课时测评10 增长速度的比较-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．我们常用函数y＝f(x)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于(　　) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 答案：D 解析：因为自变量x由x0改变到x0＋Δx，当x＝x0时，y＝f(x0)，当x＝x0＋Δx时，y＝f(x0＋Δx)，所以Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).故选D. 2．函数f(x)＝在区间[1，4]上的平均变化率为(　　) A． B． C．1 D．3 答案：A 解析：＝.故选A. 3.如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 解析：＝＝＝－1. 4．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(　　) A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1 答案：B 解析：由题意可知，三个函数在区间(2，4)上都是单调递增的，所以4<y1<16，4<y2<16，1<y3<2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间(2，4)上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2>y1>y3.故选B. 5．下列四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．∀x＞0，xn＞logax C．∀x＞0，ax＞logax D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax 答案：D 解析：对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B、C，当0<a<1时，显然不成立；对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立． 6．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为________． 答案：a 解析：＝＝＝a. 7．函数f(x)＝xex在区间[1，3]上的平均变化率为________． 答案： 解析：＝＝. 8．若函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为________． 答案：2 解析：由已知，得＝＝3，所以m＋1＝3，所以m＝2. 9．(10分)某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制订一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？ 解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象，如图所示． 观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求． 10．(5分)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示． 横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是(　　) A．投资3天以内(含3天)，采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案二 D．投资12天，采用方案二 答案：D 解析：由题图可以看出，从每天的回报看，在第一天到第3天，方案一最多，故A正确；在第4天方案一、二一样多，方案三最少，故B正确；在第5天到第8天，方案二最多，故C正确；从第9天开始方案三最多，故D不正确． 11．(5分)(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论中正确的是(　　) A．当x＞1时，甲走在最前面 B．当x＞1时，乙走在最前面 C．当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面 D．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面 答案：CD 解析：路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为：f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x3，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们相应的函数模型分别是指数型函数，幂函数，一次函数，和对数型函数模型；对于A，当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝8，所以该结论不正确；对于B，因为指数型的增长速度大于幂函数的增长速度，所以x＞1时，甲总会超过乙的，所以该结论不正确；对于C，根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，所以该结论正确；对于D，结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，所以该结论正确．故选CD. 12．(15分)已知函数f(x)＝3x，g(x)＝log2x，分别计算这两个函数在区间[1，4]上的平均变化率，并比较它们的大小． 解：＝＝， 所以函数f(x)＝3x在区间[1，4]上的平均变化率为＝26. ＝＝，所以函数g(x)＝log2x在区间[1，4]上的平均变化率为＝＝. 因为26＞，所以函数f(x)＝3x在区间[1，4]上的平均变化率大于函数g(x)＝log2x在区间[1，4]上的平均变化率． 13．(5分)甲、乙两人运动的路程s与时间t的函数关系分别为s＝s1(t)，s＝s2(t)，对应的图象如图所示，则在时间段[0，t0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”). 答案：小于 解析：由题中图象知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)＞s2(0)，所以＜，即在时间段[0，t0]内甲的平均速度小于乙的平均速度． 14．(20分)已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x. (1)计算函数f(x)及g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率，并比较它们的大小；(8分) (2)求使f(1＋Δx)＜g(1＋Δx)的Δx的取值范围．(12分) 解：(1)函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为＝＝2. 函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为＝＝－2. 因为2＞－2，所以函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率大于g(x)在[－3，－1]上的平均变化率． (2)f(1＋Δx)＝3＋2Δx，g(1＋Δx)＝－2－2Δx， 解f(1＋Δx)＜g(1＋Δx)得Δx＜－， 即Δx的取值范围为. 学生用书第39页 学科网（北京）股份有限公司 $$