2024-2025学年北师大版 数学七年级下册几何模型研究大讲堂 专题五 “燕尾”模型

初中数学几何模型研究大讲堂 专题五：燕尾模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 点D为∠BAC内部一点，连接BD、CD，形成凹四边形ABDC. ∠BDC=∠A+∠B＋∠C AB+AC>BD+BD 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 “燕尾”模型的相关角度计算 利用模型求角度 常在选择题或填空题中考查 三角形外角等于它不相邻的两个内角之和 PART 2——模型思路. 这是一种较常考的模型，实际难度不大.往往是利用模型求角度，在一些难题中能够运用快速求角. 常见辅助线作法：如下表： 类型 图示 辅助线作法 燕尾模型. 延长连接线交凹四边形一边.（适用于推所有结论） 燕尾模型. 连接顶点与角内部点并延长.（适用于推角的关系） 燕尾模型. 连接底部两点.（适用于推角的关系） 有时也需要连接两点构造多个“燕尾”模型.（如第8题与【变式1】题） PART 3——模型练习. 预备层——抽离模型练 1.（原创）在凹四边形ABCD中，一定成立的结论是（       ）. A. AB+AC≥BD+CD B. AB+BD>AC+CD C.∠A=∠D-∠B-∠C D.∠D=∠B+∠C-∠A 第1题图 第2题图 第3题图 2.（2024·重庆八中定时）如图，若∠DGF=101°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____°. 3.（原创）如图，∠BAC=75°，∠ABD=25°，∠ACD=35°，则∠BDC=____°. A层——基础模型练  4.（2024·重庆南开练习）如图，已知∠1=60°，则∠C+∠D+∠E+∠F+∠A+∠B=____°. 5.（2024·重庆南开练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=____°. 6.（2024·湖北孝感期末改编）如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠BDE的度数是 _______． 第4题图 第5题图 第6题图 7.（2024·新疆和田校级月考）如图，五角星形的五个顶角分别是，，，，，若，则______． B层——进阶模型练 8.（2024·重庆南开练习）如图，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F=____°． 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 9.（原创）如图，延长BD交AC于点E，DF、EF分别平分∠BDC、∠CED，∠A=50°，∠B=42°，∠C=36°，则∠F=（ ）. A.6° B.8° C.16° D.18° 10.（原创）如图，AE、DE分别平分∠A、∠D，若∠A=50°，∠BDC=110°，∠C=20°，则∠E=_____°． 11. （原创）如图，已知∠DBE=36°，∠BEC=31°，∠ACE=34°，∠ADB=41°，小梦想求△AFG中各个角的度数.请帮他解决下列问题： （1） 求∠FAG的度数. （2） 求∠AFG的度数. （3） 求∠AGF的度数. C层——压轴模型练 12. （2023·江苏泰州）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 13.（2023·四川自贡校级月考）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．     “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，， 即， 又：在中，， ∴， 即． “创新小组”想出了另外一种方法. 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， …… …… 任务： (1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 14.（2023·江苏南京校级期末改编）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： （1） 用图①证明：∠B+∠D+∠A=∠BCD； （2） 如图2，连接AD后，AD是燕尾四边形的对称轴，AB=AC=6，BD=DC=4，∠BDC=120°，求燕尾四边形ABCD的面积. 15.（2024·河南漯河校级月考改编）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1) 观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，若DC=EC，DB=EB，求证：凹四边形BCDE是轴对称图形； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． PART 4——模型变式. 变式层——回顾模型练 【变式1】（原创）如图，这是闪电形状的标志，已知DE⊥FE.若∠B=50°，∠A=80°，则∠C+∠D+∠F=（     ）. A.30° B.40° C.50° D.60° 【变式1】题图 【变式2】 题图 【变式3】 题图 【变式4】 题图 【变式2】（2024·广东汕头校级月考）如图，若，，，则（     ）. A.102° B.110° C.142° D.148° 【变式3】（原创）如图，∠CBD+∠BCD=70°，则∠A+∠ABD+∠ACD=______． 【变式4】（原创）如图，∠D=140°，∠A=55°，∠B=50°，则∠C=__________． 【变式5】（2024·山西朔州校级月考） 阅读与思考： 问题呈现： 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为和内角和的和，为． 解决问题： 如图，四边形是凹四边形，请探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：，他证明如下，请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接并延长到点． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题五：燕尾模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 点D为∠BAC内部一点，连接BD、CD，形成凹四边形ABDC. ∠BDC=∠A+∠B＋∠C AB+AC>BD+BD 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 “燕尾”模型的相关角度计算 利用模型求角度 常在选择题或填空题中考查 三角形外角等于它不相邻的两个内角之和 PART 2——模型思路. 这是一种较常考的模型，实际难度不大.往往是利用模型求角度，在一些难题中能够运用快速求角. 常见辅助线作法：如下表： 类型 图示 辅助线作法 燕尾模型. 延长连接线交凹四边形一边.（适用于推所有结论） 燕尾模型. 连接顶点与角内部点并延长.（适用于推角的关系） 燕尾模型. 连接底部两点.（适用于推角的关系） 有时也需要连接两点构造多个“燕尾”模型.（如第8题与【变式1】题） PART 5——模型解析. 预备层——抽离模型练 1.（原创）在凹四边形ABCD中，一定成立的结论是（       ）. A. AB+AC≥BD+CD B. AB+BD>AC+CD C.∠A=∠D-∠B-∠C D.∠D=∠B+∠C-∠A 【答案】C 【分析】根据“燕尾”模型来找结论即可.注意该题探讨了边的结论（AB+AC＞BD+CD）. 【详解】解：由题意得：AB+AC＞BD+CD，∠D=∠A+∠B+∠C. ∴∠A=∠D-∠B-∠C. C正确. 故选：C. 第1题图 第2题图 第3题图 2.（2024·重庆八中定时）如图，若∠DGF=101°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____°. 【答案】202 【分析】在解决此类问题时，要先转换，将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2∠DGF即可. 【详解】解：∵∠A+∠E+∠C=∠AGC=∠DGF=101°，∠B+∠D+∠F=∠DGF=101°. ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2∠DGF=202°. 故填：202. 3.（原创）如图，∠BAC=75°，∠ABD=25°，∠ACD=35°，则∠BDC=____°. 【答案】135 【分析】由模型直接计算即可，需要模型的定势思维. 【详解】解：∵∠BAC=75°，∠ABD=25°且∠ACD=35°. ∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=135°. 故填：135. A层——基础模型练  4.（2024·重庆南开练习）如图，已知∠1=60°，则∠C+∠D+∠E+∠F+∠A+∠B=____°. 【答案】240 【分析】由模型得∠A、∠B、∠C的和，再转化对顶角，用两个180°，减去两个60°即可. 【详解】解：由题意得：∠C+∠D+∠E+∠F+∠A+∠B=2×（180-60）°=240°. 故填：240. 5.（2024·重庆南开练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=____°. 【答案】180 【分析】由模型得∠B、∠C、∠D的和，再转化对顶角，利用三角形内角和为180°的知识解决问题. 【详解】解：由题意得：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.（三角形内角和为180°） 故填：180. 6.（2024·湖北孝感期末改编）如图，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠BDE的度数是 _______． 【答案】70° 【分析】由模型得∠ADB为∠A、∠B、∠C的和，利用邻补角求解. 【详解】解：∵∠A＝20°，∠B＝40°且∠C＝50°. ∴∠ADB=∠A+∠B+∠C=110°. ∴∠BDE=180°-∠ADB=70°. 故填：70°. 第4题图 第5题图 第6题图 7.（2024·新疆和田校级月考）如图，五角星形的五个顶角分别是，，，，，若，则______． 【答案】144° 【分析】由模型得∠A、∠C、∠D的和，根据对顶角转化，并利用三角形内角和为180°求解. 【详解】解：∵∠A+180°且∠A=36°. ∴144°. 故填：144°. B层——进阶模型练 8.（2024·重庆南开练习）如图，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F=____°． 【答案】70 【分析】连接AD，构造“燕尾”模型求解. 【详解】解：连接AD. ∵∠E=∠B+∠BAD+∠ADE. ∴∠BAD+∠ADE=∠E-∠B=47°. ∵∠A+∠D=87°. ∴∠CAD+∠ADC=（∠A+∠D）-（∠BAD+∠DAE）=87°-47°=40°. ∴∠F=∠CAD+∠ADC+∠C=70°. 故填：70. 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 9.（原创）如图，延长BD交AC于点E，DF、EF分别平分∠BDC、∠CED，∠A=50°，∠B=42°，∠C=36°，则∠F=（ ）. A.18° B.20° C.28° D.30° 【答案】A 【分析】此题考察了三角形内角和、外角的知识，先利用模型得到∠CDF，再求△DEF的各个角，最后得到∠F即可. 【详解】解：∵∠BDC=∠A+∠B+∠C. ∴∠BDC=128°. ∴∠CDE=52°. ∵∠BEC是△ABE的外角. ∴∠BEC=∠A+∠B=92°. ∵DF、EF分别平分∠BDC、∠CED. ∴∠CDF=64°，∠DEF=46°. ∴∠EDF=∠CDF+∠CDE=116°. ∴∠F=180°-∠ EDF-∠DEF=180°-116°-46°=18° 故选：A. 10. （原创）如图，AE、DE分别平分∠A、∠D，若∠A=50°，∠BDC=110°，∠C=20°，则∠E=_____°． 【答案】10 【分析】此题考察了角平分线的定义，灵活运用模型是解题的关键. 【详解】解：∵AE、DE分别平分∠A、∠D. ∴∠CAE=25°且∠CDE=55°. ∵∠C=20°. ∴∠E=∠CDE－∠CAE－∠C=10°. 故填：10. 11. （原创）如图，已知∠DBE=36°，∠BEC=31°，∠ACE=34°，∠ADB=41°，小梦想求△AFG中各个角的度数.请帮他解决下列问题： （1） 求∠FAG的度数. （2） 求∠AFG的度数. （3） 求∠AGF的度数. 【答案】（1）38°（2）65°（3）77° 【分析】此题考察了三角形内角和与模型的灵活运用，灵活运用模型，快速找到解题方法是答题的关键. 【详解】解：（1）∵∠BIE=180°－∠B－∠E=180°－36°－31°=113°. ∵∠CID=∠A+∠C+∠D且∠BIE=∠CID. ∴∠A=∠BIE－∠C－∠D=113°－34°－41°=38°. 即∠FAG=38°. （2）由（1）得：∠FAG=38°. ∵∠AGE=∠FAG+∠C+∠E. ∴∠AGE=38°+34°+31°=103°. ∵∠AGE是△AFG的外角. ∴∠AFG=∠AGE－∠FAG=103°－38°=65°. （3）由（2）得：∠AFG=65°. ∴∠AGF=180°－∠FAG－∠AFG=180°－38°－65°=77°. C层——压轴模型练 12. （2023·江苏泰州）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】22.5°或45°或67.5° 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知∠A=∠=30°,∠ACP=∠AC=α, 再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解. 【详解】解：由折叠的性质知∠A=∠A=30°,∠ACP=∠ACP=a 当D=DE时，∠DE=∠=30°, 由三角形的外角性质得∠DE=∠A+∠ACD+∠CD, 即30°=30°+2a, 此情况不存在； 当D=E 时， 由三角形的外角性质得75°=30°+2α，解得α=22.5°; 当E=DE 时，∠ED=∠=30°, ∴∠AD=150°. ∴∠ACD+∠CD+∠A+∠=150°. ∴有2（α+30）°=150°.解得α=45°. 当D=AE 时，∠DE=∠ED=15°, α= ∠ACD=180°-30°-82.5°=67.5°; 综上，∠α的度数为22.5°或45°或67.5° 故答案为：22.5°或45°或67.5°. 【 点 睛 】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键. 13. （2023·四川自贡校级月考）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．     “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，， 即， 又：在中，， ∴， 即． “创新小组”想出了另外一种方法. 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角， …… …… 任务： (1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】（1）三角形内角和定理（三角形内角和为180°）（2）见解析 【分析】 ( 1 ) 连 接AB 之后，构成了三角形，从而利用三角形内角和的基本性质，由此填写即可； (2)利用三角形的外角定理进行证明即可 . 【详 解】(1)故答案为：三角形的内角和定理(或三角形的内角和是180度) (2) 证明：如图3,连接CD并延长至F, ∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的 一 个 外 角 ， ∴∠1=∠2+∠A,∠3=∠4+∠B, ∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B, 即∠ADB=∠A+∠ACB+∠B. 【点睛】本题考查三角形内角和定理以及外角定理的应用，理解并熟练运用这些基本定理是解题关键. 14.（2023·江苏南京校级期末改编）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： （1） 用图①证明：∠B+∠D+∠A=∠BCD； （2） 如图2，连接AD后，AD是燕尾四边形的对称轴，AB=AC=6，BD=DC=4，∠BDC=120°，求燕尾四边形ABCD的面积. 【答案】（1）见解析（2） 【分析】（1）连接AC并延长至点E，利用外角求解（2）连接BD, 根据即可求出燕尾四边形ABCD 的面积. 【详解】解：(1)连接AC并延长至点E. ∵∠BCE、∠DCE分别是△ABC、△ADC的外角. ∴∠BCE=∠ABC+∠BAC且∠DCE=∠ADC+∠DAC. ∴有∠BCE+∠DCE=∠B+∠BAC+∠ADC+∠D ∠BCD=∠B+∠D+∠A. (2)如图2, 图2 连接AC, 过点B作BE⊥AC 交AC 的延长线于E. ∵燕尾四边形ABCD是轴对称图形， ∠CBE=30°, 在Rt△BCE中，∠CBE=30°,BC=4, 2,BE=√3 在Rt△ABE中 ，AB=6,BE=2 √3, 根据勾股定理得，AE= =2 √6, 燕尾四边形ABCD的面积为2. 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，解本题的关键在于利用模型与构造直角三角形. 15.（2024·河南漯河校级月考改编）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1) 观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，若DC=EC，DB=EB，求证：凹四边形BCDE是轴对称图形； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠ C （2）40° （3）见解析 （4）70° 【分析】(1)首先连接AD并延长，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC=∠A+∠B+∠C; (2) ①由(1)可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC, 然后根据∠A=40°,∠BXC=90°, 即可求出∠ABX+∠ACX 的值；②证明BC垂直平分DE即可；③设∠ABG₁=x°,∠ACG₁=y°,结合已知可得∠ABD=10x°,∠ACD=10y°, 再根据(1)可得∠A+x°+y°=77°,∠A+10x°+10y°=140°,即可判断出∠A 的度数. 【详解】(1)解：∠BDC=∠A+∠B+∠ C, 理由如下： 如图，连接AD并延长至点F. 根据外角的性质，可得∠B DF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD, 又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD+∠CAD, ∴∠BDC=∠A+∠B+∠C, 故答案为：∠BDC=∠A+∠B+∠C; (2)①由(1)可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC, ∵∠A=50°,∠BXC=90°, ∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°; ②∵DC=EC，DB=EB. ∴B、C在DE的垂直平分线上. ∴BC垂直平分DE. ∴凹四边形BCDE是轴对称图形. ③设∠ABG₁=x°,∠ACG₁=y° ∴∠ABD=10x°,∠ACD=10y°, 则∠A+x°+y°=77°,∠A+10x°+10y°=140°, 解得x+y=7°, ∴∠A=77°-7°=70°, 即∠A的度数为70°. 【点 睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.. PART 4——模型变式. 变式层——回顾模型练 【变式1】（原创）如图，这是闪电形状的标志，已知DE⊥FE.若∠B=50°，∠A=80°，则∠C+∠D+∠F=（     ）. A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】D 【分析】连接AD，构造两个“燕尾”模型. 【详解】解：连接AD. ∵DE⊥FE. ∴∠E=90°. ∴∠B=∠C+∠BAD+∠CDA=50°且∠E=∠F+∠DAF+∠ADE=90°. ∴有∠C+∠BAD+∠DAF+∠CDA+∠ADE+∠F=∠B+∠C=140° ∠A+∠C+∠D+∠F=140°. ∵∠A=80°. ∴∠C+∠D+∠F=60°. 故选：D. 【变式1】题图 【变式2】 题图 【变式3】 题图 【变式4】 题图 【变式2】（2024·广东汕头校级月考）如图，若，，，则（     ）. A.102° B.110° C.142° D.148° 【答案】C 【分析】根据“燕尾”模型结论，直接相加即可. 【详解】解：由题意得：∠BDC=∠A+∠B+∠C=142°. 故选：C. 【变式3】（原创）如图，∠CBD+∠BCD=70°，则∠A+∠ABD+∠ACD=______． 【答案】110 【分析】此题考查了整体思想，利用已知条件得到∠D，再利用模型转化为问题即可. 【详解】解：∵∠CBD+∠BCD=70°. ∴∠D=180°－（∠CBD+∠BCD）=110°. ∵∠D=∠A+∠ABD+∠ACD. ∴∠A+∠ABD+∠ACD=110°. 故填：110. 【变式4】（原创）如图，∠D=140°，∠A=55°，∠B=50°，则∠C=__________． 【答案】110 【分析】此题考查了模型的逆用，学会熟悉且灵活运用模型结论是解题的关键点. 【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=∠D. ∴有105°+∠C=140°. ∴∠C=35°. 故填：35. 【变式5】（2024·山西朔州校级月考） 阅读与思考： 问题呈现： 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题．如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为和内角和的和，为． 解决问题： 如图，四边形是凹四边形，请探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：，他证明如下，请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接并延长到点． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.连 接AC 并延长AC 到 点E. 先证明∠BCE=∠B+∠BAC,∠DCE=∠D+∠CAD, 相加即可. 【详解】证明：连接AC 并延长AC 到 点E. 则∠BCE 为△ABC 的外角，∠DCE 为△ACD 的外角，∴∠BCE=∠B+∠BAC,∠DCE=∠D+∠CAD ∵∠BCD=∠BCE+∠DCE,∴∠BCD=∠B+∠BAC+∠D+∠CAD. ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD, ∴∠BCD=∠BAD+∠B+∠D. 学科网（北京）股份有限公司 $$