课时测评3 指数函数的性质与图象-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．(多选)已知集合A＝{x|x<3}，B＝{x|2x>4}，则A∩B的子集为(　　) A．∅　　　　　　　　 B．{x|0<x<3} C．{x|1<x<3} D．{x|2<x<3} 答案：AD 解析：因为函数y＝2x是增函数，所以B＝{x|2x>4}＝{x|x>2}，故A∩B＝{x|2<x<3}．故选AD. 2．设f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 答案：D 解析：因为f(－x)＝＝＝f(x)， 所以f(x)为偶函数．又当x>0时，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．故选D. 3．若<，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B． C．(－∞，1) D． 答案：B 解析：函数y＝在R上为减函数，所以2a＋1>3－2a，所以a>.故选B. 4．已知A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两点在函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)图象上，那么下列关系式一定成立的是(　　) A．(x1－x2)(f(x1)－f(x2))＞0 B．(x1－x2)(f(x1)－f(x2))＜0 C．f＜ D．f＞ 答案：C 解析：因为函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的单调性由a确定，而a与1的大小关系不确定，所以其单调性不确定，故A、B错误；不妨设a＞1，作出图形，如图所示． 则f是曲线上横坐标为的点C的纵坐标，是线段AB的中点D的纵坐标． 根据图形可得f＜， 同理：当0＜a＜1时，结果相同．故f＜.故选C. 5．设x>0，且1<bx<ax，则(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 答案：C 解析：因为1<bx，所以b0<bx，又x>0，所以b>1. 因为bx<ax，所以>1，又x>0，所以>1， 所以a>b，即1<b<a.故选C. 6．三个数，，中，最大的是________，最小的是________． 答案：　 解析：因为函数y＝在R上是减函数，所以>，又在y轴右侧函数y＝的图象始终在函数y＝的图象的下方，所以>，即>>. 7．函数y＝的单调增区间是________． 答案：(－∞，2] 解析：令t＝x2－4x＋3，则其对称轴为x＝2.当x≤2时，t随x增大而减小，则y增大，即y＝的单调增区间为(－∞，2]. 8．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，1) 解析：f(x)＝a－x＝，因为f(－2)>f(－3)，所以>，即a2>a3.所以a<1，即0<a<1. 9．(10分)比较下列各题中两个值的大小： (1)与；(2分) (2)与；(3分) (3)0.20.3与0.30.2.(5分) 解：(1)因为0<<1，所以函数y＝在其定义域R上单调递减，又－1.8>－2.5，所以<. (2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝与y＝的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得>. (3)因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.　 又根据指数函数y＝0.2x的性质可得 0．20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2. 10．(10分)函数f(x)＝ 的定义域为集合A，关于x的不等式>2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围． 解：由≥0，解得x≤－2或x>1， 于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)， >2－a－x⇔>⇔2x<a＋x⇔x<a， 所以B＝(－∞，a). 因为A∩B＝B，所以B⊆A，所以a≤－2， 即实数a的取值范围为(－∞，－2]. 11．(5分)函数y＝(0＜a＜1)的图象的大致形状是(　　) 答案：D 解析：因为f(x)＝＝(0＜a＜1)， 由指数函数的性质知：在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数，观察四个图象只有D符合．故选D . 12．(5分)(多选)如图，某湖泊的蓝藻的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系满足y＝at，则下列说法正确的是(　　) A．蓝藻面积每个月的增长率为100% B．蓝藻每个月增加的面积都相等 C．第6个月时，蓝藻面积就会超过60 m2 D．若蓝藻面积蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则一定有t1＋t2＝t3 答案：ACD 解析：由图可知，函数y＝at图象经过(1，2)，即a1＝2，则a＝2，所以y＝2t，所以2t+1－2t＝2t不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为100%，故A正确，B错误； 当t＝6时，y＝26＝64＞60，故C正确； 若蓝藻面积蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则2t1＝2，2t2＝3，2t3＝6，2t1＋t2＝2t1·2t2＝2×3＝6，则t1＋t2＝t3，故D正确． 故选ACD. 13．(10分)设a>0，f(x)＝＋是定义在R上的偶函数． (1)求a的值；(4分) (2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(6分) 解：(1)依题意，对一切x∈R有f(x)＝f(－x)，即＋＝＋a·3x， 所以(a－)(－3x)＝0对一切x∈R恒成立．由此可得a－＝0，即a2＝1. 又a>0，所以a＝1. (2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝3x1－3x2＋－＝(3x2－3x1)(－1)＝(3 x2－3 x1)·. 由x1>0，x2>0，x1<x2， 得x1＋x2>0，3x2－3x1>0， 则3x1＋x2>1，1－3x1＋x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2). 即f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 14．(5分)(新角度)已知函数f(x)＝ax+2－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx－n的图象上，其中实数m，n满足mn＞0，则＋的最小值为__________． 答案：4 解析：函数f(x)＝ax+2－3，令x＋2＝0，得x＝－2，此时f(－2)＝1－3＝－2，所以函数f(x)的图象恒过定点A(－2，－2)，又因为点A在一次函数y＝mx－n的图象上，所以－2＝－2m－n，即2m＋n＝2，又因为实数m，n满足mn＞0，所以m＞0，n＞0，所以＋＝×(2m＋n)＝≥＝4，当且仅当＝即n＝2m时，等号成立，即m＝，n＝1时，＋取得最小值4. 15．(15分)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1). (1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；(3分) (2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(4分) (3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．(8分) 解：(1)由图①知，f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以 又因为a>0，且a≠1，所以a＝，b＝－3. (2)由图②知，f(x)单调递减，所以0<a<1， 又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1. 故a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为(－∞，－1). (3)由(1)知f(x)＝()x－3，则画出|f(x)|＝|()x－3|的图象如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3. 故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}． 学生用书第13页 学科网（北京）股份有限公司 $$