式)在□ABCD中： (1)若AB=3,AD=6,则它的周长为 (2)若□ABCD的周长为32，且AB=5,则 BC= (3)若∠A=125°，则∠B= °，∠C= ,∠D= '0 知识点3平行线间的距离 (4)若∠A+∠C=140°.则∠A= 8.如图，a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,垂足分 ∠B= 别为E,G,则下列说法不正确的是( (5)若∠A:∠B=3：2,则∠A=∠C A.AB=CD ∠B=∠D= B.EC=GF 4.如图，在平行四边形 C.A,B两点间的距离就 (i E D B ABCD中，过点C作 是线段AB的长度 CE⊥AB,垂足为E. D.a与b的距离就是线段CD的长度 若∠D=50°，则 易错点不注意分情况讨论，造成漏解 ∠BCE的度数为 9.已知AB,CD,EF是同一平面内三条互相平 5.(2023·株洲)如图所示，在□ABCD中， 行的直线，且AB与CD的距离是12cm,EF AB=5,AD=3,∠DAB的平分线AE交线段 与CD的距离是5cm,则AB与EF的距离是 CD于点E,则EC= cm. 34名拉深家·数华·八年顺下，阳 (2)在(1)的条件下，若AB=3,BC=5,求 B中档题 △DCE的周长. 10.如图，直线a∥b,A是直线a上的一个定点， 线段BC在直线b上移动，那么在移动过程 中，△ABC的面积 A.变大 B.变小 C.保持不变 B D.无法确定 11.如图，E是□ABCD的边BC上一点，且 14.如图，在□ABCD中，点M在边AD上，且 AB=BE,连接AE并延长，与DC的延长线交 AM=DM,CM,BA的延长线相交于点E. (1)求证：AE=AB. 于点F.若∠D=40°，则∠F的度数是( (2)如果BM平分∠ABC,求证：BM⊥CE. A.30° B.40 C.50 D.709 E D H B F 第11题图 第12题图 12.如图，□ABCD与□EFGH全等，且点A,B, C,D的对应顶点分别是点H,E,F,G,其中 点E在边DC上，点F在边BC上，点C在 边FG上.若AB=7,AD=5,FC=3,则四边 形ECGH的周长为 13.如图，AC是□ABCD的对角线. (1)用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的 垂直平分线，与AD相交于点E,与BC 相交于点F,连接CE(保留作图痕迹，并 标明字母，不写作法)， ®€@2 平行四边形中“平行线十角平分线”基本图形的运用+++ 【基本图形】平行四边形+角平分线→等腰三角形，如：本课时T5,T14(2), E D 图1 图2 图3 图4 图5 ·针对训练 1.(2024·南阳期末)如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F,CE 平分∠BCD交AD于点E.若BC=5,EF=1,则AB的长为 A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知在口ABCD中，∠BAD的平分线把边BC分成长度分别是3和4的两部分，则□ABCD 的周长是 名35 口。出4数曰a马。