4 4.2.1 对数运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

4．2　对数与对数函数 知识层面 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．　2.理解对数的底数和真数的取值范围．　3.掌握对数的基本性质及对数恒等式． 素养层面 通过对数定义及相关概念的学习，培养数学抽象素养；通过对数性质的学习，培养数学运算素养． 4.2.1　对数运算 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，以此类推． 问题1.1个这样的细胞分裂5次得到多少个这样的细胞？ 提示：1个这样的细胞分裂5次得到25＝32个这样的细胞． 问题2.1个这样的细胞分裂多少次可得到16个这样的细胞？ 提示：设分裂x次，由2x＝16，得x＝4，即1个这样的细胞分裂4次可得到16个这样的细胞． 问题3.问题1与问题2的运算过程有何区别呢？ 提示：问题1是已知底数和指数求幂，问题2是已知底数和幂求指数． 知识点一　对数的概念 1．对数的定义 在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作 b＝logaN， 其中a称为对数的底数，N称为对数的真数． [微提醒]　为什么规定a>0且a≠1呢？ (1)若a<0，则当N为某些值时，b的值不存在．如：b＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则 ①当N≠0时，b的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在． ②当N＝0时，b可以是除零以外的任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则 ①当N≠1时，b的值不存在．如log13不存在． ②当N＝1时，b可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0且a≠1. 2．对数logaN(a>0且a≠1)的性质 (1)零和负数没有对数，即N>0． (2)1的对数为0，即loga1＝0． (3)底数的对数等于1，即logaa＝1． 学生用书第14页 (4)如果把ab＝N中的b写成logaN，则有alogaN＝N(对数恒等式)．如2log2＝，10log102＝2. (5)logaab＝b.因为ab＝N⇔logaN＝b，所以logaab＝b. [微提醒]　(1)上述性质(4)的作用是把任意一个正实数转化为以a为底数的指数形式． (2)上述性质(5)的作用是把任意一个实数转化为以a为底数的对数形式． (3)为什么零和负数没有对数？因为当a>0且a≠1时，b＝logaN的充要条件是ab＝N，而当a>0且a≠1时，ab恒大于0，即N>0，所以零和负数没有对数． 3．指数式与对数式的互化 [微提醒]　指数式ab＝N，根式＝a和对数式logaN＝b(N>0，a>0且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式．具体对应如下： 表达形式 a b N 对应的运算 ab＝N 底数 指数 幂 乘方，由a，b求N ＝a 方根 根指数 被开方数 开方，由N，b求a logaN＝b 底数 对数 真数 对数，由N，a求b 由此可知： (1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键． 知识点二　常用对数与自然对数 以10为底的对数称为常用对数，即log10N是常用对数．对了简便起见，常用对数的表示中，通常把底10略去不写，并把“log”写成“lg ”，即把log10N简写为lg N. 后续如果没有指出对数的底，则默认为指的都是常用对数．例如，“100的对数是2”，就是指“100的常用对数是2”． 在科学技术中，常常还使用以无理数e＝2.718 28…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，自然对数logeN通常简写为ln N． 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数； (2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以10为底的对数叫做自然对数； (4)以e为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N⇔x＝logaN，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确． 2．将＝9写成对数式，正确的是(　　) A．log9＝－2 B．log9＝－2 C．log(－2)＝9 D．log9(－2)＝ 答案：B 解析：根据对数的定义，得log9＝－2.故选B. 3．若loga2b＝c，则(　　) A．a2b＝c B．a2c＝b C．bc＝2a D．c2a＝b 答案：B 解析：loga2b＝c⇔(a2)c＝b⇔a2c＝b.故选B. 4．方程2log3x＝的解是(　　) A． B． C． D．9 答案：A 解析：由2log3x＝，得2log3x＝2-2，所以log3x＝－2，所以x＝3-2＝.故选A. 5．下列各式： ①lg (lg 10)＝0； ②lg (ln e)＝0； ③若10＝lg x，则x＝10； ④由log25x＝，得x＝±5. 其中，正确的是________．(把正确的序号都填上) 答案：①② 解析：因为lg 10＝1，所以lg (lg 10)＝lg 1＝0，①正确；因为ln e＝1，所以lg (ln e)＝lg 1＝0，②正确；若10＝lg x，则x＝1010，③错误；由log25x＝，得x＝25＝5，④错误． 学生用书第15页 题型一　指数式与对数式互化 例1　把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)54＝625；(2)2-6＝；(3)＝5.73； (4)log16＝－4；(5)lg 0.01＝－2；(6)ln 10＝2.303. [思路点拨]　指数式与对数式的互化依据对数的定义． 解：(1)log5625＝4.(2)log2＝－6.(3)log5.73＝m.(4)＝16.(5)10-2＝0.01.(6)e2.303＝10. 指数式与对数式互化的思路 1．指数式化为对数式 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． 2．对数式化为指数式 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．　　 对点练1.将下列指数式与对数式互化： (1)log216＝4；　 (2)log27＝－3； (3)logx＝6; (4)43＝64； (5)3-2＝； (6)＝16. 解：(1)24＝16.(2)＝27.(3)()6＝x. (4)log464＝3.(5)log3＝－2.(6)log16＝－2. 题型二　对数基本性质的应用 例2　求下列各式中的x的值： (1)log2(log3x)＝0； (2)log5(log2x)＝1； (3)log(＋1)＝x. [思路点拨]　利用性质logaa＝1，loga1＝0求值． 解：(1)因为log2(log3x)＝0， 所以log3x＝1，所以x＝3. (2)因为log5(log2x)＝1， 所以log2x＝5， 所以x＝25＝32. (3)＝＝＋1， 所以log(＋1)＝log(＋1)(＋1)＝1， 所以x＝1. 利用对数性质求值的方法 1．求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值． 2．已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．　　 学生用书第16页 对点练2.求下列各式中x的值： (1)log3(log2x)＝0； (2)log2(lg x)＝1； (3)log7[log3(log2x)]＝0. 解：(1)因为log3(log2x)＝0，所以log2x＝1. 所以x＝21＝2. (2)因为log2(lg x)＝1，所以lg x＝2.所以x＝102＝100. (3)因为log7[log3(log2x)]＝0， 所以log3(log2x)＝1， 所以log2x＝3， 所以x＝23＝8. 题型三　对数恒等式alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)的应用 例3　求下列各式的值： (1)2log23＋3log32； (2) ； (3)101+lg 2； (4)e-1+ln 3. [思路点拨]　化成alogaN＝N形式，再求值． 解：(1)因为2log23＝3，3log32＝2， 所以原式＝3＋2＝5. (2)原式＝22×＝4×＝. (3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20. (4)原式＝e-1×eln 3＝×3＝. 利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为alogaN的形式．　　 对点练3.计算： (2)31－log32＝________． 答案：(1)4　(2) 解析：(1) (2)原式＝3×(3log32)-1＝3×2-1＝. 1．log3等于(　　) A．4 B．－4 C． D．－ 答案：B 解析：因为3-4＝，所以log3＝log33-4＝－4.故选B. 2．若x＝log16，则x等于(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 答案：A 解析：由＝16知x＝－4.故选A. 3．(多选)有以下四个结论，其中正确的是(　　) A．lg (lg 10)＝0 B．lg (ln e)＝0 C．若e＝ln x，则x＝e2 D．ln (lg 1)＝0 答案：AB 解析：因为lg 10＝ln e＝1，lg 1＝0，所以A，B均正确；C中若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；D中lg 1＝0，而ln 0没有意义，故D错误．故选AB. 4．计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝________． 答案：0 解析：原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$