广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年八年级下学期学情调研问卷（数学）

2024-2025学年第二学期八年级学情调研问卷（数学） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．9的算术平方根是　　 A． B． C．3 D． 【分析】算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．依此即可求解． 【解答】解：9的算术平方根是3． 故选：． 【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 2．若，则下列结论成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据不等式的性质依次进行判断即可得． 【解答】解：、，则，选项说法错误，不符合题意； 、，则，选项说法错误，不符合题意； 、，则，选项说法错误，不符合题意； 、，则，选项说法正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 3．在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件能判定为直角三角形的有　　 （1） （2） （3） （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：（1），， ， ， 为直角三角形； （2），， ， 为直角三角形； （3）， ， 为直角三角形； （4）， ， 是直角三角形， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 4．一名射击运动员统计了45次射击成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，关于这组数据下列说法不正确的是　　 A．中位数是8 B．众数是8 C．平均数是8 D．方差是1.3 【分析】读懂折线统计图，根据中位数，众数，平均数，方差的定义求解即可． 【解答】解：由图可知，将45次射击成绩，从小到大依次排列，第23个数为8环，故中位数是8，选项正确，不符合题意； 8环出现次数最多，有18次，故众数为8，选项正确，不符合题意； 这组数据的平均数为，故选项正确，不符合题意； 这组数据的方差为，故选项不正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了折线统计图，中位数，众数，平均数，方差，读懂折线图，熟练掌握中位数，众数，平均数，方差的定义是解题的关键． 5．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据三角形的内角和得出，再利用可得答案． 【解答】解：如图， 、， ， 则， 故选：． 【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质． 6．下列四个命题中，真命题是　　 A．垂直于同一直线的两直线平行 B．如果，那么 C．的平方根是 D．三角形的一个外角大于任何一个内角 【分析】根据平行线的性质对进行判断；根据平方的意义对进行判断；根据根式的运算进行判断；根据三角形外角性质对进行判断． 【解答】解：、需在同一平面内，所以选项错误； 、如果，那么，所以选项错误； 、，9的平方根是，所以选项正确； 、三角形的一个外角大于任意与之不相邻的一个内角，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 7．我们知道，若．则有或．如图，直线与分别交轴于点、，则不等式的解集是　　 A． B． C． D．或 【分析】由若不等式，则或，然后分类讨论，分别根据函数图象求得解集． 【解答】解：若．则有或， 若不等式，则或． 当，由图得：，此时该不等式无解． 当，由图得：，此时不等式组的解集为． 综上：． 故选：． 【点评】本题主要考查一次函数图象与一元一次不等式，熟练掌握一次函数图象与一元一次不等式是解决本题的关键． 8．如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，，则的面积为　　 A．12 B．20 C．24 D．25 【分析】过点作于，则，根据平行线的性质和已知求出，再根据三角形三线合一得出，再根据，坐标得出，然后利用全等三角形的判定和性质得出，从而得出，再用三角形的面积公式求出的面积． 【解答】解：过点作于，则， ， ， 又， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形的面积，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，关键是求出线段的长度． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/7 23:31:28；用户：岳国新；邮箱：13421393204；学号：34847463 二．填空题（共5小题） 9．在实数，中最小的实数是 　　． 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【解答】解：， 在实数，中最小的实数是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 10．如图是一次函数的图象，则关于的不等式的解集为 　　． 【分析】根据一次函数的图象即可确定不等式的解集． 【解答】解：根据图象可知，当时，， 不等式的解集为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 11．规定表示不超过的最大整数，例如，若，，则的值为 　　． 【分析】根据题意找出、的最大整数，求和即可得解． 【解答】解：表示不超过的最大整数， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了相关实数的概念及估算，找对无理数和负数的最大整数是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底” 为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” 为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积” ．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底” ，“铅垂高” ，“矩面积” ． 若点，，，则，，三点的“矩面积” 的最小值为 　　． 【分析】首先由题意得：，然后知的最小值是，可得“矩面积” 的最小值． 【解答】解：对于点，，， 其“水平底” ， 根据题意得：的最小值为：1， ，，三点的“矩面积”的最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题是新定义：“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”的学习，考查坐标与图形的性质及学生的理解分析能力的培养，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题． 13．如图所示，等腰直角△中，，是斜边的中点，为下方一点，，，，则　　． 【分析】过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，先证明△△，得出，，然后在证△是等腰直角三角形，求出的长，再根据勾股定理求出的长． 【解答】解：如图，过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，则， 在等腰直角△中，是斜边的中点， ，， ， ， △△， ，， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共15小题） 14．计算题 （1）； （2）． （3）． 【解答】解：（1） ； （2）原式 ． （3）原式 ． 【点评】此题考查了平方差公式，实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 15．解下列不等式（组 （1）求不等式的解； （2）解不等式组． 【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可． 【解答】解：（1）， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 16．“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在举办的数学文化节上对八年级（1）班和（2）班开展了趣味数学知识竞赛，现从两班参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为，，三个等级（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀） ，，．下面给出了部分信息： 八年级（1）班10名学生的成绩在等级中的数据为：81，82，84，88，88． 八年级（2）班10名学生的成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 86 88 62.4 八（2）班 86 85 56 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　86　，　　，　　． （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派 　　班． （3）若八年级两个班共有110名学生参赛，请估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数． 【分析】（1）根据中位数，众数定义可得，的值，求出等级的百分比，进而可得的值； （2）根据方差的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【解答】解：（1）由扇形统计图可得，八年级等级的有（人， 把八年级10名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是84，88，故中位数， 在74，75，84，84，84，86，86，95，95，97中，出现次数最多的是84， 众数， ，即； 故答案为：86，84，30； （2）八（2）班的方差小于八（1）班的方差， 八（2）班的成绩更稳定， 学校会选派八（2）班； 故答案为：八（2）； （3）（名， 答：估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数为33名． 【点评】本题考查了平均数，中位数，众数，方差以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是关键． 17．（本题8分）如图，点，，在同一条直线上，，，，，． （1）求证：； （2）连接AE，求点B到AE的距离． 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可求，由等积法即可求解． 【解答】证明：（1）过程略； （2）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 18．某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【分析】（1）设甲种奖品的单价为元件，乙种奖品的单价为元件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为，由甲种奖品不少于20件，可得出关于的取值范围，再由总价单价数量，可得出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为元件，乙种奖品的单价为元件， 依题意，得：， 解得， 答：甲种奖品的单价为20元件，乙种奖品的单价为10元件． （2）设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，设购买两种奖品的总费用为元， 甲种奖品不少于20件， ． 依题意，得：， ， 随值的增大而增大， 当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式． 19．某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数的图象． ①列表： 0 1 0 2 1 0 其中，表格中的值为 　1　； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． （2）观察函数的图象，回答下列问题； ①当　　时，函数有最大值，最大值为 　　； ②方程的解是　　． （3）已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的的取值范围 　　． 【分析】（1）把代入解析式即可求得，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【解答】解：（1）当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，或2； （3）画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，数形结合是解决本题关键． 20．如图1，等腰直角三角形中，，．过作于点，过作于点．易证得△△．（无需证明），我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“形图． ( 图1 图2 图3 图 4 图 1 图 1 ) 【问题初探】如图2，已知直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第二象限作等腰△． （1）求点的坐标，并求出直线的表达式； 【应用探究】 （2）如图3，直线交轴于，在直线上取一点，连接，若，求证：； 【拓展延伸】 （3）随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善环境，渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所，为居民幸福生活提供越来越丰富的作用．为了提升居住环境水平，高新区准备对区内一个街心花园进行改造，如图4，设计师标记公园原址为长方形，并以点为原点建立平面直角坐标系，已知、的坐标分别是，．设计师准备在原花园的两边和上分别选取点和点，以为斜边在的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形区域作为餐饮角，由于点处是地铁站，为方便市民出行，设计师想确定点的位置，使点到点的距离最小，请你利用所学知识帮助设计师在图4中标出（不限作图工具，保留作图痕迹），使得最小，并直接写出的最小值． 【分析】（1）由可证△△，可得，，可求点坐标，由待定系数法可求直线的表达式； （2）由待定系数法可求解析式，可求点坐标，由等腰三角形的性质可求，可求点坐标，即可求解； （3）过作轴交轴于，过作于，由△△，知，设，则，可得，即可得到答案． 【解答】（1）解：令，则，令，则，则点、的坐标分别为：、， 过点作轴于点， ，， ， 又，， △△， ，， 则点， 将点、的坐标代入一次函数表达式：得： ，解得：， 故直线的表达式为：； （2）过作轴，过作交于，作作于，过作于，如图： 由可得，， ，， 直线绕点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交轴于点， 是等腰直角三角形， 由阅读材料：“形图”可知， ，， ， 由，得直线的解析式为， 在中，令得， ，，， ， 的面积为； （3）过作轴交轴于，过作于，如图： 是等腰直角三角形， ， ， 设，则， ，， ， ， 当时，取最小值， ，的最小值为． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及“形图”，解题的关键是读懂题意，能灵活应用“形图”证明三角形全等． 2024-2025学年第二学期八年级 学情调研问卷答案 数学 第1页 共17页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级学情调研问卷 数学 2025年2月 说明：1．答题前，考生务必在在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并用2B铅笔填涂考号． 2．用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答．如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不按照以上要求作答，视为无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 9的算术平方根是（ ） A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D. 2. 若，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件：；；；，能判定为直角三角形的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 一名射击运动员统计了45次射击成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，关于这组数据下列说法不正确的是（ ） A. 中位数是8 B. 众数是8 C. 平均数是8 D. 极差是14 5. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（    ）. A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 6. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 垂直于同一直线两直线平行 B. 如果，那么 C. 的平方根是 D. 三角形的一个外角大于任何一个内角 7. 我们知道，若．则有或．如图，直线与分别交x轴于点，则不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 或 8. 如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接交轴于点，连接，，则的面积为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 25 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 在实数，中最小的实数是 _____． 10. 如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为______． 11. 规定表示不超过的最大整数，例如，若，，则的值为________． 12. 在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若点，，，则，，三点的“矩面积”的最小值为________． 13. 如图所示，在等腰直角中，，O是斜边中点，M为下方一点，且，，，则______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算题： （1） （2） （3） 15. 解下列不等式（组）： （1） （2）． 16. “感受数学魅力，提升数学素养”，某校在举办的数学文化节上对八年级（1）班和（2）班开展了趣味数学知识竞赛，现从两班参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩分为，，三个等级（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀）： A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 八年级（1）班10名学生的成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88； 八年级（2）班10名学生的成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97； 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 86 88 62.4 八（2）班 86 85 56 抽取的八年级1班学生竞赛成绩扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派______班； （3）若八年级两个班共有110名学生参赛，请估计两班参加此次竞赛活动成绩优秀的学生总人数． 17. 如图，点，，在同一条直线上，，，，，． （1）求证：； （2）连接，求点到的距离． 18. 某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元． （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 19. 某校八年级学生在数学综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． （2）观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值________； ②方程的解是________． （3）已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 20. 如图1，等腰直角三角形中，，．过作于点，过作于点．可证得．我们将这个模型称为“一线三等角”或者叫“形图”． 【问题初探】如图2，已知直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第二象限作等腰，求点的坐标及直线的表达式； 【应用探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交轴于点．求的面积． 拓展延伸】 随着城市建设的发展，街心花园越来越多地出现在人们的生活中，其功能也由最初的美化市容、改善环境，渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所，为居民幸福生活提供越来越丰富的作用．为了提升居住环境水平，高新区准备对区内一个街心花园进行改造，如图4，设计师标记公园原址为长方形，并以点为原点建立平面直角坐标系，已知、的坐标分别是，．设计师准备在原花园的两边和上分别选取点和点，以为斜边在的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形区域作为餐饮角，由于点处是地铁站，为方便市民出行，设计师想确定点的位置，使得点到点的距离最小，请你利用所学知识帮助设计师找到点的位置，并求出的最小值． 2024-2025学年第二学期八年级学情调研问卷 数学 2025年2月 说明：1．答题前，考生务必在在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并用2B铅笔填涂考号． 2．用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答．如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不按照以上要求作答，视为无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】x＞2 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 【14题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）2； （3）33人． 【17题答案】 【答案】（1）见解析 （2）点到的距离为． 【18题答案】 【答案】（1）甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件 （2）当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元 【19题答案】 【答案】（1）1；作图见解析 （2）①；2；②或2 （3） 【20题答案】 【答案】【问题初探】：；【应用探究】：；【拓展延伸】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $