江苏省2025年九年级中考数学 一轮复习专题10——平移、旋转和对称讲义

一轮复习——平移、旋转和翻折 1、平移 平移的定义：生活中，常常可见物体或人沿一定方问平行移动的情景，例如:物体在安检机上移动等. 一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移. 如图，平移△ABC 得到△A'B'C'，其中点A'是点A的对应点，线段A'B'是线段 AB 的对应线段，A'B' =AB，∠A'B'C'是∠ABC 的对应角，∠A'B'C'=∠ABC 射线 BB'的方向就是平移的方向，线段 BB'(或AA'或CC')的长度就是平移的距离. 平移的性质：平移前后的图形可以重合；对应线段相等，对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。 2、旋转 定义：在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 性质（1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 旋转有两条重要性质： 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。 作图步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 中心对称图形定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。 3、翻折 定义：轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 一、平移 【例1】（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 【例2】（2023·苏州中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）当为何值时，值最大?最大值是多少? 【例3】（2023·盐城中考真题）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【例4】（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． （1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； （2）如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点D、E、G的坐标分别是、、，以点G为圆心，r为半径画圆．若对上的任意点F，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出r的取值范围． 二、旋转 题型一：点、线旋转 【例1】（2023·连云港中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为__________． 【例2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 【例3】（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 【例4】（2023·宿迁中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________． 题型二：面的旋转 【例1】（2023·连云港中考真题）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边旋转的度数至少为______°． 【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 【例3】（2023·盐城中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为_________. 三、对称 题型一：三角形翻折问题 【例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【例2】（2023·镇江中考真题）如图，将矩形沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 【例3】（2023·扬州中考真题）【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设． 【操作探究】 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． （1）当时，________；当时，________； （2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； （3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________． 题型二：四边形翻折问题 【例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则______． 【例2】（2023·扬州中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________． 【例3】（2024·江苏宿迁·中考真题） 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——平移、旋转和翻折 1、平移 平移的定义：生活中，常常可见物体或人沿一定方问平行移动的情景，例如:物体在安检机上移动等. 一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移. 如图，平移△ABC 得到△A'B'C'，其中点A'是点A的对应点，线段A'B'是线段 AB 的对应线段，A'B' =AB，∠A'B'C'是∠ABC 的对应角，∠A'B'C'=∠ABC 射线 BB'的方向就是平移的方向，线段 BB'(或AA'或CC')的长度就是平移的距离. 平移的性质：平移前后的图形可以重合；对应线段相等，对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。 2、旋转 定义：在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 性质（1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 旋转有两条重要性质： 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键。 作图步骤可分为： ①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； ②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角） ③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。 中心对称图形定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。 中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。 3、翻折 定义：轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 一、平移 【例1】（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 【例2】（2023·苏州中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上． （1）求的值； （2）当为何值时，值最大?最大值是多少? 【答案】（1）， （2）当时，取得最大值，最大值为 【解析】 分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； 【小问2详解】 ∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【例3】（2023·盐城中考真题）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图象逐个分析即可． 【详解】由函数图象可得： 当时，或；故①错误； 当时，有最小值；故②正确； 点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误； 将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合． 【例4】（2024·江苏常州·中考真题）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． （1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； （2）如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）如图3，在平面直角坐标系中，点D、E、G的坐标分别是、、，以点G为圆心，r为半径画圆．若对上的任意点F，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出r的取值范围． 【答案】（1）， （2）图见解析（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，进行求解即可； （2）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （3）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵B、C、D是线段AE的四等分点．， ∴， ∴， ∴线段的平移图形是，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图：即为所求； 由作图可知：， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴即为所求； 【小问3详解】 ∵点D、E、G的坐标分别是、、， ∴， ∴， ∵对上的任意点F，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且， ∴， 当在圆外时， ∵，， ∴， ∴， ∴． 当在圆内时， 则：， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键． 二、旋转 题型一：点、线旋转 【例1】（2023·连云港中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解． 【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度， ∴点的坐标可以表示为 故答案为：． 【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题关键． 【例2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 【例3】（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即有点C，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶ 设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长，即可利用待定系数法求得解析式． 【例4】（2023·宿迁中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示， 由图象可得，点，在x轴的正半轴上， ∴．旋转3次为一个循环， ∵ ∴点在射线的延长线上， ∴点在x轴的正半轴上， ∵，是正三角形， ∴由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴同理可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴由旋转的性质可得，， ∴如图所示，过点作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键． 题型二：面的旋转 【例1】（2023·连云港中考真题）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边旋转的度数至少为______°． 【答案】 【解析】 【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用． 【例2】（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 如图所示，过于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【例3】（2023·盐城中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， 由旋转的性质得，， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴点的运动路径的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形． 三、对称 题型一：三角形翻折问题 【例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 【例2】（2023·镇江中考真题）如图，将矩形沿对角线翻折，的对应点为点，以矩形的顶点为圆心、为半径画圆，与相切于点，延长交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得，则，由矩形的性质得，再由直角三角形两锐角互余得，根据对顶角相等和同圆的半径相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角对等边得出结论； （2）由锐角三角函数得，，得，由翻折得，由得，再由矩形对边相等得，最后在中解直角三角形即可得出结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵与相切于点E， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是四边形与圆的综合题，考查了矩形的性质、切线的性质、翻折的有关性质、锐角三角函数的定义，正确作出辅助线，巧用解直角三角形是解答本题的关键． 【例3】（2023·扬州中考真题）【问题情境】 在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设． 【操作探究】 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． （1）当时，________；当时，________； （2）当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积； （3）如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________． 【答案】（1）2；30或210 （2）画图见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，与重合，证明为等边三角形，得出；当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可； （2）证明四边形是正方形，得出， 求出，得出，求出，根据求出两块三角板重叠部分图形的面积即可； （3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可． 【小问1详解】 解：∵和中， ∴， ∴当时，与重合，如图所示：连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴； 当时， ∵， ∴当时，为直角三角形，， ∴， 当在下方时，如图所示： ∵， ∴此时； 当在上方时，如图所示： ∵， ∴此时； 综上分析可知，当时，或； 故答案为：2；30或210． 【小问2详解】 解：当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 即两块三角板重叠部分图形的面积为． 【小问3详解】 解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∴将绕着点A旋转一周，点F在以为直径圆上运动， ∵ ∴点F运动的路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 题型二：四边形翻折问题 【例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【例2】（2023·扬州中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴， 设，则，则 ∴ 即 ∴ ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 又, ∴， ∴ 在中， 即 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【例3】（2024·江苏宿迁·中考真题） 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】 若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45； [探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解； [深入研究] 【解析】 【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解； [探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 连接，先证明，则，由，设，则，而， 则，可得，，，那么，故． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [探究证明] 解：（1）如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）如图， 由翻折得，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$