3 4.1.2 第2课时 指数函数的图象与性质-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

第2课时　指数函数的图象与性质 1．(多选)下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝－　　　　　　　 B．y＝|x| C．y＝2x D．y＝x3 答案：AD 解析：y＝－是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增，所以A正确；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C、D项显然正确． 2．下列判断正确的是(　　) A．1.51.5>1.52 B．0.52<0.53 C．e2<e D．0.90.2>0.90.5 答案：D 解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5>0.2，所以0.90.2>0.90.5.故选D. 3．已知y1＝，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为(　　) 答案：A 解析：方法一　y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝与y3＝10－x＝单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A. 方法二　y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，故选A. 4．已知指数函数f(x)＝(2a－1)x在(－∞，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是______________________________． 答案：(1，＋∞) 解析：因为指数函数f(x)＝(2a－1)x在(－∞，＋∞)内是增函数，所以2a－1＞1，所以a＞1，所以实数a的取值范围为(1，＋∞). 5．已知函数f(x)＝4＋ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 答案：(1，5) 解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(1，5). 题型一　指数函数的图象问题 例1　(1)如图所示是下列指数函数的图象： ①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx. 则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c (2)当a>0且a≠1时，函数f(x)＝ax-3－2必过定点________．　 [思路点拨]　(1)先由a>1，0<a<1，两个角度来判断函数的单调性，确定函数图象． (2)由y＝ax过定点(0，1)来求f(x)过定点． 答案：(1)B　(2)(3，－1) 解析：(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小．由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴．故选B. (2)当a>0且a≠1时，总有f(3)＝a3-3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax-3－2必过定点(3，－1). 指数函数的图象随底数变化的规律 1．无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． 2．指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．　　 对点练1.(1)已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是(　　) (2)若a>1，－1<b<0，则函数y＝ax＋b的图象一定在(　　) A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)由1>n>m>0可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，再由n>m可知应选C. (2)因为a>1，且－1<b<0，故其图象如下图所示． 题型二　利用指数的单调性比较大小 例2　比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5，1.73； (2)0.8－，0.8－； (3)1.70.3，0.93.1. 学生用书第11页 [思路点拨]　当底数相同时，利用指数函数的单调性比较大小．当底数不同时，一般找中间量比较大小． 解：(1)1.72.5和1.73可看作函数y＝1.7x，当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值． 因为底数1.7>1， 所以指数函数y＝1.7x是增函数． 因为2.5<3，所以1.72.5<1.73. (2)同(1)题，因为0<0.8<1， 所以指数函数y＝0.8x是减函数． 因为－>－，所以0.8－<0.8－. (3)由指数函数的性质知1.70.3>1.70＝1， 0．93.1<0.90＝1， 所以1.70.3>0.93.1. 1．由例题可以看到，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系． 2．比较幂值大小的三种类型及处理方法 　　 对点练2.比较下列各组值的大小： (1)1.8-0.1与1.8-0.2； (2)1.90.3与0.73.1； (3)a1.3与a2.5(a>0，且a≠1). 解：(1)由于1.8>1，所以指数函数y＝1.8x在R上为增函数，所以1.8-0.1>1.8-0.2. (2)因为1.90.3>1，0.73.1<1，所以1.90.3>0.73.1. (3)当a>1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3<a2.5， 当0<a<1时，函数y＝ax是减函数，此时a1.3>a2.5. 故当0<a<1时，a1.3>a2.5，当a>1时，a1.3<a2.5. 题型三　解简单的指数不等式 例3　(1)不等式3x-2>1的解集为________； (2)若ax+1>(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． [思路点拨]　首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围． 答案：(1)(2，＋∞) 解析：(1)3x-2>1⇒3x-2>30⇒x－2>0⇒x>2，所以解集为(2，＋∞). (2)因为ax+1>，所以当a>1时，y＝ax为增函数，可得x＋1>3x－5，所以x<3. 当0<a<1时，y＝ax为减函数，可得x＋1<3x－5，所以x>3. 综上，当a>1时，x的取值范围为(－∞，3)， 当0<a<1时，x的取值范围为(3，＋∞). 解指数不等式应注意的问题 1．形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； 2．形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．　　 对点练3.(1)解不等式≤3； (2)已知(a2＋2a＋3)x>(a2＋2a＋3)1-x，求x的取值范围． 解：(1)＝(3-1)＝32－x2， 所以原不等式等价于32－x2≤3. 因为y＝3x是R上的增函数，所以2－x2≤1. 所以x2≥1，即x≥1或x≤－1. 所以原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}． (2)因为a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>1， 所以y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数． 所以x>1－x，解得x>. 所以x的取值范围为. 学生用书第12页 题型四　指数函数性质的综合应用 例4　已知函数f(x)＝a－(x∈R). (1)用定义证明：不论a为何实数， f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； (2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1，5]上的最小值． [思路点拨]　(1)用定义法证明函数的单调性需4步：①取值；②作差变形；③定号；④结论． (2)先由f(x)为奇函数求a，再由单调性求最小值． 解：(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝. 因为x1<x2. 所以2x1－2x2<0， 又(1＋2x1)(1＋2x2)>0. 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). 所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)因为f(x)在x∈R上为奇函数， 所以f(0)＝0， 即a－＝0，解得a＝. 所以f(x)＝－， 由(1)知，f(x)为增函数， 所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为f(1). 因为f(1)＝－＝， 所以f(x)在区间[1，5]上的最小值为. 1．求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的含义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数； 2．若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．　　 对点练4.已知函数f(x)＝a3-ax(a>0且a≠1). (1)当a＝2时，f(x)<4，求x的取值范围； (2)若f(x)在[0，1]上的最小值大于1，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝23-2x<4＝22， 由3－2x<2，得x>. 故x的取值范围为. (2)y＝3－ax在定义域内单调递减， 当a>1时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝a3-a>1＝a0，得1<a<3. 当0<a<1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝a3>1，不成立． 综上：实数a的取值范围为(1，3). 1．函数y＝2|x|的图象是(　　 ) 答案：B 解析：y＝2|x|＝故选B. 2．函数f(x)＝3－ax+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(　　 ) A．(－1，2)　　　　　　 B．(1，2) C．(－1，1) D．(0，2) 答案：A 解析：因为y＝ax的图象恒过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(－1)＝2.故f(x)＝3－ax+1的图象恒过定点(－1，2).故选A. 3．已知a＝20.2，b＝0.33，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 答案：C 解析：因为y＝0.3x在R上是减函数，3>0.2>0，所以0.33<0.30.2<0.30＝1，又20.2>20＝1，所以b<c<a.故选C. 4．若()2a+1<()8-2a，则实数a的取值范围是________． 答案：(，＋∞) 解析：因为函数y＝()x在R上为减函数，且()2a+1<()8-2a，所以2a＋1>8－2a，即4a>7，所以a>. 学科网（北京）股份有限公司 $$