课时测评25 数乘向量&向量的线性运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知实数m，n和向量a，b，有下列说法： ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若ma＝mb，则a＝b； ④若ma＝na(a≠0)，则m＝n. 其中，正确的说法是(　　) A．①②③　　　　　　 B．①②④ C．①③④ D．②③④ 答案：B 解析：①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确；④正确，因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又因为a≠0，所以m－n＝0，即m＝n.故选B. 2．已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则＝(　　) A．－＋ B．－ C．＋ D．－ 答案：A 解析：如图所示 因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，＝，因为E是CD的中点，所以＝＝－，所以＝＋＝－＋.故选A. 3．已知任意两个向量a，b不共线，若＝a＋b，＝a＋2b，＝2a－b，＝a－b，则下列结论正确的是(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 答案：B 解析：因为＝－＝b，＝－＝－2b，所以＝－2，和共线，又因为和有公共点A，所以A，B，D三点共线．故选B. 4．设D是△ABC所在平面内一点，＝3，则＝(　　) A．＋ B．－ C．－ D．－＋ 答案：D 解析：因为＝3，所以－＝3－3， 所以＝－＋.故选D. 5．若＝3e1，＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 答案：C 解析：因为＝－，所以∥，且||≠||，而||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形． 6．已知c是非零向量，且a＝－2c，3b＝c，判断a与b是否平行．答：________． 答案：平行且方向相反 解析：因为a＝－2c，3b＝c且c为非零向量，所以a＝－6b，故a与b平行且方向相反． 7．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________． 答案：b－a 解析：因为(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，所以a－2c＋15c－12b＝0.化简得13c＝12b－a，所以c＝b－a. 8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________． 答案： 解析：△ABC中，D是AB边上一点，＝2，＝＋λ，如图所示： ＝＋＝＋2　①，又＝＋，2＝2＋2＝2－2　②，①＋②得，3＝＋2，所以＝＋，因为由题知＝＋λ，所以λ＝. 9．(10分)化简： (1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；(4分) (2)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b).(m，n是实数)(6分) 解：(1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c ＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c ＝6a＋4b. (2)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b＝－2(m＋n)b. 10．(10分)如图，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且AF＝AB，BD＝BC，CE＝CA，若记＝c，＝b，试用b，c表示，，. 解：＝＋＝－b－c.设＝a，则a＝－b－c. 由AF＝AB，得＝＝c. 同理，＝a，＝a，＝b，＝b. 所以＝＋＝a＋b＝(－b－c)＋b＝－b－c，＝＋＝b＋c， ＝＋＝c＋a＝c＋(－b－c)＝－b＋c. 11．(5分)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ 答案：D 解析：当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2，所以n＝2m，此时m，n共线．故选D. 12．(5分)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记，分别为a，b，则＝(　　) A．a－b B．a＋b C．－a＋b D．－a－b 答案：B 解析：如图，过点F作BC的平行线交DE于点G，则GF∥AD，且G是DE的中点，所以＝＝＝，且△AHD∽△FHG，所以＝，所以＝.又＝＋＝b＋a，所以＝(b＋a)＝a＋b.故选B. 13．(10分)如图所示，D是△ABC中BC边的中点，＝a，＝b， (1)试用a，b表示；(2分) (2)若点G是△ABC的重心，试用a，b表示；(3分) (3)若点G是△ABC的重心，化简＋＋.(5分) 解：(1)如题图，＝＋，＝＋. 因为D为BC的中点，所以＋＝0. 于是有2＝＋，＝(＋)，即＝(a＋b). (2)因为G为△ABC的重心(三条中线的交点)，所以||∶||＝2∶1. 因为＝＋，所以＝＝×(a＋b)＝(a＋b). (3)＋＋＝＋2＝＋＝0. 14．(5分)如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，＝2，若＝x＋y，则3x＋6y等于(　　) A． B．－ C．－6 D．6 答案：D 解析：＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋－＝＋.因为＝x＋y，所以x＋y＝＋，所以(x－)＝(－y)，又与不共线，所以x－＝0且－y＝0，故x＝，y＝.所以3x＋6y＝6. 15．(15分)如图所示，M是△ABC内一点，且满足＝2＋3，BM的延长线与AC的交点为N. (1)设＝a，＝b，请用a，b表示；(5分) (2)设＝λ，求λ的值．(10分) 解：(1)因为＝2＋3，则＝2＋3， 解得＝＋，即＝a＋b. (2)过M作MP∥AC交AB于P，过M作MQ∥AB交AC于Q，则＝＋， 因为＝＋，则＝，又因为△BPM∽△BAN， 所以＝＝，所以＝，即λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$