课时测评15 用样本估计总体-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．某工艺品厂随机抽取甲、乙两个批次的初加工矩形产品，其宽度与长度的比值样本如下： 甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 我们将比值为0.618的矩形称为“完美矩形”，0.618为标准值，根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，则结论正确的是(　　) A．甲批次的总体平均数与标准值更接近 B．乙批次的总体平均数与标准值更接近 C．两个批次的总体平均数与标准值接近程度相同 D．以上选项均不对 答案：A 解析：甲批次的样本平均数为甲＝×(0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.639)＝0.617，乙批次的样本平均数为乙＝×(0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.620)＝0.613.0.617更接近于0.618，故甲批次的总体平均数与标准值更接近． 2．某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于60分到140分之间(满分150分)，为统计学生的这次考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本进行统计．将这100名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70)，第二组[70，80)，第三组[80，90)，……如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．则第七组的频数为(　　) A．8 B．10 C．12 D．16 答案：A 解析：设第七组的频率为p，则(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋p＋0.004)×10＝1，故p＝0.008.故第七组的频数为100×10×0.008＝8.故选A. 3．(多选)下列说法中正确的为(　　) A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定 答案：ACD 解析：由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，A、C、D正确． 4．为了了解某学校学生的身体发育情况，随机抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为(　　) A．300 B．360 C．420 D．450 答案：B 解析：由题图得，100名高中男生体重不小于70.5 kg的频率是(0.04＋0.034＋0.016)×2＝0.18.故该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的频率是0.18，人数为2 000×0.18＝360.故选B. 5．某校为了对高一年级学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重(kg)，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图，如图所示．体重在[45，50)内适合跑步训练，体重在[50，55)内适合跳远训练，体重在[55，60]内适合投掷相关方面训练，估计该校九年级学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为(　　) A．4∶3∶1 B．5∶3∶1 C．5∶3∶2 D．3∶2∶1 答案：B 解析：体重在[45，50)内的频率为0.1×5＝0.5，体重在[50，55)内的频率为0.06×5＝0.30，体重在[55，60]内的频率为0.02×5＝0.1，因为0.5∶0.3∶0.1＝5∶3∶1，所以可估计该校九年级学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5∶3∶1.故选B. 6．对一批底部周长在[80，130](单位：cm)内的树木进行研究，从中随机抽出200株树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计，这批树木的底部周长的众数是________，中位数是________． 答案：105　 解析：由题图知，底部周长的众数是＝105，中位数是×10＋100＝＋100＝. 7．某班学生A，B在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如下，其中学生A的平均成绩与学生B的成绩的众数相等，则m＝________． 答案：5 解析：由题意，得＝84，解得m＝5. 8．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图)，记甲、乙、丙所调查的三个社区“家庭每月日常消费额”的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________(用“＞”连接). 答案：s1＞s2＞s3 解析：根据三个频率分布直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差最小，总上可知s1＞s2＞s3. 9．(10分)某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩(单位：分)如下： 甲组　60，90，85，75，65，70，80，90，95，80； 乙组　85，95，75，70，85，80，85，65，90，85. (1)试分别计算两组数据的极差、方差；(6分) (2)哪一组的成绩较稳定？(4分) 解：(1)甲组：最高分为95，最低分为60，极差为95－60＝35， 平均数为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79， 方差为s2甲＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119. 乙组：最高分为95，最低分为65，极差为95－65＝30， 平均数为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5， 方差为s2乙＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25. (2)由于乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定． 从(1)中得到的极差也可看出乙组的成绩比较稳定． 10．(10分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图所示的直方图： 根据直方图得到“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”的频率估计为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(4分) (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).(6分) 解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35， b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00. 11．(20分)某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下： [0，0.5)，4；[0.5，1)，8；[1，1.5)，15；[1.5，2)，22；[2，2.5)，25；[2.5，3)，14；[3，3.5)，6；[3.5，4)，4；[4，4.5]，2. (1)列出样本的频率分布表；(4分) (2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；(5分) (3)当地政府制定了人均月用水量为3 t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？(11分) 解：(1)频率分布表： 分组 频数 频率 [0，0.5) 4 0.04 [0.5，1) 8 0.08 [1，1.5) 15 0.15 [1.5，2) 22 0.22 [2，2.5) 25 0.25 [2.5，3) 14 0.14 [3，3.5) 6 0.06 [3.5，4) 4 0.04 [4，4.5] 2 0.02 合计 100 1.00 (2)频率分布直方图如图： 众数：2.25；中位数：2.02；平均数：2.02. (3)人均月用水量在3 t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3 t以上，88%的居民月用水量在3 t以下，因此政府的解释是正确的． 12．(20分)(2024·湖北武汉高一期中)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数；(8分) (2)已知落在[50，60)的平均成绩是56，方差是7，落在[60，70)的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差s2.(12分) 解：(1)因为每组小矩形的面积之和为1， 所以(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)×10＝1，解得a＝0.030， 成绩落在[40，80)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030)×10＝0.65， 落在[40，90)内的频率为(0.005＋0.010＋0.020＋0.030＋0.025)×10＝0.9， 设第80百分位数为m， 由0.65＋(m－80)×0.025＝0.80，得m＝86，故第80百分位数为86. 设平均数为，由图中数据可知： ＝10×(45×0.005＋55×0.010＋65×0.020＋75×0.030＋85×0.025＋95×0.010) ＝2.25＋5.5＋13＋22.5＋21.25＋9.5＝74. (2)由图可知，成绩在[50，60)的市民人数为100×0.1＝10， 成绩在[60，70)的市民人数为100×0.2＝20. 故＝＝62， s2＝[10×7＋10×(56－62)2＋20×4＋20×(65－62)2]＝23. 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23. 学生用书第64页 学科网（北京）股份有限公司 $$