回顾与思考(1) 三角形的证明-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

回顾与思考（一） 三角形的证明 01考点针对练 且CA=CB.若∠1=32°，则∠2的度数为 D考点1全等三角形 1.(2023·长沙)如图，AB=AC,CD⊥AB, BE⊥AC,垂足分别为D,E. (1)求证：△ABE≌△ACD. (2)若AE=6,CD=8,求BD的长. B 第4题图 第5题图 5.(2023·新疆)如图，在△ABC中，若AB=AC, AD=BD,∠CAD=24°，则∠C= 6.(2024·自贡改编)如图，等边三 角形ABC钢架的立柱CD⊥AB 于点D,AB长12m现将钢架立 柱缩短成DE,使∠BED=60°， 则新钢架减少用钢 m. 7.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中 点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连 接EF. D考点2等腰三角形 (1)求证：△DEF为等腰三角形 2.对于问题：如图1，已知∠AOB,只用直尺和圆 (2)填空： 规判断∠AOB是否为直角.小意同学的方法 ①当∠B的度数为 时，△DEF为 如图2：在OA,OB上分别取C,D,以点C为 等边三角形， 圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长 ②当∠B的度数为 时，△DEF为 线于点E.若测得OE=OD,则∠AOB=90°. 直角三角形. 则小意同学判断的依据是 () E 0 D B 图1 图2 A.垂线段最短 B.等腰三角形“三线合一” C.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 考点3直角三角形 点的距离相等 8.(2023·衢州)如图，这是脊柱侧弯的检测示 D.等腰三角形的两个底角相等 意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大 3.若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角 小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与 为60°，则这个三角形一定是 () ∠O相等的角是 ( A.直角三角形 A.∠BEA 凸面 四面 B.等腰直角三角形 B.∠DEB 宽 头宽当Cobb角>10°为脊柱侧弯 C.∠ECA宽 B C.等边三角形 D.上述三种情形都有可能 D.∠ADO宽 obb角 4.(2023·内蒙古)如图，直线a∥b,直线l分别 宽 与直线a,b相交于点A,B,点C在直线b上， 名拉增 27 9.(2023·宁夏)将一副直角三角板和一把宽度 为2cm的直尺按如图所示的方式摆放，先把 60°角和45°角的顶点及它们的直角边重合，再 将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点 落在直尺的下沿上，这两个三角板的斜边分 第13题图 第14题图 别交直尺的上沿于A,B两点，则线段AB的 14.(2024·南充)如图，在Rt△ABC中，∠C 长是 ) 90°，∠B=30°，BC=6,AD平分∠CAB交 A.(2-√3)cm BC于点D,E为边AB上一点，则线段DE B.(2√3-2)cm 长度的最小值为 () B C.2 cm A.√2 B.√3 C.2 D.3 D.2√3cm 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. 10.(2023·大连)如图，在平面直角坐标系中， (1)请用无刻度的直尺和圆规作出斜边AB 点A,B的坐标分别为(1,0)和(0,2)，连接 的垂直平分线MN(保留作图痕迹，不写 AB,以点A为圆心，AB的长为半径画弧，与 作法). x轴正半轴相交于点C,则点C的横坐标是 (2)设(1)中的MN分别交AC,AB于点D, E.若AD=6,∠ABC=60°，求BC的长. 第10题图 第11题图 11.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6, ∠A=60°，BC=10,CD=8,则∠ADC的度 数为 12.如图，AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°，EF 过点C,BE⊥EF于点E,DF⊥EF于点F, BE=DF.求证：CE=CF 02核心素养提升练 16.(2024·大庆)如图1，直角三角形的两个锐 角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正 方形.执行下面的操作：由两个小正方形向 外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再 分别以所得到的直角三角形的直角边为边 长作正方形.图2是1次操作后的图形.图3 是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们 把它称为“毕达哥拉斯树”.若图1中的直角 三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所 有正方形的面积和为 考点4线段的垂直平分线和角平分线 13.(2023·锦州)如图，在△ABC中，BC的垂直 平分线交BC于点D,交AB于点E,连接 CE.若CE=CA,∠ACE=40°，则∠B的度 数为 图 图2 图3 28 名陵深经·数学1·八年最下，西 新课标·新情境·新题型·引领训练 D类型1数学文化 方向平移，使得端点M与点B重合，端点 1.(2024·眉山)图1是北京国际数学家大会的 N在CB延长线上的落点记为点D; 会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦 ④用另一根足够长的木条画线，连接AD, 图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1 AC,则画出的∠DAC是直角 中大正方形的面积为24，小正方形的面积为 操作体验：(1)根据“观察发现”中的信息重现 4,现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中 刘师傅的画法.如图2，BA=BC.请画出以A 大正方形的面积为 为顶点的直角，记作∠DAC 推理论证：(2)如图1，小亮尝试揭示此操作的 数学原理，请补全括号里的证明依据： 证明：AB=BC=BD, ∴.△ABC与△ABD是等腰三角形 图1 图2 ∴.∠BCA=∠BAC,∠BDA=∠BAD.(依据1) A.24 B.36 C.40 D.44 .∠BCA+∠BDA=∠BAC+∠BAD= 类型2综合与实践 ∠DAC 2.数学创新小队制作简易工具来测量物体表面 :∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°，（依据2） 的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量 .2∠DAC=180 角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的 ∴.∠DAC=90°. 90°刻度线与三角板的斜边平行，将用细线和 依据1： 铅垂做成的铅垂线顶端固定在量角器中心点 依据2： O处.如图所示，现将三角板底边紧贴被测物 拓展探究：(3)小亮进一步研究发现，用这种 体表面，保持三角板与被测物体的截面在同 方法作直角存在一定的误差，用平时学习的 一平面.若被测物体的截面为△ABC(AC平 尺规作图的方法可以减少误差.如图3，点O 行于水平面)，此时铅垂线（图中箭头所在的 在直线↓上，请用无刻度的直尺和圆规在图3 线)在量角器上对应的刻度为28°，则倾斜角 中作出一个以O为顶点的直角，记作∠POQ, ∠BAC的度数是 使得直角边OP(或OQ)在直线l上.（保留作 A.30° 图痕迹，不写作法) B.28 C(M C.22 B(NY D.17 B(NY 、B(D 3.(2024·兰州)观察发现：劳动人民在生产生 (M 活中创造了很多取材简单又便于操作的方 D(N) 法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”.如图 图 1,他用木条能快速画出一个以A为顶点的直 角，具体作法如下： ①木条的两端分别记为点M,N,先将木条的 端点M与点A重合，任意摆放木条后，另 一个端点N的位置记为点B,连接AB; 图3 ②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点 B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点 记为点C(点A,B,C不在同一条直线上)： ③连接CB并延长，将木条沿点C到点B的 名校详 29小专题3线段的垂直平分线与角平分线的综合 ∠CBD-30.CD=BD-3.C-√/BD-CD-3s. 1.A2.63°3.D 4.解：(1)图略 (2)DF垂直平分AB,.DB=DA,·∠DAB 16.48 ∠B=30°. ∠C=0°，. ∠BAC= 180 30 10 =110°. 新课标·新情境·新题型·引领训练 ∠DAC=110°-30°=80：÷AE平分∠DAC,.∠DAE= 1.D2.B -∠DAC=40, 3,解：(1)图略，∠DAC即为所求，(2)依据1：等边对等角（等腰三角形 的性质)很据2：三角形内角和定理(3)图略，∠POQ即为所求 5.解：1)证明：连接BD,D.,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC .DE=DF,∠BED=∠CFD=90,DG垂直平分BC,·BD= 第二章 一元一次不等式与 CD.在R△BED和R△CFD中，(BC-:R△BED≌ 一元一次不等式组 R1△CFD(HI.).∴.BE=CF.(2)在△AED和△AFD中， 1不等关系 I∠AED=∠AFD. 1.32.2y>1(答案不唯一)3.B4.x>505.(1)a-4<a ∠EAD=∠FAD.△AED②△AFD(AAS).·AE=AF.设 ADAD. (2)r+2y>0(3)r+5r≥0(4%-3≤16.13 BE=CF=.AB=5.AC=3,AE=AB-BE.AF=AC+CF, 7.300+4.r<6008.两种客车载客总量不少于500人 .5一x-3十x,解得x=1.∴.BE=1,AE=AB-BE=5-1=4 9,解：答案不唯一，如：(1)八年领(1)班的男生比女生多，其中男生有 小专题4构造等腰三角形的常用方法 人女生有y人，(2)3条长裤和4件上衣的总价不超过50元，其 1,证明：过点D作DM∥AC,交BC于点M,.∠DMB=∠ACB, 中长裤的单价为a元，上衣的单价为b元， FDM= ∠E.AB=AC,∠B= DMB. 10.解：：购买羽绒被x条购买单毛被(80一)条.根据题意，得 BD-MD.:BD-CE,.MD=CE.在△DMF和△ECF中， 415x+150(80-x)<20000, ∠MFD=∠CFE, 2不等式的基本性质 MDF-∠E,△DMF≌△ECF(AAS).∴.DF-EF 1.B2.D3.A4.m<05.3m -2H6.（1)< (2)(3》 MD=CE. (4)<(5)>7.(1)不等式的基本性质1(2)不等式的基本性 2.(1)证明：过点P作PF∥BC交AC于点F,·∠AFP-∠ACB 质2(3)不等式的基本性质3 ∠FPD=∠Q,∠PFD=∠QCD.:△ABC为等边三角形，，∠A 2 /ACB=60°， 8.解：(1)r<6,(2)r>-6(3)>后.(4)r>-2.(5)r>3 7 PD-DQ.(2)1 (6).x> 9,解：(1)②(2)不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变 3.证明，延长BA和CE相交于点M.,E⊥BD,△ABC为等腰便直角 (3)'a>b..-2024 =2024h”. 2024a+1 2024b+1. 三角形，·AB=AC∠BEC ∠BEM ∠BAC=90.∠BDA 10.D11.C12.D13.B14.234(容案不唯一-) ACDE.∠ABD∠AM.又'∠BAD ∠CAM=90 △BAD≌△CAM(ASA)..BD=CM.,BD平分∠ABC,BE⊥ 15.解：(1)两边都减3，得多>之两边都乘2，得> (2)两边都 CM,..ME-EC-CM."BD-2CE. 乘2，得x一3>y一3.两边都加3，得x>y (3)两边都除以2.得 一3-.两边都减3，得一≤ 一头.两边都除以 1,得>. 4.解：方法 -(截长法)：在CD上取点E,使DE=BD,连接AE,易得 16.解：(1)>(2)①<②=③>(3)当b>0时，4十b>4当 CE=AB-AE.∴.∠CAE-∠C∴.∠ABD-∠AED-∠C4 b=0时，+b=a当b<0时，a+b<a.()"≥0，2-3r十 ∠CAE=2∠C, ∠BAC ∠BAD+ ∠DAE+ CAE=2(90° 13十】， a时a.之游 ∠FAB,AB+ 3不等式的解集 BD -DF-DC 义ADBC,.AF=AC..∠C ∠F=∠FAB 1.D2.A3.C4.335,3 0,-1,-35.C6.B ：∠F+∠C+∠FAB+∠BAC=180,3∠C+120=180 .∠C=209 7.解：(1)如图所示： 【拓展设问】80”-e 2-1012345 5.证明：在BC上截取BE=AB.连接DE.AB-AC,∠A=108 (2)如图所示： .∠ABC=∠C=(180'-∠A)=36,”BD平分∠ABC 201234一 .∠DBA ∠DBE 在△DBA和△DBE 中 AB-EB 8.解：这句话不正确.因为一个管有未知数的不等式的所有解，组成这 ∠DBA-=∠DBE,.△DBA2△DBE(SAS)...∠A=∠BED 个不等式的解集，面x<0只位含不等式十2≤<5的部分解，如1x )=1月3 0,1,2等都是不等式十2<3的解.但并不在x<0的范围内，所以 ∴.∠DEC=180° ∠BED=180°-∠A=72°，∠CDE=∠BED 这句话不正确，不等式x+25的解集应该是<3. ∠A-∠C-72.∠DEC=∠CDE.∴.CD=CE..BC=BE 9.A10.D11.C12.B CE-AB+CD. 6.解：方法一（内构等腰三角形）：在CD上戴取DE=D=2,连接 13.解：由题意，得≥一立，所以不等式有4个负整数解，分别为一1 AE.,ADB,∴AB=AE. ∠B=2∠C,,∠AEB 一2.-3.一4. ∠+ ∠EAC,∠C=∠EAC.AE=EC=CD-DE=6,AB 4 一元一次不等式 6.方法二（外构等楼三角形）：延长DB至点F,使得BF=AB,连接 AF. ∠BAF,.∠ABC ∠F+∠BAF 2∠F.∠AB 第1课时一元一次不等式的解法 2∠C,.∠F ∠C.,,AF=AC.AD⊥FC,,.FD=DC=8.BD 1.D2.(1)-1(2)-13.A4.D5.A6.1,2,3,4 2,∴.FB=FD-BD=6,∴，AB=FB=6 7.解：(1)移项，得9r-7x3十2.合并同类项，得2r≤5，两边除以 回顾与思考（一）三角形的证明 2,得≤2.5.这个不等式的解集在数轴上表示图略 (2)去括号，得5x-5<4+2x.移项，得5r-2.x<4+5.合并同类 1.解：(1)证明：CD⊥AB.BE⊥AC, ∠AEB=∠ADC=90°.在 项，得3x<9.两边都除以3，得x<3.这个不等式的解集在数轴上 ∠AEBm∠ADC, 表示图略： △ABE和△ACD中， ∠BAE=∠CAD,.△ABE≌△ACD (3)去分母，得4-2>3-1.移项，得4一3x>一1十2.合并同类 AB-AC. 项，得x>1.这个不等式的解集在数轴上表示图略： (AAS).(2),'△ABE≌△ACD,.AD=AE=6,在R:△ACD中 8.解：由题意，得a一1>4十3，解得a>2 AC-VAD+CD-V6+8-10...AB-AC-10...BD-AB- 9.(1)①(2)去分母时，不等式左边一2没有乘2(3)不等式的基有 AD=10-6=4. 性质3(4)> 2.B3.C+.745.2°6.(24-4 2 7.(1)证明：：在△ABC中.AB=AC,.∠B=∠C.:DE⊥AB,DFI 10.D1.C12.A13.1 ∠DEB=∠DFC一90：，D为BC的中点，，，BD=CD 14.解：(1)去分母，得4十3≥3.移项、合并同类项，得x≥一3，这个 “2P△CDF(AAS.心DE=DF.六△DEF为等腰三角 不等式的解集在数轴上表示图略， ②45 (2)去括号，得2r一2≤10x一30一{.移项、合并同类项，得一8x 8.B9.B1.5+111.150 32.两边都除以一8，得r≥4.这个不等式的解集在数轴上表示 12.证明：连接BD.AB=AD.∠ABD=∠ADH.又：∠ABC 图略. ∠ADC,,∴.∠ABC-∠ABD=∠ADC ∠ADB,即∠DBC (3)去分母，得x一5+2>2r-6.移项，得x-2r>一6+5一2.合 并同类项，得一x>一3.两边都除以一1，得<3.这个不等式的解 BD心BC=CD在R△BE和1△DCF中， 集在数轴上表示图略 〈BE-DF,Rt△BCE2R△DCF(HID.∴CE=CF 15.解：根报题意：特82≥2中1-13(3r一2≥5(2r十)-15.9r 13.3514.C 15.解：(1)图略.(2)连接BD.”∠C-90°，∠ABC-60',.∠A一30 -610x+5-15.9r-10r≥5-15十6，-x≥-4.x4.∴.x的 ,直线MN垂直平分AB,.AD=BD=6..∠A=∠ABD=30 最大值是4. 5人下，与*首雀43