课时测评18 古典概型-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列有关古典概型的四种说法： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④已知基本事件总数为n，若随机事件A包含k个基本事件，则事件A发生的概率P(A)＝.其中说法正确的是(　　) A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④ 答案：D 解析：②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D． 2．某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：2位女同学和2位男同学依次走出教室的所有可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝.故选A． 3.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，(x，y)代表依次摸出的卡片，x，y∈{A，B，C}，则基本事件分别为(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况(A，B)，(B，A)，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是.故选D． 4．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又因为所有样本点包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的样本点只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率P＝.故选A． 5．甲乙两个人玩一种游戏，甲乙两人分别在两张纸片上各写一个数字，分别记为a，b，其中a，b必须是集合{1，2，3，4，5，6}中的元素，如果a，b满足|a－b|≤1，我们就称两人是“友好对”．现在任意找两人玩这种游戏，则他们是“友好对”的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由题意得a，b构成的数对(a，b)共有36种可能，其中满足|a－b|≤1的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16种可能，则所求概率为＝.故选D． 6．下列概率模型： ①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环； ③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短； ⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”． 其中属于古典概型的是________． 答案：③ 解析：①不属于古典概型，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于古典概型，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于古典概型，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于古典概型，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于古典概型，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性． 7．连续抛掷2枚骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为________． 答案： 解析：连续抛掷2枚骰子，样本点总数n＝6×6＝36.出现朝上的点数之和等于8的样本点有(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，共5个．因此出现朝上的点数之和等于8的概率P＝. 8．现有5根竹竿，它们的长度分别为25，26，27，28，29.若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差3的概率为________． 答案： 解析：从5根竹竿中一次随机抽取2根可能的样本点总数为10.它们的长度恰好相差3的样本点有25和28，26和29，共2个．因此所求概率P＝＝. 9．(10分)下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2分) (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3分) (3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．(5分) 解：(1)不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，任意取出一个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾． (2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾． (3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个偶数被抽到的可能性相等． 10．(15分)(开放题)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢． (1)若以A表示事件“和不为6”，求P(A)；(3分) (2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；(4分) (3)这个游戏公平吗？请说明理由．(8分) 解：将所有的样本点列表如下： 甲 乙　　 1 2 3 4 5 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) 由上表可知，该试验共包括25个等可能出现的样本点，属于古典概型． (1)事件A的对立事件为，包含了(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个样本点，故P(A)＝1－＝. (2)事件B包含了(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共16个样本点，所以P(B)＝. (3)这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为，“和为奇数”的概率是，二者不相等，所以该游戏不公平． 11．(15分)一个盒子里装有完全相同的八个小球，分别标上1，2，3，…，8这8个数字，现随机地抽取两个小球，根据下列条件求两个小球上数字为相邻整数的概率． (1)小球是不放回的；(7分) (2)小球是有放回的．(8分) 解：(1)“不放回地从8个小球中随机地选取2个”包含的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(6，8)，(7，8)，共28个， 其中“2个数字为相邻整数”的样本点有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，共7个， 故所求概率为＝. (2)“有放回地从8个小球中随机地选取2个”包含的样本点有64个(具体不再一一列出，同学们可自行选取方法罗列)，“2个小球上的数字为相邻整数”包含的样本点有14个(同学们可在自己罗列的基本事件中一一找寻)，故所求概率为＝. 12．(20分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游． (1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(5分) (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率；(6分) (3)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家至少有1个欧洲国家的概率．(9分) 解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个． 所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个， 则所求事件的概率为P＝＝. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个． 包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有 (A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率为P＝. (3) 由题意知，从6个国家中任选2个国家，至少有1个欧洲国家的结果为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共12个，则所求事件的概率为P＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$