课时测评11 函数的应用（二）-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如表一组数据： x 1 2 3 4 5 8 y 0.5 1.5 2.08 2.5 2.82 3.5 在四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ 答案：C 解析：由表格中数据作出散点图： 由图可知，y是关于x的增函数，且递增的比较缓慢．故选C. 2．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2 000元降到1 280元，则这种手机平均每次降价的百分率是(　　) A．10% B．15% C．18% D．20% 答案：D 解析：设平均每次降价的百分率为x，则2 000·(1－x)2＝1 280，所以x＝20%.故选D. 3．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ可定义为γ＝0.6 lg I．2021年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的____倍．(　　) A．2 B．10 C．100 D．1 000 答案：C 解析：设3.1级地震散发出来的能量为I1，设4.3级地震散发出来的能量为I2， 则，由②－①得1.2＝0.6 lg， 可得lg ＝2＝lg 102＝lg 100，所以＝100，即I2＝100I1.故选C. 4．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半．如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为(　　) A．y＝x(x∈N＋) B．y＝x(x∈N＋) C．y＝2x(x∈N＋) D．y＝(x∈N＋) 答案：D 解析：由题意可得，剩下的部分依次为，，，…，因此x天后剩下的部分y与x的函数关系式为y＝(x∈N＋).故选D. 5．(多选)如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有(　　) A．野生水葫芦的面积每月增长率为1 B．野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2历时超过1.5个月 C．设野生水葫芦蔓延到10 m2，20 m2，30 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t3<2t2 D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度 答案：ABC 解析：因为其关系为指数函数，由指数函数y＝at(a>0且a≠1)经过点(2，4)，所以a2＝4，可得a＝2，该指数函数为y＝2t，可发现每个月是上个月的2倍，则每个月的增长率为1；故A正确；S从4 m2增长到12 m2，结合y＝2t，可得t＝log2S，又log212－log24＝log23>log221.5＝1.5，故B正确；因为t1＝log210，t2＝log220，t3＝log230，t1＋t3＝log2300<log2400＝2 log220＝2t2，故C正确；根据图象野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度1 ＝＝3，在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度2＝＝6，则有1<2，故D错误．综上可知ABC正确．故选ABC. 6．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________． 答案：－1 解析：设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q).所以x＝－1. 7．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．则当燕子静止时的耗氧量是________个单位． 答案：10 解析：若燕子静止，则v＝0，所以O＝10. 8．logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区L新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95 K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为________．(ln 19≈3) 答案：66 解析：因为I(t)＝，所以I(t*)＝＝0.95 K，则e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈＋53≈66. 9．(10分)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据． x 1.99 3 4 5.1 8 y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 现有如下5个模拟函数： ①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x；⑤y＝＋1.74. 请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律． 解：画出散点图如图所示． 由图可知，上述点大体在函数y＝log2x上(对于y＝0.58x－0.16，可代入已知点验证不符合)，故选择y＝log2x可以比较近似地反映这些数据的规律． 10．(5分)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　 ) A.75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 答案：D 解析：由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16，故选D. 11．(5分)渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼将很快失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败).已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分)满足的函数关系式为h(t)＝m·at.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后失去全部新鲜度？(已知lg 2≈0.3，结果取整数)(　　 ) A．33分钟 B．40分钟 C．43分钟 D．50分钟 答案：C 解析：由题意得解得a＝2，m＝0.05，故h(t)＝0.05×(2)t， 令h(t)＝0.05×(2)t＝1，得(2)t＝20， 故t＝＝≈≈43(分钟)，故选C. 12．(20分)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用I(单位：W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平用L(单位：分贝)表示，它们满足以下公式：L＝10·lg (L≥0，其中I0＝1×10-12W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答以下问题： (1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2，耳语的强度是1×10-10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10-8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(8分) (2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围为多少．(12分) 解：(1)由题意可知：树叶沙沙声的强度是I1＝1×10-12，则＝1，所以LI1＝10×lg 1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝； 耳语的强度是I2＝1×10-10，则＝102，所以LI2＝10×lg 102＝20，即耳语的强度水平为20分贝； 恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10-8，则＝104，所以LI3＝10×lg 104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝． (2)由题意知：0≤L1＜50即0≤10·lg ＜50， 所以1≤＜105，即10-12≤I＜10-7. 所以新建的安静小区的声音强度I的范围为[10-12，10-7). 13．(20分)某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示： x/天 10 20 25 30 Q(x)/件 110 120 125 120 已知第10天的日销售收入为121元． (1)求k的值；(4分) (2)给出以下四种函数模型： ①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b； ③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx. 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；(6分) (3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值．(10分) 解：(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1. (2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N*). (3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25| ＝ 所以f(x)＝P(x)·Q(x) ＝ 当1≤x<25时，y＝x＋在[1，10]上单调递减，在[10，25)上单调递增，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121； 当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，f(x)min＝124. 综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121. 所以该小物品的日销售收入的最小值为121元． 学生用书第43页 学科网（北京）股份有限公司 $$