4.2.1对数运算（同步课件）数学人教B版2019必修第二册

4.2 对数与对数函数 4.2.1 对数运算 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 情境引入 情境与问题： (1)地震的里氏震级是根据最大振幅计算出来的.2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级.震级相差0.2，最大振幅之间具有什么关系？ (2)化学学科中，我们用表示溶液的酸碱性，是由(即溶液中的浓度)决定的.和的两种溶液，它们的有什么关系？ 上述情境中两个问题的答案，都与对数知识有关. 新知探索 在关系式中，以或为未知数的方程，我们都已经接触过，例如 ，等，本小节要研究为未知数的情形，即求解类似的方程. 因为，所以一定是的实数根，再由是一个增函数可知有唯一的实数解. 尝试与发现：(1)说出的一个实数根. (2)判断方程的实数根的个数，并说明理由. 新知探索 我们已经知道，当且时，指数函数是定义域为，值域为的单调函数，这就意味着，如图所示，任意给定，存在唯一的，使得. 因此，在表达式(且，)中，当与确定之后，只有唯一的能满足这个式子，此时，幂指数称为以为底的对数，记作，其中称为对数的底数，称为对数的真数. 新知探索 例如，由前面的尝试与发现可知，因为，所以. 由上可以看出，当且时，的充要条件是.由此可知，只有时，才有意义，这通常简称为“负数和零没有对数”. 根据对数的定义，我们可以得到指对互换的关系： 由指数与对数互换的关系式，我们可以得到关于对数的如下结论： ①负数和没有对数； ②，. 新知探索 我们可以举出更多对数的例子： 因为，所以是以为底的对数，即，即 ， 另外， ， ， ， . 例题 例1 已知且，求与的值. 解：因为，，所以，. 例1的结论可以简述为“的对数为”“底的对数为”. 由上可知，指数表达式与对数表达式实际上表示的是同一数量关系，如果把对数表达式中的代入指数表达式，则可得； 类似地，如果把指数表达式中的代入对数表达式，则有__________. 例如，______，_______. 例题 例2 求下列各式的值： (1)；(2)；(3). 解(1)：因为，所以. (2)：因为，所以. (3)：因为，所以. 新知探索 以为底的对数称为常用对数，即是常用对数.为了简便起见，常用对数的表示中，通常把底略去不写，并把“”写成“”，即把简写为. 后续如果没有指出对数的底，则默认为指的都是常用对数.例如，“的对数是”，就是指“的常用对数是”. 在科学技术中，常常还使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，自然对数通常简写为. 例题 例3 求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4). 解(1)：因为，所以. (2)：因为，所以. (3)：因为，所以. (4)：因为，所以. 例题 例4 已知，求的值. 解：由可得，，所以 ， 所以. 新知探索 常用对数与自然对数的值，可以通过科学计算器和计算机软件求得. 下图(1)是某种特定型号计算器上的常用对数和自然对数按钮，图(2)显示的是用计算和的结果. 下面我们来给出本小节情境与问题中里氏震级问题的答案. 新知探索 里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅.用和分别表示震级为和的最大振幅，则有 ，，从而，，因此 ，即. 情境中与有关的问题可用类似的方法解决，留作练习. 练习 题型：指对互换 例1.把下列的指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 解： (2) (3); 10. 例析 变1.求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4). 解：(1)∵，∴ . (2)∵，∴. (3)∵，∴. (4)∵，∴，∴. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)对数的概念； (2)指对互换. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P19的练习，练习； (3)课本P29的习题的第1题. 谢谢学习 Thank you for learning $$