6 4.2.3 第1课时 对数函数的概念、定义域和值域-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

4.2.3　对数函数的性质与图象 知识层面 1.理解对数函数的概念、图象及性质．　2.根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数． 3.初步掌握对数函数的图象和性质，会解与对数函数相关的定义域、值域、单调性、最值等问题． 素养层面 通过对数函数定义的学习，培养数学抽象素养；借助对数函数的图象与性质的学习，提升直观想象、逻辑推理素养． 问题1.将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，＋∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？ 提示：x＝log2y，任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的x对应，x能看作关于y的函数． 问题2.在同一坐标系内画出函数y＝log2x，y＝logx，y＝logx和y＝log3x的图象，并说出函数图象从左到右的变化趋势和函数图象的共同特征． 提示：同一坐标系中函数的图象如图． (1)y＝log2x与y＝log3x的图象从左向右是上升的，函数y＝logx和y＝logx的图象从左到右是下降的． (2)图象都过定点(1，0)，函数的图象都在y轴的右侧，且向上向下无限延伸． 知识点一　对数函数的概念 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. 2．判断一个函数是否为对数函数的依据 (1)形如y＝logax；(2)底数a满足a>0且a≠1；(3)真数为x，而不是x的函数；(4)定义域为(0，＋∞). 如y＝log2x2，y＝log5(x＋5)，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数． [微提醒]　(1)由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞). (2)结合上一节知识可知以10为底的对数函数y＝lg x叫做常用对数函数，以e为底的对数函数y＝ln x叫做自然对数函数． 学生用书第23页 知识点二　对数函数的图象和性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点 图象过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0 单调性 增函数 减函数 奇偶性 非奇非偶函数 [微提醒]　(1)讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． (2)根据对数函数的性质可知，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象都过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y＝logax的草图． (3)在对数函数y＝logax(a>0，a≠1)中：①若0<a<1且0<x<1，或a>1且x>1，则有y>0；②若0<a<1且x>1，或a>1且0<x<1，则有y<0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负．有了这个规律，我们判断对数值的正负就很简单了． 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1) C．y＝logax2(a>0，且a≠1) D．y＝ln x 答案：D 解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A、B、C错误，D正确． 2．函数y＝ln (1－x)的定义域为(　　) A．(0，1) B．[0，1) C．(0，1] D．[0，1] 答案：B 解析：由题意，得解得0≤x<1，故函数y＝ln (1－x)的定义域为[0，1).故选B. 3．函数y＝loga(x－1)(0<a<1)的图象大致是(　　) 答案：A 解析：因为0<a<1，所以y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故A、B可能正确；又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位得到，故A正确． 4．已知函数f(x)＝log3x，则f＋f(15)＝________． 答案：3 解析：f＋f(15)＝log3＋log315＝log327＝3. 5．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________． 答案：(0，2] 解析：由4x－x2>0得0<x<4，函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0，4).令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，当x∈(0，2]时，u＝4x－x2是增函数，当x∈(2，4)时，u＝4x－x2是减函数．又因为y＝log3u是增函数，所以函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0，2]. 第1课时　对数函数的概念、定义域和值域 题型一　对数函数的概念 例1　下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝loga(a>0，且a≠1)； (2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)； (4)y＝logx6(x>0，且x≠1)； (5)y＝log6x. [思路点拨]　用对数函数的概念y＝logax(a>0且a≠1)来判断． 解：(1)中真数不是自变量x，不是对数函数． (2)中对数式后加2，所以不是对数函数． (3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数． (4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数． (5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 学生用书第24页 判断一个函数是对数函数的方法 　　 对点练1.已知函数：(1)y＝log(－x)(x<0)；(2)y＝2log4(x－1)(x>1)； (3)y＝ln x(x>0)；(4)y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数). 其中，一定是对数函数的是________．(填序号) 答案：(3) 解析：对于(1)，真数是－x，故(1)不是对数函数；对于(2)，2log4(x－1)的系数为2，且真数是x－1，故(2)不是对数函数；对于(3)，易知(3)是对数函数；对于(4)，底数a2＋a不一定大于0且可能等于1，故(4)不一定是对数函数． 题型二　求对数型函数的定义域 例2　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝； (3)y＝log2(16－4x)； (4)y＝log(x－1)(3－x). [思路点拨]　本题考查有关对数型函数的定义域的求法．对于(1)，要保证分母不为0.对于(2)，要保证根式有意义．对于(3)(4)，要保证对数式有意义． 解：(1)要使函数式有意义， 需解得x>1，且x≠2. 故函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}． (2)要使函数式有意义，需 即解得x≥4. 故函数y＝的定义域是{x|x≥4}． (3)要使函数式有意义，需16－4x>0，解得x<2. 故函数y＝log2(16－4x)的定义域是{x|x<2}． (4)要使函数式有意义，需解得1<x<3，且x≠2. 故函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1<x<3，且x≠2}． 求对数型函数定义域的步骤 　　 对点练2.求下列函数的定义域： (1)y＝log3(1－x)； (2)y＝； (3)y＝log7. 解：(1)因为当1－x>0，即x<1时， 函数y＝log3(1－x)有意义， 所以函数y＝log3(1－x)的定义域为(－∞，1). (2)由log2x≠0，得x>0且x≠1. 所以函数y＝的定义域为{x|x>0且x≠1}． (3)由>0，得x<. 所以函数y＝log7的定义域为. 题型三　对数函数的图象问题 例3　(1)函数y＝x＋a与y＝logax的图象只可能是下图中的(　　) (2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则 f(log32)＝________； (3)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________． 学生用书第25页 [思路点拨]　(1)由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围． (2)依据loga1＝0，求定点坐标． (3)沿直线y＝1自左向右看，对数函数的底数由小变大． 答案：(1)C　(2)　(3)b>a>1>d>c 解析：(1)A中，由y＝x＋a的图象知a>1，而y＝logax为减函数，故A错误；B中，0<a<1，而y＝logax为增函数，故B错误；C中，0<a<1，且y＝logax为减函数，所以C正确；D中，a<0，而y＝logax无意义，故D错误．故选C. (2)依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3-2＋b＝－1，b＝－，故f(x)＝3x－，f(log32)＝3log32－＝2－＝. (3)由题干图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a>1，b>1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0<c<1，0<d<1.过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c. 解决对数函数图象问题的注意点 1．明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交． 2．建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1. 3．牢记特殊点．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1，0)，(a，1)和.　　 对点练3.(1)如图所示，曲线是对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象，已知a取，，，，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　) A.，，，　　　　　 B．，，， C．，，， D．，，， (2)函数y＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　) 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)方法一　作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1，C2，C3，C4对应的a值分别为，，， .故选A. 方法二　由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C1，C2，C3，C4，即，，，.故选A. (2)函数为偶函数，在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±1时y＝1.故选A. 1．给出下列函数： ①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx. 其中是对数函数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 解析：①②中，因为对数的真数不是只含有自变量x，所以不是对数函数；③中，因为对数的底数不是常数，所以不是对数函数；④是对数函数．故选A. 2．“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　) A．y＝log1.05x B．y＝log1.005x C．y＝log0.95x D．y＝log0.995x 答案：B 解析：由题意得x＝(1＋5‰)y＝1.005y，化为对数函数得y＝log1.005x.故选B. 3．函数y＝的定义域为________． 答案：(－1，＋∞) 解析：由得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞). 4．函数f(x)＝(m－1)logax(a>0，且a≠1)是对数函数，且过点(4，2)，则f(m)＝__________． 答案：1 解析：由题意m＝2，又2＝loga4，故a＝2，因此f(x)＝log2x.所以f(m)＝f(2)＝log22＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$