专题11江苏省2025九年级下学期一轮复习——统计和概率

一轮复习——统计和概率 一、统计 频数:数据分组后落在各小组内数据的个数，频数之和等于总数 频率:每一组数据频数与数据总数的比，频率之和等于1； 二、概率 考点1 事件的分类 考点2 概率的概念 概率与频率 概率的定义：表示一个事件A发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率，记为P（A）． 等可能事件的概率：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝. 概率意义：概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小． 2、 概率的计算 考点一、概率的计算方法 1、列举法求概率： 如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝ . 2、 树形图求概率： 当一次试验涉及3个或更多因素（例如从3个口袋中取球）时，列举法就不方便了，可采用树形图法表示出所有可能的结果，再根据树形图计算概率。 3、 列表法求概率：当事件中只涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，叫做列表法。其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标。 4、利用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的概率m/n稳定于某个常数p，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）＝p（0≤P（A）≤1） 考点二、 概率的应用 用概率分析事件发生的可能性： 概率在日常生活和科技方面有着广泛的应用，如福利彩票、体育彩票，有奖促销等．事件发生的可能性越大，概率就越大。 用概率设计游戏方案： 在设计游戏规则时应注意设计的方案要使双方获胜的概率相等；同时设计的方案要有科学性、实用性和可操作性等 一、统计 考点一：平均数，中位数，众数 【典型例题】 1.（2024·江苏镇江·中考真题） 小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为________环． 2.（2024·江苏镇江·中考真题） 一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为________． 3.（2024·江苏常州·中考真题） 某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下： 完全充放电次数t 充电宝数量/个 2 3 10 5 （1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由； （2）根据上述信息，下列说法中正确的是________（写出所有正确说法的序号）； ①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次； ②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足； ③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足． （3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量． 4.（2024·江苏扬州·中考真题）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 7 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的众数是（ ） A. B. C. D. 5.（2023·江苏徐州·中考真题）徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示． 其中，海拔为中位数的是（ ） A. 第五节山 B. 第六节山C. 第八节山 D. 第九节山 6.（2023·江苏扬州·中考真题）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； （3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 考点二：方差、标准差 【典型例题】 1.（2024·江苏常州·中考真题）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 2.（2023·江苏淮安·中考真题）将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图(如图)，两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则_________(填“”“”或“”)． 考点三：频率分布直方图 【典型例题】 1.（2024·江苏连云港·中考真题）为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【收集数据】 100 94 88 88 52 79 83 64 83 87 76 89 91 68 77 97 72 83 96 73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示） 等次 频数（人数） 频率 不合格 1 0.05 合格 a 0.20 良好 10 0.50 优秀 5 b 合计 20 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c； 【解决问题】 （1）填空：__________，__________，__________； （2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人？ （3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法． 2.（2024·江苏无锡·中考真题）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号） ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本 ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 0.04 0.45 0.30 0.09 合计 1 根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的______； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少． 3. （2023·江苏淮安·中考真题）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析． 数据收集（单位：万元）： 5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8 5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8 数据整理： 销售额/万元 频数 3 5 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 7.44 8. 问题解决： （1）填空：_________，_________． （2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有_____名员工获得奖励． （3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释． 4.（2023·江苏南通·中考真题）某校开展以"筑梦天宫、探秘苍穹"为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表． （1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有____________人； （2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些?请从两个方面说明理由． 5.（2023·江苏苏州·中考真题）某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图： （1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为________________；（填“合格”、“良好”或“优秀”） （2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？ （3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？ 考点四：统计图 【典型例题】 1.（2024·江苏苏州·中考真题） 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图②中项目E对应的圆心角的度数为______°； （3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数． 2.（2024·江苏宿迁·中考真题）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 3.（2023·江苏宿迁·中考真题）. 为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图． 学生参加周末活动人数统计表 活动名称 人数 A．课外阅读 40 B．社会实践 48 C．家务劳动 m D．户外运动 n E．其它活动 26 请结合图表中提供的信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）扇形统计图中A对应的圆心角是________度； （3）若该校九年级有800名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数． 4.（2023·江苏泰州·中考真题）如图是我国2019~2022年汽车销售情况统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的_____________（精确到）； 这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是___________年； （2）小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由． 二、概率 题型一：随机事件 【典型例题】 1.（2024·江苏连云港·中考真题）下列说法正确的是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 2.（2023·江苏泰州·中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ） A. 试验次数越多，f越大 B. f与P都可能发生变化 C. 试验次数越多，f越接近于P D. 当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 3.（2023·江苏徐州·中考真题） 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 题型二：概率大小 【典型例题】 1.（2024·江苏扬州·中考真题） 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于__________（精确到0.01）． 2.（2023·江苏盐城·中考真题）随着盐城交通快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）. （1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________． （2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率． 3.（2023·江苏扬州·中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）． 题型三：几何概率 【典型例题】 1.（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 2.（2024·江苏苏州·中考真题） 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 3.（2023·江苏常州·中考真题）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是______． 题型四：列表法与树状图 【典型例题】 1.（2024·江苏镇江·中考真题）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上． （1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________； （2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率． 2.（2024·江苏扬州·中考真题） 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动． （1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______； （2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率． 3.（2024·江苏盐城·中考真题） 在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议间学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动． A．新四军纪念馆（主馆区）； B．新四军重建军部旧址（泰山庙）： C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）， 小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站． （1）小明选择基地A的概率为________： （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——统计和概率 一、统计 频数:数据分组后落在各小组内数据的个数，频数之和等于总数 频率:每一组数据频数与数据总数的比，频率之和等于1； 二、概率 考点1 事件的分类 考点2 概率的概念 概率与频率 概率的定义：表示一个事件A发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率，记为P（A）． 等可能事件的概率：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝. 概率意义：概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小． 2、 概率的计算 考点一、概率的计算方法 1、列举法求概率： 如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）＝ . 2、 树形图求概率： 当一次试验涉及3个或更多因素（例如从3个口袋中取球）时，列举法就不方便了，可采用树形图法表示出所有可能的结果，再根据树形图计算概率。 3、 列表法求概率：当事件中只涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，叫做列表法。其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标。 4、利用频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的概率m/n稳定于某个常数p，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作P（A）＝p（0≤P（A）≤1） 考点二、 概率的应用 用概率分析事件发生的可能性： 概率在日常生活和科技方面有着广泛的应用，如福利彩票、体育彩票，有奖促销等．事件发生的可能性越大，概率就越大。 用概率设计游戏方案： 在设计游戏规则时应注意设计的方案要使双方获胜的概率相等；同时设计的方案要有科学性、实用性和可操作性等 一、统计 考点一：平均数，中位数，众数 【典型例题】 1.（2024·江苏镇江·中考真题） 小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为________环． 【答案】7.5 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图和中位数，熟练掌握中位数的定义和计算方法是关键．根据中位数的定义即可得出答案． 【详解】解：射击成绩从小到大重新排列为：4，5，7，8，9，10， 中位数为． 故答案为：7.5 2.（2024·江苏镇江·中考真题） 一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查众数，关键是掌握众数的定义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，延长即可得到答案． 【详解】解：数据：1、1、1、2、5、6的众数为1． 故答案为：1 3.（2024·江苏常州·中考真题） 某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下： 完全充放电次数t 充电宝数量/个 2 3 10 5 （1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由； （2）根据上述信息，下列说法中正确的是________（写出所有正确说法的序号）； ①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次； ②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足； ③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足． （3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量． 【答案】（1）见解析 （2）①② （3）500个 【解析】 【分析】本题考查调查方式，求中位数，众数，利用样本估计总体： （1）根据调查方式的选择，进行说明即可； （2）根据统计表的数据，中位数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：对充电宝的使用寿命进行调查，对充电宝具有破坏性，故不能采用普查的方式． 【小问2详解】 解：由统计表可知：这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；故①正确； 将数据排序后，第10个和第11个数据均位于，故这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足；故②正确； 由统计表的中的数据可知，的数据只有2个，故平均数一定大于400，故③错误； 故答案为：①②； 【小问3详解】 解：（个）． 4.（2024·江苏扬州·中考真题）第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表： 视力 人数 7 4 4 7 11 10 5 3 这45名同学视力检查数据的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现最多的数，叫做众数，根据众数的定义进行判断即可． 【详解】解：这45名同学视力检查数据中，出现的次数最多，因此众数是． 故选：B． 5.（2023·江苏徐州·中考真题）徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示． 其中，海拔为中位数的是（ ） A. 第五节山 B. 第六节山 C. 第八节山 D. 第九节山 【答案】C 【解析】 【分析】根据折线统计图把数据按从小到大排列，然后根据中位数可进行求解． 【详解】解：由折线统计图可按从小到大排列为90.7、99.2、104.1、119.2、131.8、133.5、136.6、139.6、141.6，所以海拔为中位数的是第5个数据，即为第八节山； 故选C． 【点睛】本题主要考查折线统计图及中位数，熟练掌握中位数的求法是解题的关键． 6.（2023·江苏扬州·中考真题）某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 m 87 八年级参赛学生成绩 85.5 85 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________，________； （2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）； （3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）找到七年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将八年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，进行判断即可； （3）利用平均数和中位数作决策即可． 【小问1详解】 解：七年级的10个数据中，出现次数最多的是：80， ∴； 将八年级的10个数据进行排序：； ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 由折线统计图可知：七年级的成绩波动程度较大， ∵方差越小，数据越稳定， ∴； 故答案为：． 【小问3详解】 七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好． 【点睛】本题考查数据分析．熟练掌握众数，中位数的确定方法，利用中位数作决策，是解题的关键． 考点二：方差、标准差 【典型例题】 1.（2024·江苏常州·中考真题）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为， 由题意可知，， ； 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ， 故答案为：． 2.（2023·江苏淮安·中考真题）将甲、乙两组各10个数据绘制成折线统计图(如图)，两组数据的平均数都是7，设甲、乙两组数据的方差分别为，则_________(填“”“”或“”)． 【答案】 【解析】 【分析】根据折线统计图可得甲的数据波动较小，进而根据方差的意义即可求解． 【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较小，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折线统计图，方差的意义，理解数据波动小的方差小是解题的关键． 考点三：频率分布直方图 【典型例题】 1.（2024·江苏连云港·中考真题）为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【收集数据】 100 94 88 88 52 79 83 64 83 87 76 89 91 68 77 97 72 83 96 73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示） 等次 频数（人数） 频率 不合格 1 0.05 合格 a 0.20 良好 10 0.50 优秀 5 b 合计 20 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c； 【解决问题】 （1）填空：__________，__________，__________； （2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人？ （3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法． 【答案】（1）4，0.25，83 （2）75人 （3）男生体能状况良好 【解析】 【分析】本题考查频数分布表和用样本估计总体： （1）利用频数=频率×数据总数可求出a的值；利用频率=频数÷数据总数可求出b，最后根据中位数定义可求出c； （2）用样本估计总体可得结论； （3）结合分析，得出看法 【小问1详解】 解：； ； 把20个数据按从小到大的顺序排列为：52，64，68，72，73，76，77，79，83，83，83，87，88，88，89，91，94，96，97，100， 最中间的两个数据为83，83， 所以，， 故答案为：4，0.25，83； 【小问2详解】 解：（人） 答：估计体能测试能达到优秀的男生约有75人； 【小问3详解】 解：从样本的平均数、中位数和众数可以看出，男生整体体能状况良好 2.（2024·江苏无锡·中考真题）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号） ①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本 ③随机抽取100个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下： 试验田100个麦穗长度频率分布表 长度 频率 0.04 0.45 0.30 0.09 合计 1 根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的______； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少． 【答案】（1）③（2）①0.12，频数分布直方图见详解 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键． （1）根据抽样调查的特点回答即可． （2）①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后即可补全频数分布直方图 （3）把长度不小于的麦穗的频率相加即可求解． 【详解】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性， ∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本， 故答案为：③ （2）①频率分布表中的， 故答案为：0.12， ②麦穗长度频率分布在之间的频数有：， 频数分布直方图补全如下： （3）， 故长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为． 3. （2023·江苏淮安·中考真题）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析． 数据收集（单位：万元）： 5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8 5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8 数据整理： 销售额/万元 频数 3 5 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 7.44 8. 问题解决： （1）填空：_________，_________． （2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有_____名员工获得奖励． （3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释． 【答案】（1）4，7.7 （2）12 （3）7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励 【解析】 【分析】（1）根据所给数据及中位数的定义求解； （2）根据频数分布表求解； （3）利用中位数进行决策． 【小问1详解】 解：该组数据中有4个数在7与8之间，故， 将20个数据按从小到大顺序排列，第10位和第11位分别是7.6，7.8，故中位数， 故答案为：4，7.7； 【小问2详解】 解：月销售额不低于7万元的有：（人）， 故答案为：12； 【小问3详解】 解：7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励． 【点睛】本题考查频数分布表，中位数，利用中位数做决策等，解题的关键是掌握中位数的求法及意义． 4.（2023·江苏南通·中考真题）某校开展以"筑梦天宫、探秘苍穹"为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表． （1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有____________人； （2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些?请从两个方面说明理由． 【答案】（1）90 （2）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）求出优秀等次的频率，再求出总人数，用样本估计总体； （2）根据平均数，中位数，众数，方差进行评价． 【小问1详解】 解：， 故答案为：90； 【小问2详解】 解：答案不唯一，如：七年级学生的竞赛成绩更好些． 理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而七年级学生成绩的方差小，成绩更稳定； 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而七年级学生成绩的优秀及良好占比更高． 八年级学生的竞赛成绩更好些． 理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生成绩的中位数高于七年级； 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生成绩的众数高于七年级． 【点睛】本题考查方差、中位数、众数、条形图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5.（2023·江苏苏州·中考真题）某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图： （1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为________________；（填“合格”、“良好”或“优秀”） （2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？ （3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？ 【答案】（1）合格 （2）分 （3）人 【解析】 【分析】（1）由32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数，从而可得答案； （2）分别计算培训前与培训后的平均成绩，再作差即可； （3）利用总人数乘以良好与优秀所占的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数， ∴这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格； 【小问2详解】 32名学生在培训前的平均分为：（分）， 32名学生在培训后的平均分为：（分）， 这32名学生培训后比培训前的平均分提高了（分）； 【小问3详解】 培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是： （人）． 【点睛】本题考查的是频数分布直方图，利用样本估计总体，求解平均数，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键． 考点四：统计图 【典型例题】 1.（2024·江苏苏州·中考真题） 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图②中项目E对应的圆心角的度数为______°； （3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数． 【答案】（1）见解析 （2）72 （3）本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）利用C组的人数除以所占百分比求出总人数，然后用总人数减去A、B、C、E组的人数，最后补图即可； （2）用乘以E组所占百分比即可； （3）用800乘以B组所占百分比即可． 【小问1详解】 解：总人数为， D组人数为， 补图如下： 【小问2详解】 解：， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：（人）． 答：本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人． 2.（2024·江苏宿迁·中考真题）某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：A篮球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并绘制了统计图： 某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查样本容量是________，扇形统计图中C对应圆心角的度数为________ （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数． 【答案】（1）200；36 （2）见解析 （3）460人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体： （1）用最喜欢“D羽毛球”的学生人数除以其所占的百分比，可得样本容量，再用360度乘以最喜欢“B足球”的学生人数所占的百分比，即可求解； （2）求出最喜欢“B足球”的学生人数，即可求解； （3）用2000乘以最喜欢“E乒乓球”的学生人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是； 扇形统计图中C对应圆心角的度数为； 故答案为：200；36 【小问2详解】 解：最喜欢“B足球”学生人数为人， 补全条形统计图，如图： 【小问3详解】 解：人， 即该校最喜欢“E乒乓球”的学生人数为460人． 3.（2023·江苏宿迁·中考真题）. 为了解某校九年级学生周末活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计表和统计图． 学生参加周末活动人数统计表 活动名称 人数 A．课外阅读 40 B．社会实践 48 C．家务劳动 m D．户外运动 n E．其它活动 26 请结合图表中提供的信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）扇形统计图中A对应的圆心角是________度； （3）若该校九年级有800名学生，请估算该校九年级周末参加家务劳动的人数． 【答案】（1）24，62 （2）72 （3）估算该校九年级周末参加家务劳动的人数为96名 【解析】 【分析】（1）先根据的扇形统计图和统计表信息可求出抽取调查的学生总人数，再根据的扇形统计图可求出的值，然后利用抽取调查的学生总人数减去其他活动的人数可得的值； （2）利用乘以的学生人数所占百分比即可得； （3）利用该校九年级的学生总人数乘以周末参加家务劳动的学生人数所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：抽取调查的学生总人数为（人）， 则（人）， （人）， 故答案为：24，62． 【小问2详解】 解：， 即扇形统计图中对应的圆心角是72度， 故答案为：72． 【小问3详解】 解：（名）， 答：估算该校九年级周末参加家务劳动的人数为96名． 【点睛】本题考查了统计表和扇形统计图、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查相关知识是解题关键． 4.（2023·江苏泰州·中考真题）如图是我国2019~2022年汽车销售情况统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的_____________（精确到）； 这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是___________年； （2）小明说：新能源汽车2022年的销售量超过前3年的总和，所以2022年新能源汽车销售量的增长率比2021年高．你同意他的说法吗？请结合统计图说明你的理由． 【答案】（1）26，2022年 （2）不同意．理由见详解 【解析】 【分析】（1）将图中数据分别计算年我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比即可求解； （2）求出2021、2022年新能源汽车销售量的增长率即可求解． 【小问1详解】 2022年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：， 2021年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：， 2020年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：， 2019年我国新能源汽车销售量约占该年各类汽车销售总量的占比为：， 这4年中，我国新能源汽车销售量在各类汽车销售总量占比最高的年份是2022年． 故答案为：26，2022年； 【小问2详解】 不同意．理由如下： 2022年新能源汽车销售量的增长率为：， 2021年新能源汽车销售量的增长率为：， 年新能源汽车销售量的增长率比2021年低． 【点睛】本题主要考查了条形统计图，折线统计图，准确从统计图获取信息是解题的关键． 二、概率 题型一：随机事件 【典型例题】 1.（2024·江苏连云港·中考真题）下列说法正确的是（ ） A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意； C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意； D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2.（2023·江苏泰州·中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ） A. 试验次数越多，f越大 B. f与P都可能发生变化 C. 试验次数越多，f越接近于P D. 当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键． 3.（2023·江苏徐州·中考真题） 下列事件中的必然事件是（ ） A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解∶ A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确； B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误； C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误； D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误； 故选∶ A． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 题型二：概率大小 【典型例题】 1.（2024·江苏扬州·中考真题） 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于__________（精确到0.01）． 【答案】0.53 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53， 故答案：0.53 2.（2023·江苏盐城·中考真题）随着盐城交通快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路和省级公路两条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路、高速公路和城市高架三条路线.小华驾车从甲镇到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）. （1）从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为_________． （2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）列表表示出所有的可能性，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： C D E A AC AD AE B BC BD BE 共有6种等可能的结果，其中两段路程都选省级公路只有，共1种， ∴小华两段路程都选省级公路的概率． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 3.（2023·江苏扬州·中考真题）某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率（精确到0.001） 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为________（精确到0.01）． 【答案】0.93 【解析】 【分析】根据题意，用频率估计概率即可． 【详解】解：由图表可知，绿豆发芽的概率的估计值0.93， 故答案为：0.93． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 题型三：几何概率 【典型例题】 1.（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 2.（2024·江苏苏州·中考真题） 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 3.（2023·江苏常州·中考真题）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何概率的求解公式即可求解． 【详解】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为5个小正方形的面积， ∴击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查概率求解，解题的关键是熟知几何概率的公式． 题型四：列表法与树状图 【典型例题】 1.（2024·江苏镇江·中考真题）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上． （1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于__________； （2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样， 洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为、、， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种， 抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为． 2.（2024·江苏扬州·中考真题） 2024年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A、B、C、D、E）参加公益讲解活动． （1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区，则选中东关街的概率是______； （2）小明和小亮在C、D、E三个景区中，各自随机选择1个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图；能理解“放回与不放回的区别”是解题的关键． （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 【小问1详解】 解：由题意得从这些景区随机选择1个景区，选中东关街的有1种可能， ∴选中东关街的概率是， 故案䅁为：； 【小问2详解】 列表如下： 小亮 小明 C D E C D E 共有9种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种结果， ∴小明和小亮选到相同景区的概率：； 答：小明和小亮选到相同景区的概率． 3.（2024·江苏盐城·中考真题） 在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议间学们利用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动． A．新四军纪念馆（主馆区）； B．新四军重建军部旧址（泰山庙）： C．新四军重建军部纪念塔（大铜马）， 小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站． （1）小明选择基地A的概率为________： （2）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择相同基地的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小丽选择相同基地的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小明选择基地A的概率为； 故答案为： 【小问2详解】 解：列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中小明和小丽选择到相同基地的结果有3种， ∴小明和小丽选择相同基地的概率为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$