5 5.3.1 样本空间与事件-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

5.3　概率 5.3.1　样本空间与事件 知识层面 1.了解必然现象和随机现象，了解不可能事件、必然事件及随机事件的概念．　2.理解样本点与样本空间的含义，会求试验中的样本空间以及样本点．　3.掌握随机事件发生的概率． 素养层面 通过事件的有关概念的学习，提升数学抽象素养；借助样本点与样本空间的学习，培养逻辑推理素养． 问题1.观察下列现象： (1)在标准大气压下，水在100 ℃会沸腾； (2)投掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上； (3)山无陵，江水为竭，冬雷震震，夏雨雪，天地合，乃敢与君绝； (4)明天可能下雨也可能不下雨； (5)投掷一枚骰子，正面向上的点数可能为1，2，3，4，5，6. 你能判断上面的现象是否发生呢？各有什么特点呢？ 提示：现象(1)是必然的；(3)是不可能的；(2)(4)(5)都至少有两种结果． 问题2.体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号为0，1，2，…，9的球放入摇奖器中经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个试验的结果有几种情况？如何表示这些结果？ 提示：有10种情况；可以用集合表示为{0，1，2，3，…，9}． 知识点一　样本点和样本空间 样本点：把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点． 样本空间：把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示). 知识点二　随机事件 1．不可能事件：在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果． 2．必然事件：在同样的条件下重复进行试验时，每次试验中一定会发生的结果． 3．随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，可能发生，也可能不发生的结果． 知识点三　随机事件发生的概率 将不可能事件∅发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1；任意事件A发生的概率为：0≤P(A)≤1． 学生用书第65页 [微提醒]　(1)我们将不可能事件∅发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1，即P(∅)＝0，P(Ω)＝1. (2)事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0(如图). 1．(多选)以下现象是确定性现象的是(　　) A．抛掷一枚硬币，出现正面或反面 B．某人买彩票中奖 C．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾 D．明天下雨 答案：AC 解析：B、D都是随机现象，A、C必然发生为确定性现象． 2．一个家庭有两个小孩，则样本空间Ω是(　　) A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)} B．{(男，女)，(女，男)} C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)} D．{(男，男)，(女，女)} 答案：C 解析：两个小孩有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．故选C. 3．下列说法正确的有(　　) ①任意事件A的概率P(A)总满足0＜P(A)<1； ②若事件A的概率为0，则A是不可能事件； ③若事件A的概率为0.5，则A是随机事件； ④概率等于1的事件不一定为必然事件． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：C 解析：任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，所以①错误；不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，所以②错误；③正确；④正确，比如说在0和5之间随机取一个实数，这个数不等于3.352 64的概率是1，但不是必然事件，综上所述．故选C. 4．将一根长为a(a＞0)的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是(　　) A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．不能判定 答案：C 解析：将一根长为a(a＞0)的铁丝随意截成三段，可能构成一个三角形，也可能构不成三角形，所以是随机事件． 5．以下给出关于满足AB的非空集合A，B的四个命题： ①若任取x∈A，则x∈B是必然事件； ②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件； ③若任取x∈B，则x∈A是随机事件； ④若任取x∉B，则x∉A是必然事件． 其中正确的是________(只填序号). 答案：①③④ 解析：结合元素与集合、集合与集合的相关知识可知，①③④正确． 题型一　随机事件、必然事件、不可能事件的判断 例1　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件． (1)在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾； (2)同一门炮向同一目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标； (3)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧拨通朋友的电话； (4)技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现． [思路点拨]　需要判断的事件中，有些是生活常识，还有些涉及物理、化学、生物等知识，需要我们能够灵活运用所学过的知识进行判断． 解：根据各类事件的定义，逐一进行判断，可知(1)为必然事件，(2)(3)为随机事件，(4)为不可能事件． 学生用书第66页 　　 要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．　　 对点练1.指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是随机事件，哪些是不可能事件． (1)掷一枚硬币，正面朝上； (2)买一张彩票，中奖； (3)掷一次骰子，向上一面的点数小于7； (4)任意买一张电影票，座位号是双号； (5)向空中抛一枚硬币，硬币不向地面掉落． 解：(3)是必然事件；(5)是不可能事件；(1)(2)(4)是随机事件． 题型二　样本点和样本空间 例2　做掷红、蓝两个均匀骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验共有多少种不同的结果； (3)用集合表示事件“出现的点数之和小于6”； (4)用集合表示事件“出现的点数之差为1”． [思路点拨]　所有可能结果用数对来表示，列举时注意按照一定规律，以确保不重不漏． 解：(1)这个试验的样本空间为 Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}． (2)由(1)知这个试验的结果共有36种． (3)事件“出现的点数之和小于6”可用集合表示为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)}． (4)事件“出现的点数之差为1”可用集合表示为{(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)}． 样本空间的两个探求方法 1．列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题． 2．树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．　　 对点练2.从标有1，2，3，4，5的5张卡片中任取两张，观察取出的卡片上的数字． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验的样本点的总数； (3)“数字之和为5”这一事件包含哪几个样本点？ 解：(1)这个试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}((1，2)表示抽出标有1，2的两张卡片). (2)由(1)知这个试验的样本点共有10. (3)“数字之和为5”的这一事件包含{(1，4)，(2，3)}，2个样本点． 题型三　随机事件的概率 例3　袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球． (1)写出该试验的样本空间． (2)用集合表示A：恰好摸出1个黑球和1个红球；B：至少摸出1个黑球． (3)从直观上比较P(A)和P(B)的大小． [思路点拨]　先用树状图写出样本空间，再表示A，B，最后判断P(A)，P(B)的大小． 解：(1)用树状图表示所有的结果为： 所以该试验的样本空间为 Ω＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de}． (2)A＝{ac，ad，ae，bc，bd，be}； B＝{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be}． (3)因为集合A中包含6个样本点，集合B中包含7个样本点，所以从直观上看，P(A)＜P(B). 学生用书第67页 概率意义的理解 1．概率是事件固有的属性，可以通过大量重复的试验得到其近似值．但在一次试验中事件发生与否都是有可能的． 2．概率反映了事件发生的可能性，可以看作是频率在理论上的期望值．　　 对点练3.若将该例中的第(2)题改为“用集合表示C：一定抽到c小球”，则集合C怎么表示呢？并比较P(A)和P(C)的大小． 解：C＝{ac，bc，cd，ce}； 因为集合A中包含6个样本点，集合C中包含4个样本点， 所以从直观上看，P(A)＞P(C). 1．(多选)下列现象是随机现象的是(　　) A．2026年世界杯足球赛期间不下雨 B．若a是偶数，则a＋2也是偶数 C．对任意x∈R，有x＋1>2x D．抛掷一枚硬币，正面朝上 答案：ACD 解析：A、C、D是随机现象，B是确定性现象．故选ACD. 2．对掷一粒骰子的试验，在概率论中把“出现零点”称为(　　) A．样本空间　　　　　 B．必然事件 C．不可能事件 D．随机事件 答案：C 解析：对掷一粒骰子的试验，出现的点数分别为：1，2，3，4，5，6，所以在掷一粒骰子的试验中，出现零点是不可能事件．故选C. 3．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为(　　 ) A．8　　　 B．9 C．12　　　　 D．11 答案：D 解析：根据题意，所有样本点为：21，22，24，31，32，34，12，13，23，42，43，共11个．故选D. 4．用红、黑、黄3种颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是_________________________________． 答案：甲、乙两个小球所涂颜色相同 学科网（北京）股份有限公司 $$