课时测评2 指数函数-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

(时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．下列函数中，不能化为指数函数的是(　　) A．y＝2x×3x B．y＝2x-1 C．y＝32x D．y＝4－x 答案：B 解析：对于A：y＝2x×3x＝6x，是指数函数；对于B：y＝×2x，不是指数函数；对于C：y＝32x＝9x，是指数函数；对于D：y＝，是指数函数．故选B. 2．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝(　　) A.()x B．2x C． D． 答案：A 解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因为f(2)＝a2＝2，解得a＝，所以f(x)＝()x.故选A. 3．当x∈[－1，1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是(　　) A． B．[－1，1] C． D．[0，1] 答案：C 解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1，1]上是增函数，所以3-1≤3x≤31，于是3-1－2≤3x－2≤31－2，即－≤f(x)≤1.故选C. 4．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　　) A．2 B．－2 C．－2 D．2 答案：D 解析：因为函数f(x)是指数函数，所以a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，f＝8＝2.故选D. 5．(多选)已知函数f(x)＝22x－2x+1＋2，定义域为M，值域为[1，2]，则下列说法中一定正确的(　　) A．M＝[0，2] B．M⊆(－∞，1] C．0∈M D．1∈M 答案：BCD 解析：令t＝2x＞0，则y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1， 因为函数f(x)的值域为[1，2]，即y∈[1，2]且t＞0， 所以t＝1和t＝2所对应的x必须在定义域内， 所以[0，1]⊆M⊆(－∞，1]，故B正确；当函数的最小值为1时，仅有x＝0满足，所以0∈M，故C正确；当函数的最大值为2时，仅有x＝1满足，所以1∈M，故D正确；当x＝2时，函数值f(2)＝10∉[1，2]，故A错误．故选BCD. 6．函数f(x)＝的定义域为________． 答案：[3，＋∞) 解析：由2x－8≥0，得2x≥8，即x≥3.所以函数f(x)＝的定义域为[3，＋∞). 7．函数f(x)＝2x在[－1，3 ]上的最小值是__________． 答案：. 解析：函数f(x)在[－1，3]上递增，故f(x)min＝f(－1)＝. 8．函数y＝(a>0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，1) 解析：由ax－1≥0，得ax≥1.因为函数的定义域是(－∞，0]，所以ax≥1的解集为(－∞，0]，所以0<a<1. 9．(10分)求下列函数的定义域和值域： (1)y＝；(4分) (2)y＝.(6分) 解：(1)由题意知1－≥0， 所以≤1＝，所以x≥0， 所以函数的定义域为[0，＋∞). 因为x≥0，所以≤1. 又>0，所以0<≤1， 所以0≤1－<1， 所以0≤y<1，故函数的值域为[0，1). (2)定义域为R. 因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， 所以≤＝16. 又>0， 故函数y＝的值域为(0，16]. 10．(10分)已知函数f(x)＝ax-1(x≥0)，其中a>0且a≠1. (1)若f(x)的图象经过点，求a的值；(4分) (2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．(6分) 解：(1)函数图象过点， 所以a2-1＝，则a＝. (2)f(x)＝ax-1(x≥0)，由x≥0得x－1≥－1， 当0<a<1时，ax-1≤a-1， 所以f(x)的值域为(0，a-1]； 当a>1时，ax-1≥a-1， 所以f(x)的值域为[a-1，＋∞). 11．(5分)函数y＝f(x)，x∈R，且f(x)＝－f(x＋1)，当x∈(0，1]时，f(x)＝3x，则f(2)＝__________． 答案：－3 解析：因为f(x)＝－f(x＋1)，即f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－(－f(x))＝f(x)，可得函数f(x)的周期为2，故f(2)＝－f(3)＝－f(3－2)＝－f(1)＝－3. 12．(5分)已知函数f(x)＝m×22x＋n×2x＋n2－2n－1(m，n∈R)存在最小值，且对于n的所有可能的取值都满足f(0)＞0，则实数m的取值范围为__________． 答案：[1，＋∞) 解析：令t＝2x，t∈(0，＋∞)，则y＝mt2＋nt＋n2－2n－1，因为函数f(x)存在最小值，所以m＞0，－＞0，即n＜0，又f(0)＞0，则m＋n＋n2－2n－1＞0在n＜0恒成立，即m＞－n2＋n＋1在n＜0恒成立．令u(n)＝－n2＋n＋1＝－＋，当n＜0时，u(n)为增函数，当n＝0时，u(n)取最大值，u(0)＝1，得m≥1. 13．(10分)已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数． (1)求f(x)的表达式；(4分) (2)判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．(6分) 解：(1)由a2＋a－5＝1， 可得a＝2或a＝－3(舍去)，所以f(x)＝2x. (2)F(x)是奇函数，证明如下：F(x)＝2x－2－x， 所以F(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－F(x)， 所以F(x)是奇函数． 14．(5分)(新设问)我们知道，指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)具有如下特征：对定义域R内任意实数m，n都有f(m＋n)＝f(m)·f(n)成立．现请你写出满足如上特征的一个非指数函数的函数解析式：________． 答案：f(x)＝1(答案不唯一) 解析：常数函数f(x)＝1对定义域R上任意的m，n，都有f(m＋n)＝f(m)·f(n)＝1，但f(x)＝1不是指数函数． 15．(15分)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数，e≈2.7).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？ 解：因为保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数)， 所以解得 所以y＝100()x， 所以当x＝10时，y＝100×()10＝64， 所以在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h． 学生用书第10页 学科网（北京）股份有限公司 $$