1 4.1.1 实数指数幂及其运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

4．1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 知识层面 1.通过类比平方根与立方根的概念，掌握n次方根的概念和性质，进而学习根式的性质．　2.掌握根式与分数指数幂的互化．　3.掌握有理数指数幂的运算性质． 素养层面 通过根式与分数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养；通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养． 问题1.由32＝9和(－3)2＝9我们可得到9的平方根是什么？由53＝125以及(－3)3＝－27我们可以得到125和－27的立方根分别是什么？ 提示：9的平方根是3和－3，125的立方根是5，－27的立方根是－3. 问题2.类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？ 提示：比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根． 问题3.观察下列各式，你能得出什么结论？ ① ＝＝22＝2； ② ＝＝44＝4. 提示：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 问题4.类比问题3的规律，你能表示下列式子吗？ ，，，. 提示：＝a，＝3，＝b，＝a. 知识点一　有理指数幂 1．整数指数幂 整数 指数 幂 正整数指数幂 规定 (n∈N＋)为正整数指数幂． 零指数幂 规定a0＝1(a≠0)为零指数幂． 负整数指数幂 规定a－n＝(a≠0，n∈N＋)为负整数指数幂． 运算法则 若m，n是整数，则有aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)m＝ambm. 学生用书第2页 2.n次方根、根式的定义与性质 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． 性质 ①0的任意正整数次方根均为0，记为＝0. ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为，负的方根记为－. 注意：负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a<0且n为偶数时，在实数范围内没有意义． ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为.而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． (2)根式的定义与性质 定义 当有意义时，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． 性质 ①()n＝a(n∈N＋，且n>1)； ②＝ 3.分数指数幂 分数指数幂 正分数指数幂 当a＞0时，规定a＝ a＝()m＝(n，m∈N＋，且为既约分数). 负分数指数幂 当a＞0时，规定a－＝(n，m∈N＋). 运算法则 一般情况下，当s与t都是有理数时，有asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs. [微提醒]　(1)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)式子a＝()m＝在不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义．例如，(－8)＝是有意义的，而(－8)＝()2是没有意义的．因此，以后如果没有特别说明，一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数． 知识点二　实数指数幂 1．无理指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数，有理指数幂的运算法则同样适用于无理指数幂． 说明：0的正无理指数幂为0，0的负无理指数幂没有意义． 2．实数指数幂 一般地，当a>0且t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义，至此，指数幂中的指数从整数拓展到了实数．对于任意实数s，t，有理指数幂的运算法则也适用于实数指数幂． 1．将 化为分数指数幂，其形式是(　　) A．2　　　B．－2　　　C．2－　　　D．－2－ 答案：B 解析：＝(－2)＝(－2×2)＝(－2)＝－2. 2．b4＝3(b>0)，则b等于(　　) A．34 B．3 C．43 D．35 答案：B 解析：因为b4＝3(b>0)，所以b＝＝3. 3．(多选)下列各式正确的是(　　) A．＝3 B．＝a C．()3＝－2 D．＝2 答案：AC 解析：由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项B、D错误，故选AC. 4．(多选)下列运算结果中，一定正确的是(　　) A．a3×a4＝a7 B．(－a2)3＝a6 C．3a3＋2a3＝5a6 D．＝－π 答案：AD 解析：对于A，a3×a4＝a7，故A正确；对于B，(－a2)3＝－a6，故B错误； 对于C，3a3＋2a3＝5a3，故C错误；对于D，＝－π，故D正确．故选AD. 5.的值是________． 答案： 解析：＝＝＝＝＝. 学生用书第3页 题型一　利用根式的性质化简求值 例1　(1)下列各式正确的是(　　) A．＝a B．a0＝1 C．＝－4 D．＝－5 (2)计算下列各式： ① ＝________； ② ＝________． [思路点拨]　首先确定式子中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果． 答案：(1)D　(2)①－a　②π－3 解析：(1)由于＝则选项A、C排除，D正确，B需要加条件a≠0. (2)① ＝－a.② ＝＝π－3. 根式化简或求值的策略 1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．　　 对点练1.化简下列各式： (1)(n>1，且n∈N＋)； (2). 解：(1)当n为奇数时，＝3－π； 当n为偶数时，＝|3－π|＝π－3. (2)＝|x－y|. 当x≥y时，＝x－y； 当x<y时，＝y－x. 题型二　根式与分数指数幂的互化 例2　(1)将分数指数幂a－(a>0)化为根式为________； (2)化简：(a2·)÷(·)＝________．(用分数指数幂表示)； (3)将下列根式与分数指数幂进行互化： ①a3·；② (a>0，b>0). [思路点拨]　利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂． 答案：(1)　(2)a 解析：(1)a－＝＝. (2)(a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a－＝a. (3)①a3·＝a3·a＝a3+＝a. ②＝＝＝＝a－b. 根式与分数指数幂互化的方法及思路 1．方法：根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． 2．思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． [注意]　如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出． 对点练2.化简()4·()4的结果是(　　) A．a16　　　　　　　　 B．a8 C．a4 D．a2 答案：C 解析：()4·()4＝()·()＝(a)·(a)＝a×·a×＝a4.故选C. 学生用书第4页 题型三　分数指数幂的运算与化简 例3　计算下列各式(式中字母均是正数)： (1)÷； (2)； (3)(－)÷. [思路点拨]　利用分数指数幂的运算法则进行化简，直至计算出最终结果． 解：(1)÷ ＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－＝4ab0＝4a. (2)＝＝m2n-3＝. (3)(－)÷＝(a－a)÷a＝a÷a－a÷a＝a－－a－＝a－a＝－a. 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． 3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．　　 对点练3.计算下列各式： (1)0.064－－＋[(－2)3]－＋16-0.75； (2)－(－9.6)0－＋(－1.5)-2； (3)＋0.002－－10(－2)-1＋(－)0. 解：(1)原式＝0.4-1－1＋(－2)-4＋2-3＝－1＋＋＝. (2)原式＝－1－＋＝－1－＋＝. (3)原式＝(－1)－·＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. 1.的值是(　　) A．3　　　　　　　　 B．－3 C．±3 D．81 答案：A 解析：＝|－3|＝3，故选A. 2．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是(　　) A．－＝(－x) B．x－＝－ C．()－＝(xy>0) D．＝x (x<0) 答案：C 解析：由于－＝－x，x－＝，＝(－x) (x<0).所以选项A、B、D不正确．故选C. 3．2·5＝(　　) A．103　　　B．10 C．310　　　D．7 答案：B 解析：2·5＝(2×5) ＝10.故选B. 4．2 0240＋2-2×－(0.01)＝________． 答案： 解析：原式＝1＋×－＝. 学生用书第5页 微专题(一)　条件求值问题 1．(多选)已知a＋a-1＝3，则下列选项中正确的有(　　) A．a2＋a-2＝7 B．a3＋a-3＝16 C．a＋a＝ D．a＋a＝2 答案：ACD 解析：因为a＋＝3，所以a2＋a-2＝(a＋)2－2＝32－2＝7，因此A正确；a3＋a-3＝(a＋a-1)(a2＋a-2－1)＝3×(7－1)＝18，因此B不正确；因为(a＋a)2＝a＋a-1＋2＝3＋2＝5，a>0，解得a＋a＝，因此C正确；因为a＋＝(a＋a-1)(a＋a)－(a＋a)＝3－＝2，因此D正确． 解决此类题目时，先将所求的式子化简，再将已知条件代入．在化简过程中，要注意立方差公式及完全平方公式的灵活应用．　　 2．(1)已知x＝，y＝，求－的值； (2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两实数根，且a>b>0，求的值． [思路点拨]　若直接代入求解比较烦琐，可以先化简再求值． (1)先将分母有理化，再将已知条件代入求值．(2)先将要求的式子平方，然后化成易于将条件代入的式子，最后求得结果． 解：(1)－＝－＝. 因为x＝，y＝， 所以原式＝＝＝－24＝－8. (2)因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两实数根， 所以 因为a>b>0，所以>. 又＝＝＝， 所以＝＝. 解决条件求值问题的一般方法——整体代入法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．另外，利用“整体代入法”求值时也常用到乘法公式及其变形公式．　　 学科网（北京）股份有限公司 $$