精品解析：辽宁省沈阳市浑南区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024—2025 学年上学期期末学业测评 九年级数学 试题满分120 分，考试时间120 分钟 注意事项： 1．答题前，考生须用0．5mm黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效． 3．考试结束，将答题卡交回． 4．本试卷包括三道大题，23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，用5个完全相同小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图1，2分别反映了小树在同一时刻的影子，关于影子的形成说法正确的是（ ） A. 图1，2的影子都是在太阳光下形成的 B. 图1 的影子是在灯光下形成的，图2 的影子是在太阳光下形成的 C. 图1的影子是在太阳光下形成的，图2 的影子是在灯光下形成的 D. 图1，2的影子都是在灯光下形成的 4. 为完成对本年级学生进行“你对哪些课程非常感兴趣”的抽样调查，某小组同学划分了三项任务“数据收集”“数据整理”“数据分析”，如果小华和小丽每人随机选择其中一项任务，则她们恰好选到同一项任务的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，应把方程的两边同时（ ） A. 加上 B. 加上 C. 减去 D. 减去 6. 如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，轴，轴，双曲线经过点D，若正方形的面积为12，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图，梯子和靠墙摆放，其中比较陡梯子是（ ） A. B. C. 一样陡 D. 无法比较 10. 若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ） A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于一元二次方程的一个解是，则的值是______． 12. 给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示． 当气球内的气压超过时，气球会爆炸． 由此可判断时，气球__________爆炸．（用“会”或“不会”填空） 13. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下： 身高 人数 60 260 550 130 根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是__________． 14. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为________． 15. 如图是一张矩形纸片，点E为上一点，，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为，，与相交于点G，若的延长线经过点D则的值为_______ 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： ； （2）解方程： 17. 已知：，尺规作图得四边形，作图步骤如下： （i）分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； （ii）直线交于点D，连接； （iii）以B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点E，连接，． （1）根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断的根据； （2）在（1）前提下，若，，，求四边形的周长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，正方形的边落在x轴正半轴上，A，D在第一象限，点D的坐标为（3，2），连接，射线绕点A逆时针旋转90°交于点E，点E在反比例函数的图象上． （1）求的长； （2）求k的值． 19. 为传承红色文化，弘扬爱国主义精神，某地设立并开放以革命传统，红色文化，党史党规等为主题的教育旅游基地，据统计，基地中的一个纪念馆第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆6080 人次，已知进馆人次的月平均增长率相同． （1）求该纪念馆进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该纪念馆每月接纳能力不超过5000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该纪念馆是否有能力接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 20. 如图，学校内的一块空地四边形用来做劳动实践地． 数学实践小组通过测量，获得相关数据，，，，，，．学校准备先开辟面积为的地块用来种植蔬菜，点E为边上一点． （1）求的长； （2）剩余空地的面积是多少？（结果精确到，参考数据： 21. 某批发市场批发甲，乙两种水果，经市场调查发现，甲种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足正比例函数关系，如图1；乙种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足二次函数关系，如图2；部分数据如图所示． （1）分别求，与x之间的函数表达式； （2）如果市场准备进甲，乙两种水果共10吨，求这两种水果各进多少吨时，获得的销售利润总和最大． 22. 已知：在中，E是边上动点，连接，F为直线上方一点，连接，． 问题探究： （1）如图1，当为正方形时，若，请直接写出的值； （2）如图2，当为矩形时，若求的值； 应用拓展： （3）如图3，当为菱形时，交于点G，且 求的长． 23. 经验回顾： 初中阶段，我们先后学习了一次函数，反比例函数和二次函数的有关知识．在研究每一种函数的图象和性质时，都运用了数形结合思想，通过画图，观察，分析，对比等方式，经历了由“特殊”到“一般”的探究过程． 请你运用所学知识和方法解决下列问题： 阅读理解： 二次函数中，具有这样图象特征：开口方向和形状都相同，且顶点在同一直线上的所有函数统称为“同线函数”．例如：同线函数C：（c是常数）中的函数如的图象的开口方向和形状都相同，且顶点都在y轴上． 问题解决： 已知：同线函数M：（m是常数）． （1）填表，特例分析： m的取值 （m是常数） 图象顶点坐标 （ ） （ ） （ ） …… …… …… （2）根据（1）特例分析，求函数（m是常数）的图象顶点所在直线的表达式； （3）已知同线函数K（k是常数）中的一个函数的图象顶点在第二象限内，将该函数沿坐标轴方向平移7个单位后与同线函数M中的一个函数重合，求函数的表达式； （4）若满足（3）中条件且时，将函数的图象在上方的部分沿直线向下翻折后，得到新函数Q．当直线与新函数Q的图象恰有3个公共点时，请直接写出b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025 学年上学期期末学业测评 九年级数学 试题满分120 分，考试时间120 分钟 注意事项： 1．答题前，考生须用0．5mm黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效． 3．考试结束，将答题卡交回． 4．本试卷包括三道大题，23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值等于（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是正确计算的关键． 2. 如图所示，用5个完全相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断简单几何体的三视图．根据题意从左到右观察图形即可得到左视图． 【详解】解：∵的左视图为： 故选：C． 3. 如图1，2分别反映了小树在同一时刻的影子，关于影子的形成说法正确的是（ ） A. 图1，2的影子都是在太阳光下形成的 B. 图1 的影子是在灯光下形成的，图2 的影子是在太阳光下形成的 C. 图1的影子是在太阳光下形成的，图2 的影子是在灯光下形成的 D. 图1，2的影子都是在灯光下形成的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行投影和中心投影定义．根据题意利用平行投影和中心投影定义即可解答． 【详解】解：∵图1可看成是平行投影形成的，图2可看成是中心投影形成的， ∴图1影子是在太阳光下形成的，图2 的影子是在灯光下形成的， 故选：C． 4. 为完成对本年级学生进行“你对哪些课程非常感兴趣”的抽样调查，某小组同学划分了三项任务“数据收集”“数据整理”“数据分析”，如果小华和小丽每人随机选择其中一项任务，则她们恰好选到同一项任务的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用树状图或列表法求概率．根据题意利用列表法逐一列出等可能性，继而可得答案． 【详解】解：将“数据收集”“数据整理”“数据分析”分别记作， 列表如下： A B C A B C 由表知：共有9种等可能结果，其中他们恰好选择同一项任务的有3种结果， 即：她们恰好选到同一项任务的概率：， 故选：C． 5. 用配方法解方程，应把方程的两边同时（ ） A. 加上 B. 加上 C. 减去 D. 减去 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， 所以用配方法解方程，应把方程的两边同时加上，即减去， 故选：C． 6. 如图，要使平行四边形成为矩形，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题的关键，根据矩形的判定方法逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、根据平行四边形中邻边相等，可证得四边形为菱形，故此项错误； B、根据平行四边形中对角线垂直，可证得四边形为菱形，故此项错误； C、根据平行四边形中一个角等于，可证得四边形为距形，故此项正确； D、平行四边形对角线平分一组对角，得，不能证明四边形为距形，故此项错误； 故选：C． 7. 如图，以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，轴，轴，双曲线经过点D，若正方形的面积为12，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例的图象和性质、正方形的性质等知识．根据正方形的性质得到四边形的面积为，根据反比例函数的图象和性质即可得到k的值． 【详解】解：如图， ∵以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，正方形的面积为12， ∴四边形的面积为， ∵双曲线经过点D， ∴， 故选：A 8. 野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，推导与之比等于所对应海拔差之比是解题关键．画出示意图分别求得与、与的海拔差，求比值即可． 【详解】解：经过线段且垂直海平面的平面截面图如下， 其中垂直海平面，垂直于点D，垂直于点E， 则点的海拔为，点的海拔为，点的海拔为， ∴，，， 图可知与的海拔差为， 与的海拔差为， ∵， 则． 故选：B． 9. 如图，梯子和靠墙摆放，其中比较陡的梯子是（ ） A. B. C. 一样陡 D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】比较和的正切值可得答案． 此题考查了锐角三角函数的定义，掌握相关三角函数的定义是关键． 【详解】解：∵ ， ∵ ∴， ∴梯子比较陡． 故选：A． 10. 若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（ ） A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：先根据题意得出抛物线与x轴的交点坐标，再由两点坐标关于抛物线的对称轴对称即可得出结论． 解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是−3和1， ∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为(−3,0),(1,0). ∵此两点关于对称轴对称， ∴对称轴是直线x==−1. 故选C. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，把代入方程可得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示． 当气球内的气压超过时，气球会爆炸． 由此可判断时，气球__________爆炸．（用“会”或“不会”填空） 【答案】不会 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．设，将代入求出，求得，由时，气球将爆炸，得到，即，求得．因为，于是得到气球不会爆炸． 【详解】解：设，将代入求出， ， 当时，气球将爆炸， ，即，解得， ， 气球不会爆炸， 故答案为：不会． 13. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下： 身高 人数 60 260 550 130 根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出样本中身高不低于的频率，然后根据利用频率估计概率求解． 【详解】解：样本中身高不低于的频率， 所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为________． 【答案】8米 【解析】 【分析】令求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，（舍去）． 故答案为：8米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 15. 如图是一张矩形纸片，点E为上一点，，点F在边上，把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为，，与相交于点G，若的延长线经过点D则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，相似三角形判定及性质，勾股定理等．根据题意设，则，继而得，再证明，继而利用相似性质得，利用勾股定理列式计算即可． 【详解】 ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∵把该纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵，即，解得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： ； （2）解方程： 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数计算，解一元二次方程，负分数指数幂，求一个数的绝对值． （1）先将每项计算出，再从左到右依次计算即可； （2）先移项，再提公因式计算即可； 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， 移项得：， 提公因式得：， 整理得：， ∴或， 解得：． 17. 已知：，尺规作图得四边形，作图步骤如下： （i）分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； （ii）直线交于点D，连接； （iii）以B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点E，连接，． （1）根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断的根据； （2）在（1）的前提下，若，，，求四边形的周长． 【答案】（1）菱形，四边相等四边形是菱形 （2）20 【解析】 【分析】（1）根据作图得到垂直平分， 然后得到，即可求解； （2）首先根据题意得到，然后利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 根据作图可得，垂直平分 ∴， ∵由作图得， ∴ ∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18. 如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，正方形的边落在x轴正半轴上，A，D在第一象限，点D的坐标为（3，2），连接，射线绕点A逆时针旋转90°交于点E，点E在反比例函数的图象上． （1）求长； （2）求k的值． 【答案】（1）5 （2）15 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，由点D的坐标得，求得，根据勾股定理得到结论； （2）根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到 ，求得，，得到，于是得到结论． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵点D的坐标为（3，2）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 【小问2详解】 解：射线绕点A逆时针旋转90°交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴． 19. 为传承红色文化，弘扬爱国主义精神，某地设立并开放以革命传统，红色文化，党史党规等为主题的教育旅游基地，据统计，基地中的一个纪念馆第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆6080 人次，已知进馆人次的月平均增长率相同． （1）求该纪念馆进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该纪念馆每月接纳能力不超过5000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该纪念馆是否有能力接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】（1） （2）该纪念馆有能力接纳第四个月的进馆人次，理由见解答 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该纪念馆进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，根据到第三个月末累计进馆6080人次，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用第四个月的进馆人次数第一个月的进馆人次数，可求出第四个月的进馆人次数，再将其与4000比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该纪念馆进馆人次的月平均增长率为，则第二个月进馆人次，第三个月进馆人次， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该纪念馆进馆人次的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：该纪念馆没有能力接纳第四个月的进馆人次，理由如下： 第四个月的进馆人次数为（人次）， ， 该纪念馆有能力接纳第四个月的进馆人次． 20. 如图，学校内的一块空地四边形用来做劳动实践地． 数学实践小组通过测量，获得相关数据，，，，，，．学校准备先开辟面积为的地块用来种植蔬菜，点E为边上一点． （1）求的长； （2）剩余空地的面积是多少？（结果精确到，参考数据： 【答案】（1） （2）约 【解析】 【分析】本题考查直角三角形三边关系，锐角三角函数解直角三角形等． （1）过点作于点，继而得，，再利用面积列式即可； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，连接，继而得，再利用三角函数得，再利用面积关系列式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即：． 21. 某批发市场批发甲，乙两种水果，经市场调查发现，甲种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足正比例函数关系，如图1；乙种水果的销售利润（万元）与进货量x（吨）（）之间满足二次函数关系，如图2；部分数据如图所示． （1）分别求，与x之间的函数表达式； （2）如果市场准备进甲，乙两种水果共10吨，求这两种水果各进多少吨时，获得的销售利润总和最大． 【答案】（1）； （2）甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时，获得的销售利润之和最大 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正比例函数的应用等知识， （1）由题意设，设，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）设乙种水果进货m吨，则甲种水果进货吨，10吨水果销售利润之和为W万元，根据题意，，再根据二次函数最值的求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设， 把，代入可得：， 解得：， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， 【小问2详解】 解：设乙种水果进货m吨，则甲种水果进货吨，10吨水果销售利润之和为W万元， 根据题意，， ∵， ∴当时，W的最大值为， ∴， 答：甲、乙两种水果分别进货4吨，6吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是万元． 22. 已知：在中，E是边上动点，连接，F为直线上方一点，连接，． 问题探究： （1）如图1，当为正方形时，若，请直接写出的值； （2）如图2，当为矩形时，若求的值； 应用拓展： （3）如图3，当为菱形时，交于点G，且 求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，利用正方形性质证明，再利用解三角形求出，继而得到答案； （2）在上截取，连接，利用矩形性质得，再证明，再利用勾股定理得即可求出； （3）在上截取，连接，过点作于点，过点作于点，证明，再利用菱形性质及解三角形列式即可得到答案． 【详解】解：（1）当为正方形时，若，则的值为，理由如下： 在上截取，连接，如图： ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）在上截取，连接，如图： ， ∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）在上截取，连接，过点作于点，过点作于点， ， ∵，， ∴， 同理， ∴，， ∵为菱形， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形判定及性质，正方形性质，菱形性质，平行四边形性质，解三角形相关计算，等腰三角形性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等． 23. 经验回顾： 初中阶段，我们先后学习了一次函数，反比例函数和二次函数的有关知识．在研究每一种函数的图象和性质时，都运用了数形结合思想，通过画图，观察，分析，对比等方式，经历了由“特殊”到“一般”的探究过程． 请你运用所学知识和方法解决下列问题： 阅读理解： 二次函数中，具有这样图象特征：开口方向和形状都相同，且顶点在同一直线上的所有函数统称为“同线函数”．例如：同线函数C：（c是常数）中的函数如的图象的开口方向和形状都相同，且顶点都在y轴上． 问题解决： 已知：同线函数M：（m是常数）． （1）填表，特例分析： m的取值 （m是常数） 图象顶点坐标 （ ） （ ） （ ） …… …… …… （2）根据（1）特例分析，求函数（m是常数）的图象顶点所在直线的表达式； （3）已知同线函数K（k是常数）中的一个函数的图象顶点在第二象限内，将该函数沿坐标轴方向平移7个单位后与同线函数M中的一个函数重合，求函数的表达式； （4）若满足（3）中条件且时，将函数的图象在上方的部分沿直线向下翻折后，得到新函数Q．当直线与新函数Q的图象恰有3个公共点时，请直接写出b的值． 【答案】（1） （2） （3）（或顶点式） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）配成顶点式求顶点坐标； （2）先求出顶点，列出顶点和之间的关系即可得解； （3）分类讨论，沿轴左右平移或轴上下平移讨论，将新顶点坐标代入中求即可得解； （4）根据题意得，先求出与的交点坐标，画出图形，分类讨论求解即可． 【小问1详解】 ，顶点为， ，顶点为， ，顶点为， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ∴顶点为， 即， ∴顶点所在直线的表达式为； 【小问3详解】 ∵同线函数， ∴顶点坐标为， ∵顶点在第二象限， ， 由题意可知，平移后的顶点在直线上， ①沿轴向右平移7个单位， 此时顶点坐标， ， ∴函数的解析式为； ②沿轴向左平移7个单位， 此时顶点坐标为， ，与题意矛盾，故舍去； ③沿轴向上平移7个单位，此时顶点坐标为， ， 解得，与题意矛盾，故舍去； ④沿轴向下平移7个单位，此时顶点坐标为， ， 解得， ， ∴函数的解析式为； 综上，函数的表达式为或； 【小问4详解】 ∵， ∴函数的表达式为， 令， 解得或6， 如图，， 当直线经过点时，则直线与图象有3个交点， 此时， ， 当直线与在下方的部分只有一个交点时，则直线与图象有3个交点， 令 即 解得； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $