2024-2025学年北师大版数学七年级下册几何模型研究大讲堂 专题八 ”8字“模型

初中数学几何模型研究大讲堂 专题八：8字模型 8-1：基本三角形中的8字模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD.（8字） ∠A+∠B=∠C+∠D AD+BC＞AB+CD 如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD，∠A与∠D的角平分线交于点E.（8字中双角平分线） ∠E=（∠B+∠D） 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 “8字”模型的相关角度计算 利用模型求角度 常在选择题或填空题中考查 三角形外角等于它不相邻的两个内角之和 PART 2——模型思路. 这是一种较常考的模型，实际难度不大.往往是利用模型求角度，在证明三角形全等中能够有效地推出一组角相等. 结论证明：常规情况下中的“8字”结论： 1.∠A+∠B=∠C+∠D（见第3题） 2.AD+BC＞AB+CD： ∵AO+BO＞AB，CO+DO＞CD. ∴AO+BO+CO+DO＞AB+CD 即 AD+BC＞AB+CD. 双角平分线中的“8字”结论： 1. ∠E=（∠B+∠D）： ∵AE、CE分别平分∠A、∠C. ∴∠BAE=∠DAE且∠DCE=∠BCE. ∵∠BAE+∠B=∠BCE＋∠E且∠DCE＋∠D＝∠DAE＋∠E.（外角的性质） ∴2∠E=∠B＋∠D＋∠BAE－∠DAE＋∠DCE－∠BCE（相加两等式并移项） ∠E=（∠B+∠D）（合并同类项、系数化为1） 常见辅助线作法：连接构造“8字”模型.（如第8题）、平行构造平行8字（常在全等三角形倍长中线中涉及，如第12题）. PART 3——模型练习. 预备层——抽离模型练 1. （原创）如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD，∠A与∠D的角平分线交于点E.∠B＝25°，∠D=35°，则∠E=（ ）. A.10° B.20° C.30° D.40° 第1题图 第2题图 第3题图 2.（原创）如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD.下列正确的结论有（ ）个. ①.∠A+∠B=∠C+∠D. ②.∠A－∠C＝∠D－∠B. ③.AB+AD＜BC+CD ④.AD+BC＞AB+CD A.1 B.2 C.3 D.4 3.（2024·吉林长春校级月考）填空： 已知：如图，、相交于点． 求证： 证明：∵，（______） ∴______．（等式性质） 同理可得：______ 又∵，（______） ∴，（等量代换） A层——基础模型练  4.（2023·重庆育才定时）如图，点分别在的边的延长线上，、分别平分和，若，则的大小是（ ）. A.50° B.55° C.60° D.65° 5.（2024·广东汕头校级期中）如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（       ）. A. B. C. D. 6.（2023·湖北十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则___________________． 第4题图 第5题图 第6题图 7.（2024·重庆南开练习）如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______． B层——进阶模型练 8.（2024·湖南益阳校级开学）如图，求（       ）. A.720° B.540° C.180° D.360° 9.（2023·广东广州校级月考）如图1，线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．其中正确的结论是（　　） （1）在图1中； （2）在图2中“8 字形”的个数为 4； （3）图2中，当度，度时，度； （4）图2中和为任意角时其他条件不变． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）   第8题图 第9题图 10.（原创）如图，BC、FE分别平分∠ABD、∠GFD，若∠A比∠G大12°，则∠BCD－∠DEF=（ ）°. A.2 B.4 C.6 D.8 第10题图 第11题图 11.（2024·辽宁营口月考）如图1所示，称“对顶三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D 利用这个结论，完成下列填空. (1)如图 (2)，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝        ； (2)如图（3），∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝        ； (3)如图（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝          ； (4)如图（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝      ． C层——压轴模型练 12.（2024·重庆一中特训）如图，在△ABC中，AC＝AB，点E为AB边上的中点，AD∥CB，且AD＝CB，∠1＝∠2. （1） 若AB＝10，求AH的长. （2） 若F为DA延长线上一点，连接CF，使CF＝AD－AF，求证：∠CFD＝2∠2. 13.（2024·江苏校级阶段改编）已知如图，线段相交于点，连接，我们把形如图的图形称之为“字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图中，请写出之间的数量关系，并说明理由． (2)仔细观察，在图中“字形”的个数______个； (3)在图中，若，和的平分线和相交于点，并且与分别相交于利用（1）的结论，试求的度数； (4)如果图中和为任意角时，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系：______．（直接写出结论即可） （5）在图3中，已知分别平分，请问与之间存在着怎样的数量关系？并说明理由． (6)在图4中，已知的反向延长线平分，平分，请直接写出与之间的数量关系                         ．     14.（2024·河北沧州校级月考）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 15.（2024·吉林长春校级期中）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． （1）已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点F，并过点C作． （已作）， _________（两直线平行，内错角相等）， _________（两直线平行，同位角相等）， __________________（平角的定义）， （等量代换）． 【实践运用】 （2）如图，线段相交于点O，连接，试证明：． 【拓展提升】 （3）如图，，则的度数为_________． （4）如图，若和的平分线和相交于点P．若，则的度数为_________． PART 4——模型变式. 变式层——回顾模型练 【变式1】（原创）如图，若∠B－∠C＝3°，则∠D－∠A＝（ ）. A.1° B.1.5° C.2° D.3° 【变式1】题图 【变式2】 题图 【变式3】 题图 【变式4】 题图 【变式2】（2024·四川达州校级期末模拟改编）如图，AD，BC相交点O，若∠D=43°，∠A＝52°，∠C＝30°，则∠B的大小是（　　）. A.21° B.39° C.45° D.65° 【变式3】（2023·河南南阳期末）如图，将绕点A顺时针旋转角α，得到，点C与点E对应，点B与点D对应，若点D恰好在的延长线上，则______．（用含α的代数式表示） 【变式4】（原创）如图，已知、相交于点O，若，则∠B+∠D=___. 【变式5】（2023·天津校级月考）如图，，垂足为E，与相交于点D，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题八：8字模型 8-1：基本三角形中的8字模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD.（8字） ∠A+∠B=∠C+∠D AD+BC＞AB+CD 如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD，∠A与∠D的角平分线交于点E.（8字中双角平分线） ∠E=（∠B+∠D） 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 “8字”模型的相关角度计算 利用模型求角度 常在选择题或填空题中考查 三角形外角等于它不相邻的两个内角之和 PART 2——模型思路. 这是一种较常考的模型，实际难度不大.往往是利用模型求角度，在证明三角形全等中能够有效地推出一组角相等. 结论证明：常规情况下中的“8字”结论： 1.∠A+∠B=∠C+∠D（见第3题） 2.AD+BC＞AB+CD： ∵AO+BO＞AB，CO+DO＞CD. ∴AO+BO+CO+DO＞AB+CD 即 AD+BC＞AB+CD. 双角平分线中的“8字”结论： 1. ∠E=（∠B+∠D）： ∵AE、CE分别平分∠A、∠C. ∴∠BAE=∠DAE且∠DCE=∠BCE. ∵∠BAE+∠B=∠BCE＋∠E且∠DCE＋∠D＝∠DAE＋∠E.（外角的性质） ∴2∠E=∠B＋∠D＋∠BAE－∠DAE＋∠DCE－∠BCE（相加两等式并移项） ∠E=（∠B+∠D）（合并同类项、系数化为1） 常见辅助线作法：连接构造“8字”模型.（如第8题）、平行构造平行8字（常在全等三角形倍长中线中涉及，如第12题）. PART 3——模型练习. 预备层——抽离模型练 1.（原创）如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD，∠A与∠D的角平分线交于点E.∠B＝25°，∠D=35°，则∠E=（ ）. A.10° B.20° C.30° D.40° 第1题图 第2题图 第3题图 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了“8字”模型，学会利用模型是解题的关键. 【详解】∵∠E=（∠B+∠D）. ∴∠E=30°. 2.（原创）如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD.下列正确的结论有（ ）个. ①.∠A+∠B=∠C+∠D. ②.∠A－∠C＝∠D－∠B. ③.AB+AD＜BC+CD ④.AD+BC＞AB+CD A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了“8字”模型，学会利用模型是解题的关键. 【详解】∵∠A+∠B=∠C+∠D.故①正确. ∵∠A－∠C＝∠D－∠B，通过①移项能得到，故②正确. ∵AD+BC＞AB+CD，③无法证明得到，④正确. ∴正确的有3个. 故选：C. 3.（2024·吉林长春校级月考）填空： 已知：如图，、相交于点． 求证： 证明：∵，（______） ∴______．（等式性质） 同理可得：______ 又∵，（______） ∴，（等量代换） 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了“8字”模型，利用三角形内角和为180°和对顶角相等是解题的关键. 【详解】证明：∵，（三角形的内角和等于180°） ∴1．（等式性质） 同理可得：2 又∵，（对顶角相等） ∴，（等量代换） A层——基础模型练  4. （2023·重庆育才定时）如图，点分别在的边的延长线上，、分别平分和，若，则的大小是（ ）. A.50° B.55° C.60° D.65° 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了“8字”模型，直接用结论解题即可. 【详解】∵∠E=（∠B+∠D）. ∴∠E=60°. 故选：C 5.（2024·广东汕头校级期中）如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（       ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了“8字”模型，直接用结论解题即可. 【详解】∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P. ∴. 故选：B. 6.（2023·湖北十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则_____________． 第4题图 第5题图 第6题图 【答案】100 【解析】 【分析】此题考查了“8字”模型注意找到题目所要求的“8字”模型位置. 【详解】∵∠EAB+∠E=∠B+∠BFE. ∴∠BFE=35°. ∴∠DFC=180°－∠BFE－∠DFE=100°. 故填：100. 7.（2024·重庆南开练习）如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______． 【答案】240 【解析】 【分析】此题考查了“8字”模型，注意要用“燕尾”模型把∠A+∠D+∠F进行转化. 【详解】∵∠1=60°. ∴（∠A+∠D+∠F）+∠E=∠B+∠C=120°. ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=120°+120°=240°. 故填：240. B层——进阶模型练 8.（2024·湖南益阳校级开学）如图，求（       ）. A.720° B.540° C.180° D.360° 【答案】D 【解析】 【分析】连接DC,利用三角形内角和即可得∠F+∠E=∠EDC+∠FCD.则利用等量代换得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠B+∠C+∠D+∠EDC+∠FCD. 进而 可 求 得 答 案 . 【详解】解 ： 连 接DC，如图所示： ∵∠FGE=∠DGC, ∴∠F+∠E=∠EDC+∠FCD, ∴∠A+∠B+∠BCF+∠ADE+∠E+∠F. 故 选 ：D. 【点睛】本题考查了三角形内角和及四边形内角和，掌握三角形内角和定理及四边形内角和的度数是解题的关键. 9.（2023·广东广州校级月考）如图1，线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．其中正确的结论是（　　） （1）在图1中； （2）在图2中“8 字形”的个数为 4； （3）图2中，当度，度时，度； （4）图2中和为任意角时其他条件不变． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】C 【解析】 【分析】 根 据 对 顶 角 相 等 可 得 ∠ AOD=∠BOC,再 根 据 三 角 形 的 内 角 和 定 理 即 可 判 断 ( 1 ) 正 确 ； 根 据 “ 8 字 形 的 定 义 即 可 判 断 ( 2 ) 错 误 ； 如 图 ( 见 解 析 ) , 根 据 角 平 分 线 的 定 义 可 得∠ 1 = ∠ 2 , ∠ 3 = ∠ 4 , 再 根 据 结 论 ( 1 ) 可 得 ∠ 1 + ∠D=∠3+∠P，∠4+∠B=∠2+∠P,两 式 相 加 即 可 判 断 ( 4 ) 正 确 ； 将 ∠ D=50 °，∠ B=40 °代 入 结 论 ( 4 ) 计算即可判断(3)正确. 【详解】解：∵∠ A+∠D+∠AOD=180°=∠C+∠B+∠BOC,∠AOD=∠BOC, ∴∠A+∠D=∠C+∠B,则结论(1)正确； 在图2中， 线段AB 、CD相交于点O, 连接AD 、CB, 形成“8字形”, 线段AN、CD 相交于点O, 连接AD、CN, 形成“8字形”, 线段AN 、CM 相交于点O, 连 接AM、CN, 形成“8字形”, 线段AB 、CM 相交于点O, 连 接AM 、CB , 形成“8字形”, 线段AB、CP相交于点N, 连 接AP、CB, 形成“8字形” 线段AP、CD 相交于点M, 连 接AD、CP, 形成“8字形” 在图2中“8字形”共有6个，则结论(2)错误； 如图，∵∠DAB 和∠BCD 的平分线AP和CP相交于点P, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, 同结论(1)可知，∠1+∠D=∠3+∠P,∠4+∠B=∠2+∠P,两式相加得：∠1+∠D+∠4+∠B=∠3+∠P+∠2+∠P=∠4+∠1+2∠P, ∴∠D+∠B=2∠P, 则结论(4)正确；则当∠D=50 度，∠B=40 度时，2∠P=50°+40°, 解得∠P=45 度，则结论(3)正确综上，正确的结论是(1)(3)(4), 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识点，掌握理解“8字形”的定义是解题关键. 第8题图 第9题图 10.（原创）如图，BC、FE分别平分∠ABD、∠GFD，若∠A比∠G大12°，则∠BCD－∠DEF=（ ）°. A.2 B.4 C.6 D.8 第10题图 第11题图 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了“8字”模型，由∠A－∠G=12°推出∠AFG－∠ABG=12°，由角平分线的定义得∠DFE－∠CBD=6°，进而得到∠BCD－∠DEF=6°. 【详解】∵∠A－∠G=12°且∠A－∠G=∠AFG－∠ABG. ∴∠AFG－∠ABG=12°. ∵BC、FE分别平分∠ABD、∠GFD. ∴∠DFE－∠CBD=6°. ∴∠BCD－∠DEF=6°. 故选：C. 11.（2024·辽宁营口月考）如图1所示，称“对顶三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D. 利用这个结论，完成下列填空. (1)如图 (2)，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝        ； (2)如图（3），∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝        ； (3)如图（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝          ； (4)如图（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝      ． 【答案】（1）180° （2）180° （3）360° （4）540° 【解析】 【分析】本题利用“对顶三角形”的性质，逐一分析解答. (1)∠1,∠2的和与∠D,∠E的和相等；(2)∠1,∠2的和与∠D,∠E的和相等；(3)∠1,∠2的和与∠7,∠8的和相等；(4)∠6,∠7的和与∠8,∠9的和相等. 由多边形的内角和得出答案即可. 【详解】解：如图：(1)∵∠1,∠2的和与∠D,∠E的和相等， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=180°; 故答案为：180°; (2)∵∠1,∠2的和与∠D,∠E的和相等， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠B+∠C+∠1+∠2=180°; 故答案为：180°; (3)∵∠1,∠2的和与∠7,∠8的和相等， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠7+∠8+∠3+∠4+∠5+∠6=360°; 故答案为：360°; (4)∵∠6,∠7的和与∠8,∠9的和相等， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+25+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9=540°. 故答案为：540° (1) (2) (3) (4) (5) 【点睛】本题考查多边形内角与外角；三角形内角和定理 . C层——压轴模型练 12.（2024·重庆一中特训）如图，在△ABC中，AC＝AB，点E为AB边上的中点，AD∥CB，且AD＝CB，∠1＝∠2. （1）若AB＝10，求AH的长. （2）若F为DA延长线上一点，连接CF，使CF＝AD－AF，求证：∠CFD＝2∠2. 【答案】（1）5（2）见解析 【解析】 【分析】（1）问根据AD∥CB和AC＝AB证明∠DAC=∠CBA，进而得到△ADH≌BCE，并推出AH=5，（2）连接FE并延长，构造出平行8字，利用△AEF≌BEM求解即可. （1）∵点E为AB边上的中点，AB=10， ， ∵AB=AC. ∴∠B=∠ACB， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA=∠CBA，且∠1=∠2，AD=BC， ∴△ADH≌BCE（ASA）， ∴AH=BE=5； （2）如图，连接FE，并延长FE交BC于点M， ∵AD∥BC， ∴∠BAF=∠B，∠AFE=∠BME，且AE=BE， ∴△AEF≌BEM（ASA）， ∴EF=ME，AF=BM， 由（1）得：△ADH≌BCE， ∴AD=BC， ∵CF=AD-CF ∴CF=BC－CM=CM且EF=ME， ∴∠2=∠FCE， ∴∠FCB=2∠2， ∵AD∥BC， ∴∠CFD=∠FCB=2∠2. 13.（2024·江苏校级阶段改编）已知如图，线段相交于点，连接，我们把形如图的图形称之为“字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图中，请写出之间的数量关系，并说明理由． (2)仔细观察，在图中“字形”的个数______个； (3)在图中，若，和的平分线和相交于点，并且与分别相交于利用（1）的结论，试求的度数； （4）在图3中，已知分别平分，请问与之间存在着怎样的数量关系？并说明理由． (5)在图4中，已知的反向延长线平分，平分，请直接写出与之间的数量关系                         ．     【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C（2）4 （3）∠P=35°（4）∠D+∠B=2∠P－180°（5）2∠P－∠B=∠D 【解析】 【分析】(1)根据三角形的内角和定理，对顶角相等的知识即可求解； (2) 根据材料提示的“8字形”的定义即可求解； (3) 根据材料提示的“8字形”中角度的数量关系可得∠P= (∠B+∠D), 由此即可求解； （4）由∠P+∠PCN=∠D+∠DAN=∠D+180°-∠MAN①,∠B+2∠PCN=∠D+180°-2∠MAN②, 由 ①和②即可得到结论； (5)根据“8字形数量关系有：∠P+∠PAN=∠B+∠BCN,∠D+∠DAN=∠B+∠BCO即∠P+180°-∠GAN=∠B+180°-∠FCN①, ∠D+180°-2∠GAN=∠B+180°-2∠FCN②,由①②可得结论. 【详解】(1)解：在△ADO中，∠A+∠D+∠AOD=180°,在△BCO中，∠B+∠C+∠BOC=180°, ∵∠AOD=∠BOC, ∴∠A+∠D+∠AOD=∠B+∠C+∠BOC, ∴∠A+∠D=∠B+∠C. (2)解：根据题意得，△ADM与△PCM,△ADO与△BCO,△AMO与△NCO,△APN与△BCN均能组成“8字形”,有4个， 故答案为：4. (3)解：如图所示，∠D =30°,∠B=40°,AP 平分∠DAP,CP 平分∠BCD, ∵△ADO与△BCO 是“8字形” ∴∠D+∠DAB=∠B+∠BCD, ∴∠B-∠D=∠DAB-∠BCD或∠D-∠B=∠BCD-∠DAB, ∵AP平分∠DAP,CP平分∠BCD, ∴∠1=∠2=∠DAP，∠3=∠4＝∠BCD. ∴∠2-∠3=2∠DAB-2∠BCD=2(∠DAB-BCD)=(∠B-∠D), ∵△ADM与△PCM是“8字形”, ∴∠D+∠1=∠P+∠3, ∴∠P=∠D+∠1-∠3=∠D+∠2-∠3=∠D+(∠B-∠D)=2(∠B+∠D), ∴∠P= (∠B+∠D)， ∴∠P的度数为35°. （4）解：根据“ 8字形”的数量关系有：∠P+∠ PCN=∠D+∠DAN=∠D+180°-∠MAN①,∠B+∠BCN=∠D+∠DAO=∠D+180°-∠MAB, ∴∠B+2∠PCN=∠D+180°-2∠MAN②, 由①和②得：∠D+∠B=2∠P-180°; (5)解：根据“8字形”数量关系有：∠P+∠PAN=∠B+∠BCN,∠D+∠DAN=∠B+∠BCO, ∴∠P+180°-∠GAN=∠B+180°-∠FCN①, ∠D+180°-∠EAN=∠B+180°-∠FCO, ∴∠D+180°-2∠GAN=∠B+180°－2∠FCN② 由①②得：2∠P-∠B=∠D. 图4 故答案为：2∠P-∠B=∠D. 【点睛】本题主要考查三角形内角和，角平分线的综合知识，掌握三角形的8字形中角的数量关系，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识的综合运用是解题的关键. 14.（2024·河北沧州校级月考）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 【答案】（1）见解析（2）360° （3）180°（4）540°；180°n－720° 【解析】 【分析】(1)根据“三角形内角和是180°”,进行等量代换即可求解； (2)利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； (3)连接CD, 构造三角形和“8”字模型即可求解； (4)连接CF, 构造三角形、四边形和“8”字模型即可求出七角星内角和，再根据五角星内角和，找出规律即可求出角星内角和. 【详解】(1)解：∵∠A+∠ACB+∠B=180°,∠D+∠E+∠DCE=180°,∠DCE=∠ACB, ∴∠A+∠B=∠D+∠E; （2）解：由(1)可知，∠E+∠F=∠EBC+∠FCB, ∴∠A+∠ABE+∠DCF+∠D+∠E+∠F=360°; (3)解：连接CD, 由(1)得：∠B+∠E=∠1+∠2, 在△ACD 中，∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°, 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4=180°, ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB=180° 即五角星的五个内角之和为180°. （4）连接CF,如图所示， ∵∠FCE+∠CFD=∠FDE+∠CED, ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠ACF+∠AFC+(∠2+∠7+∠4+∠5+∠FDE+∠CED)=180°+360°=540°;五角星内角和=180°,七角星内角和=3×180°,“n 角星”的n个内角的和为= (n-4)×180°=180°n-720°, 故答案为：540;180°n－720° . 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和多边形内角和，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键. 15.（2024·吉林长春校级期中）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． （1）已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点F，并过点C作． （已作）， _________（两直线平行，内错角相等）， _________（两直线平行，同位角相等）， __________________（平角的定义）， （等量代换）． 【实践运用】 （2）如图，线段相交于点O，连接，试证明：． 【拓展提升】 （3）如图，，则的度数为_________． （4）如图，若和的平分线和相交于点P．若，则的度数为_________． 【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）260°；（4）85° 【解析】 【分析】(1)根据平行线的性质和平角定义补充即可； (2)根据三角形的内角和180°和对顶角相等证明即可； (3)根据三角形的内外角关系定理，把要求的角转化为可求的角. (4)①连接PO 并延长，利用角平分线的定义和(2)中结论证得∠4－∠2=5°,再根据外角的性质得出∠5=∠2+∠7,26=∠8+∠4,∠5+∠6=90°+2∠2,结合 ∠APD=∠7+∠8求解即可. 【详解】(1)（已作）， ∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠B（两直线平行，同位角相等）， ∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）， （等量代换）． （2）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°,在△COD 中，∠C+∠D+∠COD=180°, ∵∠AOB=∠COD, ∴∠A+∠B=∠C+∠D. （3）解：如图： ∵∠1=∠E+∠D,∠BMF=∠A+∠F,∠ANC=∠B+∠C, ∵∠1=∠BMF+∠CNA=130°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2×130°=260°, 故答案为：260° (4)解：如图，连接PO并延长， ∵AP和DP 分别平分∠CAB 和∠BDC, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, 根据(2)可得∠B+2∠2=∠C+2∠4,即90°+2∠2=80°+2∠4, ∴∠4-∠2=5°. 根据图象可得：∠5=∠2+∠7,∠6=∠8+∠4,∠5+∠6=90°+2∠2, ∴∠APD=∠7+∠8=∠5－∠2+∠6－∠4=90°+2∠2－∠2－∠4=90°＋∠2－∠4=85°. 故答案为：85°. 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、对顶角相等、平角定义、角的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键. PART 4——模型变式. 变式层——回顾模型练 【变式1】（原创）如图，若∠B－∠C＝3°，则∠D－∠A＝（ ）. A.1° B.1.5° C.2° D.3° 【变式1】题图 【变式2】 题图 【变式3】 题图 【变式4】 题图 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了“8字”模型，直接利用结论即可. 【详解】∵∠B－∠C=∠D－∠A. ∴∠D－∠A=3°. 故选：D. 【变式2】（2024·四川达州校级期末模拟改编）如图，AD，BC相交点O，若∠D=43°，∠A＝52°，∠C＝30°，则∠B的大小是（　　）. A.21° B.39° C.45° D.65° 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了“8字”模型，直接利用结论即可. 【详解】∵∠A+∠B=∠C+∠D ∴∠B=∠C+∠D－∠A=21°. 故选：D. 【变式3】（2023·河南南阳期末）如图，将绕点A顺时针旋转角α，得到，点C与点E对应，点B与点D对应，若点D恰好在的延长线上，则______．（用含α的代数式表示） 【答案】α 【解析】 【分析】利用模型得到∠CDE=∠CAE即可. 【详解】∵绕点A顺时针旋转角α，得到. ∴∠C=∠E. ∴∠CDE=∠CAE.（“8”字模型） ∵∠CDE=∠BAD=α. ∴∠CAE=α. 故填：α. 【变式4】（原创）如图，已知、相交于点O，若°，则∠B+∠D=___. 【答案】108° 【解析】 【分析】此题考查了“8字”模型，直接利用结论即可. 【详解】∵∠A+∠C=∠B+∠D. ∴∠B+∠D=108°. 故填：108°. 【变式5】（2023·天津校级月考）如图，，垂足为E，与相交于点D，，求的度数． 【答案】50°；100° 【解析】 【分析】利用三角形内角和求得第一个脚，最后利用模型即可. 【详解】∵. ∴∠CEF=90°. ∵∠F=40°. ∴∠EDF=50°. ∵∠F+∠DEF=∠C+∠DBC. ∴∠DBC=100°. 学科网（北京）股份有限公司 $$