江苏省2025年九年级 数学一轮复习专题04二次函数讲义

一轮复习——二次函数 知识点一：二次函数的概念 一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点二：二次函数的图像与性质 1．二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 3.二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，． （2）当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，． 4.抛物线的平移 （1）将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）． （2）保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 【知识拓展】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点三：二次函数与一元二次方程 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 考点一：二次函数图像与性质 【例1】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式训练】 1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏镇江·中考真题）二次函数的最大值为 ． 【例2】 1．（2024·江苏徐州·二模）把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为 ． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【变式训练】 1．（2023·徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏盐城·三模）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·三模）如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【例3】 1．（2024·江苏泰州·二模）二次函数（，h，k为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则h的值可能为（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（2024·江苏盐城·三模）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·扬州·中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．② D．③④ 2．（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(   ) A． B． C． D． 3．当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为_________． 4．（2024·江苏宿迁·二模）若实数x，y满足关系式，且，则t的取值范围为 ． 考点二：二次函数图像问题 【例1】 1．（2024·江苏扬州·三模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练】 1．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图像如图所示，①；②；③；④；上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的序号是（    ） A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤ 考点三：二次函数的实际应用 【例1】 1．（2022·南通·中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点． 2．（2022·连云港·中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 ． 3．（2023·无锡·中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．   (1)求关于的函数表达式： (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 【变式训练】 1．（2023·宿迁·中考真题）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元． (1)求两种商品的销售单价． (2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 考点四：二次函数综合 【例1】 1．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为P，与y轴交于点D． (1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________； (2)如图，点M是在x轴下方抛物线上一点，面积为3m，求点M的横坐标； (3)的圆心C在x轴上，且经过A、B两点，若直线PD与相交，则m的取值范围是___________． 【变式训练】 1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 练习 1. （24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. （2022·江苏徐州·校考二模）二次函数的图像如图所示，则函数值时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3. （2023·江苏连云港·模拟预测）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C． D．不能确定 4. （2024·江苏常州·二模）如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，的结论是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 5. （2022·江苏泰州·校联考三模）小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数的图像恒过一定点P，则P点坐标为______． 6. （2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 7. （2024·江苏泰州·一模）若一个二次函数的最小值为3，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个符合题意的函数表达式即可） 8. （2024·江苏宿迁·二模）如图，抛物线的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C，下面四个结论：①；②；③，是抛物线上两点，若，则；④使为等腰三角形的a值可以有2个．其中正确的结论有 （填序号） 9. （2024·江苏南京·模拟预测）二次函数的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的图像的函数表达式为 ． 10. （24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2，其中正确结论是 （写序号）． 11. （2024·江苏淮安·一模）若二次函数 的图象经过点，，则与的大小关系为 ． 12. （2024·江苏镇江·二模）已知，，当时，则S的最大值为 ． 13. （2022·江苏盐城·校考二模）将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，则的值为________． 14. 已知实数、满足，则代数式的最小值是_____． 15. 某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)直接写出工厂每天的利润元与每千克降价元之间的函数关系式（要求化为一般式）； (2)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？ (3)当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？ 16. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，点在轴上，若以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 17. （2022·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 18. （2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． (1)求图象对应的函数表达式； (2)若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标； (3)如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——二次函数 知识点一：二次函数的概念 一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 二、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． （2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． （3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 知识点二：二次函数的图像与性质 1．二次函数的图象与性质 解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 对称轴 x=– 顶点 （–，） a的符号 a>0 a<0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 最值 当x=–时，y最小值= 当x=–时，y最大值= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大 当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小 2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a与b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a与b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 3.二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当时，． （2）当a＜0时，抛物线有最高点，函数有最大值，当时，． 4.抛物线的平移 （1）将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）． （2）保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下： 【知识拓展】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式． 知识点三：二次函数与一元二次方程 1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）． 2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； （2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点； （3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点． 考点一：二次函数图像与性质 【例1】 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练将二次函数的一般式配方成顶点式解题的关键． 配方成顶点式即可得． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 2．（2023·江苏镇江·中考真题）二次函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数的表达式为， ∴当时，二次函数取得最大值，为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【例2】 1．（2024·江苏徐州·二模）把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数平移的规律：上加下减，左加右减．根据函数平移的规律上加下减，左加右减直接代入即可得到答案； 【详解】解：把二次函数先向右平移个单位，再向下平移个单位后解析式为即 故答案为：． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 【变式训练】 1．（2023·徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 2．（2024·江苏盐城·三模）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为， 故选：A． 3．（2024·江苏徐州·三模）如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减，由此即可得出答案． 【详解】将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是 故选：B． 【例3】 1．（2024·江苏泰州·二模）二次函数（，h，k为常数）图象开口向下，当时，；当时，．则h的值可能为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，代入已知的点，可得，进而可得，即有，问题随之得解． 【详解】∵当时，；当时，， ∴， 即，可得：， 整理得：， ∵二次函数图像开口向下， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·江苏盐城·三模）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【详解】解：， 二次函数的开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而减小， ， ， 故选：C 【变式训练】 1．（2023·扬州·中考真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论： ①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是(   ) A．①② B．②③ C．② D．③④ 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为，， ∴二次函数图象必经过第一、二象限， 又∵， ∵， ∴， 当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限， 当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限， 故①错误；②正确； ∵抛物线对称轴为，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，故③正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故④错误， 故选：B． 2．（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案． 【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； B．把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； C． 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； D． 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故选项正确，符合题意； 故选：D． 3．当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为_________． 【答案】2或 【分析】求出二次函数对称轴为直线，分两种情况分析：时，时，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向下， ①时，取得最大值， ∴， 解得， ∵， ∴； ②时，取得最大值， ， 解得， 综上所述，或时，二次函数有最大值． 故答案为：2或． 4．（2024·江苏宿迁·二模）若实数x，y满足关系式，且，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据题意得到是解题的关键． 由实数，满足关系式，且，得出，由，求得，利用二次函数的性质即可得出． 【详解】解：实数，满足关系式，且， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考点二：二次函数图像问题 【例1】 1．（2024·江苏扬州·三模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴，，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；，，判断，由此即可判断②；求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：二次函数开口向上，与轴交于轴负半轴， ，， 对称轴为直线 ，， 故①正确； ，， ， 故 故②错误； 二次函数的图象与轴的一个交点坐标为； 二次函数的图象与轴的另一个交点坐标为； 时，； 将代入中，则 故③正确； 由函数图象可知，当当时，，故④正确； 故正确的个数为：个 故选：C 【变式训练】 1．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图像如图所示，①；②；③；④；上述结论中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出，，，对称轴的关系是解题的关键．由函数图象可知，对称轴，图象与轴的交点位置得，对称轴与直线的位置关系；再由图象可知当时，，即；当时，，即；当时，，即，即可求解． 【详解】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴，图象与轴的交点位置得， ，，， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，，即； 当时，，即； ，即；故③正确； 时，， ，即，故④错误； 故选：A． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②正确； ， 抛物线为， ， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有②③， 故选：B． 3．（2024·江苏宿迁·模拟预测）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的序号是（    ） A．①②⑤ B．①②③ C．②④⑤ D．②③⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时（即，对称轴在轴左侧；当与异号时（即，对称轴在轴右侧；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于；根据抛物线开口方向得，由抛物线对称轴为直线，得到，即，由抛物线与轴的交点位置得到，所以；根据二次函数的性质得当时，函数有最大值，则当时，，即；根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在的右侧，则当时，，所以；把先移项，再分解因式得到，而，则，即，然后把代入计算得到． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ，即，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①错误； 抛物线对称轴为直线， 函数的最大值为， 当时，，即，所以③正确； 抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧 当时，， ，所以④错误； ， ， ， ， 而， ，即， ， ，所以⑤正确． 故选：D 考点三：二次函数的实际应用 【例1】 1．（2022·南通·中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点． 【答案】2 【分析】将函数关系式转化为顶点式即可求解． 【详解】根据题意，有， 当时，有最大值． 故答案为：2． 2．（2022·连云港·中考真题）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 ． 【答案】4 【分析】将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH． 【详解】解：当时，，解得：或， 结合图形可知：， 故答案为：4 3．（2023·无锡·中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．   (1)求关于的函数表达式： (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】 【答案】(1) (2)销售价格为元时，利润最大为 【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解； （2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，， 进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解． 【详解】（1）当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， ∴ 解得： ∴， 当时，设关于的函数表达式为，将点代入得， 解得： ∴， （2）设利润为 当时， ∵在范围内，随着的增大而增大， 当时，取得最大值为； 当时， ∴当时，w取得最大值为 ， 当销售价格为元时，利润最大为． 【变式训练】 1．（2023·宿迁·中考真题）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元． (1)求两种商品的销售单价． (2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)的销售单价为元、的销售单价为元 (2)当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 【分析】（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，根据题中售出种20件，种10件，销售总额为840元；售出种10件，种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案； （2）设利润为，根据题意，得到，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则 ，解得， 答：的销售单价为元、的销售单价为元； （2）解：种商品售价不低于种商品售价， ，解得，即， 设利润为，则 ， ， 在时能取到最大值，最大值为， 当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 考点四：二次函数综合 【例1】 1．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为P，与y轴交于点D． (1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________； (2)如图，点M是在x轴下方抛物线上一点，面积为3m，求点M的横坐标； (3)的圆心C在x轴上，且经过A、B两点，若直线PD与相交，则m的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2)1或2 (3) 【分析】（1）令，则，解之，即可求解； （2）过点M作轴于N，设，根据，即，化简整理，得，解之即可求解； （3）连接，作直线，过点C作于E，过点D作于F，求得，，，，再证明，求得，若直线PD与相交，则， 即，又，求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ∴，； （2）解：过点M作轴于N， 设， ∵， ∴， 化简整理，得 解得：，， ∴点M的横坐标为1或2； （3）解：连接，作直线，过点C作于E，过点D作于F，如图， ∵，， ∴， ∵的圆心C在x轴上，且经过A、B两点， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 若直线PD与相交，则， 即， ∴ 又∵， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数图象性质，二次函数与面积综合，相似三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系．此题综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由； (3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3)存在，或或或或或 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，求出a和c的值，即可得出这个二次函数的表达式； （2）根据题意得出，，再用作差法得出，进行分类讨论即可； （3）求出直线的函数解析式为，然后进行分类讨论：当为正方形的边时；当为正方对角线时，结合正方形的性质和三角形全等的判定和性质，即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：∵，都在该二次函数的图象上， ∴，， ∴， 当时，即时，； 当时，即时，； 当时，即时，； （3）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当为正方形的边时， ①∵， ∴， 过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H， ∵轴， ∴， ∴，则， 设，则， ∴， ∴点N的纵坐标为， 即， ∵以，，，为顶点的四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； ②如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ③如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ④如图：构造， 和①同理可得：，， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：，（舍去）， ∴； 当为正方形对角线时， ⑤如图：构造矩形，过点P作于点K， 易得， ∴， 设，则， 和①同理可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，则， ∴， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； ⑥如图：构造， 同理可得：， 设，则， ∴，，， 把代入得：， 解得：（舍去）， ∴； 综上：或或或或或 ． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解答． 练习 1. （24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象可得，与轴交于两点，可判定①②；设，且，代入二次函数计算可判定③；根据一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点， ∴，故②错误； ∵图象开口向上，对称轴在轴左边，与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 设，且， ∵， ∴，则， ∴，整理得，即， ∵， ∴，故③正确； 当时，，且， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有：①③，共2个， 故选：B ． 2. （2022·江苏徐州·校考二模）二次函数的图像如图所示，则函数值时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，当或时，．故选：D． 3. （2023·江苏连云港·模拟预测）二次函数的最小值为（　　） A．0 B．1 C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练二次函数的顶点式是解决问题的关键． 由得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，因此当时，取得最小值1． 故选：B． 4. （2024·江苏常州·二模）如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，的结论是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，，，则，可得，可判断①的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，可知当时，，可判断②的正误；由，可得，将代入得，，可判断③的正误；由，可知、关于对称轴对称，则，可判断④的正误． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴，①正确，故不符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∴当时，，②正确，故不符合要求； ∵， ∴， 将代入得，，③错误，故符合要求； ∵， ∴、关于对称轴对称，则，④正确，故不符合要求； 故选：C． 5. （2022·江苏泰州·校联考三模）小明经探究发现：不论字母系数m取何值，函数的图像恒过一定点P，则P点坐标为______． 【答案】 【分析】根据不论字母系数m取何值图像恒过一定点P，取值与m无关，则字母m的系数为0，进而可得答案． 【详解】解： 当，即时，， 所以无论字母系数m取何值时，图像恒过一定点P． 6. （2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得． 【详解】解：令，解得：， 即抛物线与x轴的两个交点坐标为， 由于抛物线的对称轴是直线，即， 解得： 故答案为：． 7. （2024·江苏泰州·一模）若一个二次函数的最小值为3，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个符合题意的函数表达式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最小值为3，则函数的开口向上，顶点坐标为，据此即可写出函数解析式，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的最小值为3， ∴函数的开口向上，顶点坐标为， ∴函数的表达式可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 8. （2024·江苏宿迁·二模）如图，抛物线的顶点为D，与x轴交点A，B的横坐标分别为，3，与y轴负半轴交于点C，下面四个结论：①；②；③，是抛物线上两点，若，则；④使为等腰三角形的a值可以有2个．其中正确的结论有 （填序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，根据抛物线的对称轴可判断①；根据抛物线与轴的交点个数可判断②；根据抛物线的对称轴得到 根据二次函数的性质可判断③；根据等腰三角形的定义和性质可判断④，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标分别为 ∴抛物线的对称轴为直线 故①符合题意； ∵抛物线与轴有两个交点， 故②符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线 故③不符合题意； 由题意可知，， 若为等腰三角形，则或， ∵， ∴，， 当时，此时， ∴或（不合题意，舍去）， 当时， ， ∴或（不合题意，舍去）， ∴使为等腰三角形的值可以有2个，故④符合题意； 故答案为：． 9. （2024·江苏南京·模拟预测）二次函数的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的图像的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移．熟练掌握二次函数图像的平移是解题的关键． 根据二次函数图像的平移求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的图像的函数表达式为， 故答案为：． 10. （24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2，其中正确结论是 （写序号）． 【答案】③④ 【分析】由二次函数的图象的开口向下，抛物线的对称轴为，二次函数的图象与轴交于正半轴，可得，故①不符合题意；由抛物线与轴有两个交点，可得，故②不符合题意；由，结合当时，，可得，故③符合题意；当时，函数最大值为：，当时，函数值为，可得，故④符合题意；由方程有四个根，可得方程与方程各自有两个根，设分别为，，，，则，，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，即，故②不符合题意； ∵， ∴， ∵当时，， ∴，即，故③符合题意； 当时，函数最大值为：， 当时，函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴，即：故④符合题意； ∵方程有四个根， ∴方程与方程各自有两个根，设分别为，，，， ∴，， ∴方程有四个根，则这四个根的和为4，故⑤不符合题意； 故答案为：③④． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数的各项系数的符号的判断，二次函数与一元二次方程的关系，熟记二次函数的图象与性质是解本题的关键． 11. （2024·江苏淮安·一模）若二次函数 的图象经过点，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别把和代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小． 【详解】解：当时，； 当时，， 所以 ． 故答案为： ． 12. （2024·江苏镇江·二模）已知，，当时，则S的最大值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查二次函数的最值．首先求出的函数解析式，然后由进一步得出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴ ，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， 当时，函数有最大值，等于， 故答案为：1． 13. （2022·江苏盐城·校考二模）将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，则的值为________． 【答案】4 【分析】根据二次函数的平移规律进行求解即可：左加右减，上加下减． 【详解】解：∵将二次函数的图像先向右平移2个单位，再向上平移个单位，得到函数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 已知实数、满足，则代数式的最小值是_____． 【答案】8 【分析】根据得，代入，再利用配方法即可求出其最小值． 【详解】解：， ， 将，代入， 得， ， ， 当时，取得最小值8， 故答案为：8． 15. 某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． (1)直接写出工厂每天的利润元与每千克降价元之间的函数关系式（要求化为一般式）； (2)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为多少元？ (3)当降价为多少元时，有最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)4，9800 【分析】（1）根据利润=销售量×（单价－成本），列出函数关系式即可； （2）根据（1）求得的函数关系式，当时，可求出的值，再根据题意选取的值即可； （3）根据（1）求得的函数关系式进一步利用分配方法求出答案即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 与之间的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得：，即， 解得：， 让利于民， 不合题意，舍去， ， 故工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则降价应为5元； （3）解：由（1）得，， ， 时，最大，为9800， 所以当降价为4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元． 16. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点在抛物线上，点在轴上，若以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）设点，点，根据平行四边形对边平行且相等，利用平移的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，与轴交于点， 则：，解得：， ∴； （2）解：设点，点 ∵点、的坐标分别为：， 当是边时， 点先向右平移3个单位再向上平移3个单位得到， ①点先向右平移3个单位再向上平移3个单位得到， 即， 解得，当时：， 解得：（舍掉）或， ∴； ②点先向右平移3个单位再向上平移3个单位得到， 即： 解得，当时：， 解得：， ∴或 综上：点坐标为：或或． 17. （2022·江苏淮安·统考中考真题）如图（1），二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，直线经过、两点． 　 (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图（2），点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点横坐标为或或或 (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，则，，则，由题意可得方程，求解方程即可； （3）由题意可知Q点在平行于的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由，求出点，作A点关于的对称点，连接与交于点Q，则，利用对称性和，求出，求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程组，可求点，再求． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵， ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为， ∴ 解得 ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时，整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； （3）解：∵，点与点关于轴对称， ∴， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴点在平行于的线段上，设此线段与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作点关于的对称点，连接与交于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 同理可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∵， ∴. 18. （2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． (1)求图象对应的函数表达式； (2)若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标； (3)如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3) 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）可求对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．作直线，交直线l于点H．（如答图①）由二次函数的对称性得，， ，由，得到，设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为，，，故有，解得，（舍去），故点P的坐标为； （3）连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J，（如答图②），则四边形为矩形，设对应的函数表达式为，可求，，则，，，而，则．设，则，，，即，可得，故，则，则①，由点F在上，得到，化简得②，由①，②可得，解得，因此，故的函数表达式为． 【详解】（1）解：（1）将，代入，得， ， 解得： 对应的函数表达式为：； （2）解：设对应的函数表达式为，将点代入 得：， 解得：． 对应的函数表达式为：，其对称轴为直线． 又图象的对称轴也为直线， 作直线，交直线l于点H（如答图①） 由二次函数的对称性得，， ∴． 又，而 ． 设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为． 将代入，得， 将代入，得． ，， 即，解得，（舍去）． 点P的坐标为； （3）解：连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J．（如答图②） ，轴，轴， 四边形为矩形， ，． 设对应的函数表达式为， 点D，E分别为二次函数图象，的顶点， 将分别代入， 得， ∴，， ，，． 在中，． ， ． 又， ． ． 设，则，． ， ． ， ． ， ． 又， ， ① 点F在上， ， 即． ， ② 由①，②可得． 解得（舍去），， ． 的函数表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，矩形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$