精品解析：四川省泸州市合江少岷初中2024-2025学年八年级下学期开学考试数学试题

合江少岷初中2025年春期入学监测定时作业 八年级数学学科作业单 全卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页 全卷满分120分 完成时间120分钟 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是( ） A. x3·x2＝x6 B. (2x)2＝2x2 C. ＝x6 D. 5x－x＝4 4. 已知一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 6，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 12或 15 D. 13 或 14 5. 把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 不能确定 6. 如果一个多边形的内角和等于一个五边形的外角和，那么这个多边形是（　　） A. 四边形 B. 五边形 C. 十边形 D. 三角形 7. 如图，点E，F分别在线段BC上，AB∥CD，AE∥DF，那么添加下列条件还不能判定△ABE≌△DCF的是( ) A. B. C. D. 8. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9. 若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为（　　） A. 3 B. ±6 C. 6 D. +3 10. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. B. C. D. 11. 关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 且 12. 如图，在中，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④． 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要使分式有意义，则x的取值范围为_______． 14. 因式分解：________． 15. 如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为______°． 16. 如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是________ 三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 已知：如图，C是线段AB的中点，∠A=∠B，∠ACE=∠BCD． 求证：AD=BE． 四、解答题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 20. 解方程：． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于y轴对称的的各顶点坐标； （2）请画出关于x轴对称的； （3）在x轴上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，并写出点P坐标． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 某网店销售甲、乙两种茶具套装，甲种茶具套装的单价比乙种茶具套装的单价少30元，花1500元购进甲种茶具套装的数量是花900元购进乙种茶具套装数量的2倍． （1）求甲、乙两种茶具套装的单价； （2）某茶社准备在该网店购买甲、乙两种茶具套装共10套，花费不超过1600元，则该茶社最多可以购买多少套乙种茶具？ 23. 已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，． （1）求证：； （2）求证：． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24. 观察下列分解因式的过程：． 解：原式= 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． （1）请你运用上述配方法分解因式：； （2）代数式是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由． 25. 如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． （1）当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江少岷初中2025年春期入学监测定时作业 八年级数学学科作业单 全卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页 全卷满分120分 完成时间120分钟 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选A． 2. 冬季是呼吸道疾病的高发季节，肺炎支原体和流感容易交叉感染，其中支原体是一种类似细菌但不具有细胞壁的原核微生物，它的直径约为米，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列计算正确的是( ） A. x3·x2＝x6 B. (2x)2＝2x2 C. ＝x6 D. 5x－x＝4 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可． 【详解】解：A、，故原题计算错误； B、，故原题计算错误； C、＝x6，故原题计算正确； D、5x−x＝4x，故原题计算错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了合并同类项、积的乘方、幂的乘方，关键是掌握各计算法则． 4. 已知一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 6，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 12或 15 D. 13 或 14 【答案】B 【解析】 【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可． 【详解】解：当腰为3时，3+3=6， ∴3、3、6不能组成三角形； 当腰为6时，3+6=9＞6， ∴3、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为=3+6+6=15． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键． 5. 把分式中的都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】将原分式中的x、y换成、，再根据分式的基本性质化简，与原分式比较即可． 【详解】解：∵， ∴把分式中的都扩大3倍，分式的值扩大3倍， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答的关键． 6. 如果一个多边形的内角和等于一个五边形的外角和，那么这个多边形是（　　） A. 四边形 B. 五边形 C. 十边形 D. 三角形 【答案】A 【解析】 【分析】任何多边形的外角和是360度，n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得： （n-2）•180=360， 解得：n=4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决，难度适中． 7. 如图，点E，F分别在线段BC上，AB∥CD，AE∥DF，那么添加下列条件还不能判定△ABE≌△DCF的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两组平行得到两组角相等，再添加一组边即可证明三角形全等，依此得到答案. 【详解】∵AB∥CD， ∴∠B=∠C, ∵AE∥DF， ∴∠AEB=∠DFC, 若△ABE≌△DCF，只能添加一组边相等，故B选项不能判定，通过证明A、C、D选项均正确， 故选：B. 【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，熟记定理即可正确解答. 8. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，判断即可． 【详解】∵不是因式分解， ∴A不合题意； ∵不是因式分解， ∴B不合题意； ∵不是因式分解， ∴C不合题意； ∵是因式分解， ∴D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个因式的积的形式，正确理解定义是解题的关键． 9. 若x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为（　　） A. 3 B. ±6 C. 6 D. +3 【答案】B 【解析】 【详解】∵x2−kxy+9y2是完全平方式， ∴−kxy=±2×3y⋅x， 解得k=±6． 故选B． 10. 如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等，三角形的面积公式等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．作于，如图，根据角平分线性质定理得到，再利用三角形面积公式和得到，然后解一次方程即可． 【详解】作于F，如图， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 11. 关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，以及分式方程有意义的条件，解分式方程得出，根据分式方程有意义的条件可得出，即，根据分式方程的解为负数可得出，即可求出的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 则，且，即 又∵ ∴，且 ∴且． 故选：D． 12. 如图，在中，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④． 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线， ， 的面积等于的面积，故正确； ，是的高， ∴，， 是的角平分线， ∴， ， 又， ，故正确； ∵， ， ∵， ∴，故正确； ∵， ∴，故正确； 综上分析可知，正确的有①②③④，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线，余角的性质，三角形面积的计算，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 要使分式有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义，则要求分式分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴，即． 故答案为：． 14. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了提公因式法与公式法；先提取公因式5，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质．利用等腰三角形的两个底角相等的性质、已知条件“，”，根据全等三角形的判定定理推知；由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求得；然后根据全等三角形对应角相等得、三角形的外角性质、等量代换求得． 【详解】解：， ， 在与中， ， ． ． ， ． ， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是________ 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短知，，其值最小， 所以的最小值即为的长， 所以的最小值为6． 故答案为：6． 三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含有零指数幂和负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键． 先计算负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方，再进行加减计算． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的混合运算．先计算括号内的减法，再计算分式的除法即可． 【详解】解： 19. 已知：如图，C是线段AB的中点，∠A=∠B，∠ACE=∠BCD． 求证：AD=BE． 【答案】 证明：∵C是线段AB的中点, ∴AC=BC, ∵∠ACE=∠BCD, ∴∠ACD=∠BCE, 在△ADC和△BEC中, , ∴△ADC△BEC（ASA） ∴AD=BE． 【解析】 【详解】试题分析：利用∠DCE是∠DCA和∠ECB的公共角，得∠DCA=∠DCA， 再证明△ADC△BEC即可. 试题分析：略 点睛： （1）含公共边型 如图1所示，在△ABC和△EFD，AD=FC，AB=FE，BC=DE．说明△ABC≌△FED的理由． 由图形可知，AD+DC=AC，FC+DC=FD，所以AC=FD，再根据SSS可以说明两个三角形全等． （2）含公共角型 如图2所示，D、E是△ABC中BC边上的点，AD=AE，∠DAC=∠EAB,AB=AC，说明△ABD≌△ACE. 由图可知，∠DAC=∠EAB,∠1+∠DAE=∠2+∠DAE, ∠1 =∠2,再根据SAS可以证明两个三角形全等. 四、解答题（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 20. 解方程：． 【答案】方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握运算法则是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，再检验即可． 【详解】解： ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请写出关于y轴对称的的各顶点坐标； （2）请画出关于x轴对称的； （3）在x轴上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，并写出点P坐标． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此可得答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接，与x轴交于点P，连接，此时点P到A、B两点的距离和最小，即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图， 的即为所求， ，，； 【小问2详解】 解：如图， 即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求， ． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 某网店销售甲、乙两种茶具套装，甲种茶具套装的单价比乙种茶具套装的单价少30元，花1500元购进甲种茶具套装的数量是花900元购进乙种茶具套装数量的2倍． （1）求甲、乙两种茶具套装的单价； （2）某茶社准备在该网店购买甲、乙两种茶具套装共10套，花费不超过1600元，则该茶社最多可以购买多少套乙种茶具？ 【答案】（1）甲种茶具的单价为150元/套，乙种茶具的单价为180元/套 （2）该茶社最多可以购买3套乙种茶具 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲种茶具的单价为x元/套，则乙种茶具的单价为元/套，由花1500元购进甲种茶具套装的数量是花900元购进乙种茶具套装数量的2倍建立方程求解； （2）设该茶社购买a套乙种茶具，则购买套甲种茶具，根据花费不超过1600元建立一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设甲种茶具的单价为x元/套，则乙种茶具的单价为元/套，根据题意得， ， 方程两边乘，得， 解得， 检验：当时，，所以，原分式方程的解为， 元/套， 答：甲种茶具的单价为150元/套，乙种茶具的单价为180元/套； 【小问2详解】 解：设该茶社购买a套乙种茶具，则购买套甲种茶具，根据题意得， ， 解得， ∵a为整数，∴a的最大值为3， 答：该茶社最多可以购买3套乙种茶具． 23. 已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（HL）． （2） ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定定理HL证得结论即可； （2）结合（1）中全等三角形的对应边相等得到DC=DH，结合直角三角形斜边中线性质得到，然后证明是等边三角形，推出，根据得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24. 观察下列分解因式的过程：． 解：原式= 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． （1）请你运用上述配方法分解因式：； （2）代数式是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）（a-b）（a+5b）；（2）存在最小值，当a=-1，b=3时，最小值为2． 【解析】 【分析】(1)理解题意，按题意所给方法分解因式即可； (2)根据题中所给方法，对原式进行变形求解即可． 【详解】解：(1) ， ， ， ， ； （2）代数式， =a2+2a+1+b2-6b+9-1-9+12， =， ， ∴当，b-3=0即，b=3时原式有最小值，最小值是2． 【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，掌握因式分解的方法，正确理解问题情境是解题关键． 25. 如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E． （1）当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】（1）；；小 （2）当时， （3）可以；的度数为或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； 【小问2详解】 解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又，， ； 【小问3详解】 解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $