3 第2课时 三角形三边的垂直平分线-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

第2课时三角形三边的垂直平分线 结合图形阅读作法，并将证明“PQ⊥”的过程 A基础题 补充完整。 知识点1三角形三边的垂直平分线 作法：①在直线L上取点A,B;②分别以点A, 1.如图所示，线段AB,AC的垂直平分线相交于 B为圆心，AP,BP为半径作弧，两弧在直线L 点P,则PB与PC的关系是 ( ) 下方交于点Q:③作直线PQ. A.PB>PC B.PB=PC 结论：PQ⊥l,且PQ经过点P C.PB<PC D.PB=2PC 证明：连接AP,AQ,BP,BQ,由作法可知， AP=AQ,BP=BQ. 点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线 段PQ的垂直平分线上（依据： 9 ∴.直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据： 第1题图 第2题图 2.如图，三个村庄A,B,C构成△ABC,供奶站 ). ∴.PQ⊥l(垂直平分线的定义). 需到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建 6.如图，若想建一个货物中转仓，使其到A,B,C 在 三地的距离相等，则如何选择中转仓的位置？ A.三条边的垂直平分线的交点 请用尺规作图的方法设计出中转仓的位置P. B.三个角的角平分线的交点 (保留作图痕迹，不用说明理由) C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点 3.如图，P为△ABC三边垂直平分线的交点.若 ∠PAC=20°，∠PCB=30°，求∠PAB的 度数. 易错点忽视对三点的位置进行分类讨论致错 7.在平面内，到三点A,B,C距离相等的点( A.只有一个 B.有两个 C.有三个或三个以上D.有一个或没有 知识点2有关线段垂直平分线的几何作图 B中档题 4.(2023·吉林)如图，在△ABC中，AB=AC. 8.(2023·凉山州)如图，在等腰三角形ABC 分别以点B和点C为圆心，大于号BC的长为 中，∠A=40°，分别以点A,B为圆心，大于 半径作弧，两弧交于点D,作直线AD交BC 号AB的长为半径画孤，两孤分别交于点M. 于点E.若∠BAC=110°，则∠BAE的度数为 N,连接MN,直线MN与AC相交于点D,连 接BD,则∠DBC的度数是 ( A.209 B.30 C.40 D.50 第4题图 第5题图 9.在△ABC中，∠ACB为钝角.用直尺和圆规在 5.如图，已知直线I和1外一点P.下面是小华 边AB上确定一点D,使∠ADC=2∠B,则符 设计的“过点P作直线（的垂线”的作法：请 合要求的作图痕迹是 18名经液·数学1，八年质下：s C综合题 13.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分 别交BC,AB于点E,M,边AC的垂直平分 线分别交BC,AC于点F,N. B (1)若∠BAC=120°，求∠EAF的度数. (2)已知△AEF的周长是12. ①求BC的长 D ②若∠B+∠C=45°，AF=4.求△AEF D 的面积 10.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别 以点B和点C为圆心，大于号BC的长为半 径作弧，两弧相交于点M和点N:②作直线 MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4, ∠B=45°，则AB= 1 B 第10题图 第11题图 11.如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分线 L1,12相交于点O.若∠BAC=82°，则 /OBC= 12.如图，已知线段c,求作等腰直角三角形，使 其斜边等于线段.（保留作图痕迹，不必写 作法) €恩3双垂直平分线模型+++++++ 【总结归纳】如图，在△ABC中，∠BAC二a,边AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,E,边 AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,F,则∠EAF=2a-180°或180°-2a. B ∠EAF=2a-180° ∠EAF=180°-2a 【例】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90. (I)在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN的周长最小. (2)在(1)的条件下，∠AMN+∠ANM= 名校置∠CBE=∠EPD-∠ADB=125”-90'=35.BE是∠ABC的 第2课时三角形三边的垂直平分线 平分线，∠ABD-2 CBE-70°.在R1△ABD中，∠BAD=90 1.B2.A ∠ABD=90°-70°=20 6.D7.24 3解：：P为△ABC三边垂直平分线的交点，六PA=PC=PB .∠PAC=∠PCA=20°，∠PBC=∠PCB=30°，∠PAB=∠PBA. 8.解：能，理由如下ョ在R△ABC中，，AB=4cm,BC=3cm ∠AC-90°，∴.AC-√+3-5(m).在△ACD中，，AD ·∠PAB=×(180-2×20°-2×30)=40. 13 cm,CD=12 cm.AC=5 cm.'AD 169,CD +AC 169. +.55,到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上两 ,AD=CD+AC,.∠ACD=g0, 点确定一条直线 9.A 10.C1.13或西12.A13.D14.D15.言 6解：图略. 7.D8.B9.C10.711.8 16边宽金的8Cm 12.解：图略，△ABC即为所求， 13.解：(1)：ME是边AB的垂直平分线，NF是边AC的垂直平分 DE=DE,在Rt△ABD'中，BD'=√AD-AB=√I0-6 线，.AE■BE,AF=CF..∠B■∠BAE,∠C=∠CAF 8(cm),.CD)=2em.设CE=xcm.则DE=DE=(6一x)cm,在 ∠BAC=120°..∠B+∠C=180°-120°=60.·∠BAE+ R△DCE中，D'E=EC+DC,即(6-)=r+2',解得r ∠CAF= ∠B+∠C=60..∠EAF ∠BAC (∠BAE+ ∠CAF)=120一60°=60°.(2)①由(1)得，BE=AE,FA=FC ..C= 3 cm. BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=12.②∠B+∠C=45 17.解：()13(2)√9明(3)如图4，将蓉器的侧面展 :∠BAC=135.由(1)得，∠EAB=∠B,∠FAC=∠C.,.∠EAF ∠BAC-(∠EAB+∠FAC)=∠BAC-(∠B+∠C)=135 开，作点A关于E下的对称点A,连接AB,则AB 的长即为最短距离.·AD=5cmBD=12一3+ A5一90.设AEE,则EF=12-x-4-8-x.“在R△EAF中： AE十AF=EF,即x十4=(8一r),解得x=3.∴.AF=4,AE 3-12(cm)..A'B-√AD+BD=13cm..蚂 蚊吃到饭粒需要爬行的最短路程为13m 1图4 =3,EF=5..Sam= AE·AF=号×3X4=6 第2课时直角三角形全等的判定 微专题3 症A65C8-0.在R△AC和R 【例】解：(1)图路，分别作点A关于C和CD的对称点A,A,连接 A'A".交BC于点M,交CD于点N.则点M.N即为所求，(2)120 AB=BA. △BAD中，{BC-AD.R△ABC≌R△BAD(HL).∠ABC= 4角平分线 ∠BAD..OA=OB. 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 8.答案不唯一，如：AB-ED9.ASA 1.2 2.5 3. 4. 5.D6.C 7.A8.15 I0.证明：：ABBD,EDLBD,AC⊥CE,∠B=∠D=∠A(CE= 9.正明：，AD是△ABC的中线，.BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC 99,·∠DCE+∠DEC=90,∠BCA+∠DCE-90°.·∠BA= ·∠BED-∠CFD=90.:在R:△BDE和RL△CDF中， ∠BCA=∠DEC, ∠DEC,在△ABC'和△CDE中，∠B=∠D, .△ABC≌ BD-CP.÷R△BDE≌R△CDF(H2.DE=DE,义：DE1 BE-CF. AB=CD. 1B,DF⊥AC,AD平分∠BAC △CDE(AAS). 10.A11.312.5 11.A12.313.5或10 I3.证期：(1)过点E作EF⊥AD于点F,,∠B=90,AE平分 14.AD AD' ABC2△A'B'C证明： /C-∠C'-90,AD ∠DAB,,BE=EF,E是BC的中点，BE=CE.CE=EF AD',AC=A,R△AD2 RIAADC'(HI.∴CD=CD 又∠C=90,EF⊥AD..DE平分∠ADC.(2)在Rt△ABE和 R△AFE中，能作：R△ABE2R△AFEH.AB AC-A'C AF,同理可得，CD=FD.,AB十CD=AF+FDAD △ABC和△A'B'C“中， C= ∠C,△AB△A'B'C(SAS). 14.证明：(I)过点D作DE⊥AB于点E,DF LAC交AC的延长线于 BC-B'C 点F.:AD平分∠BAC,DE⊥AB.DF⊥AC,,∴DE=DF 15.解：(1)△CDE是等腰直角三角形.理由如下：∠ACB=90 ∠DEB /F=90/EBD+ ACD=180°，∠ ACD+∠FCD CA=CB,.∠ACD=∠BCE=90,BF⊥AD,.∠BFD=90 =180..∠EBD=∠FCD..△DEB2△DFC(AAS)..DB :∠ADC=∠BDF.∠ADC+∠CAD=∠CBE+∠BDF=90 DC.(2)过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点 ∠CAD= CBE .△ACD2△BCE(ASA) .CD-CE. F.:AD平分∠BAC.DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF,∠DEB ,△CDE是等腰直角三角形.(2)按要求洲出图形如图 ∠DFC=90°.DB=DC.,.Rt△DEBE≌Rt△DFC(HL). ·∠ABD ∠DCF,∠DCF+∠ACD=180°，.∠ABD ∠ACD=180 第2课时三角形三个内角的平分线 1.C2.B3.A 4.解：Samm=交AB·DE=交×8DE=8,·DE=2.AD平分 2 CA 3 ∠BAC,DELAB,.DFLAC,DE=DF=2,,S%=zAC·DF (3)结论成立，证明：，∠ACB=90',AF⊥BE,∠FDB+∠FBD -90,∠EBC+ ∠BE℃-=90°. A死在人DAC ∠FDB =2×6×2=6, 5.C ∠ADC-∠BEC 6,解：图略，分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P,点P即为所 ∠ACD=∠BCE..△ACD≌△BCE..CD=CE..△CDE是 AC-BC. 7.D8.D9.10 等腰直角三角形， I.证明：PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF,P园 3线段的垂直平分线 △ABC角平分线的交点.，CP平分∠ACB,BP平分∠ABC 第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 ·∠PCB=∠ACB,∠PBC=∠ABC.六∠BPC=180 1.D2.D3.C4.80°5.126.A7.线段AB 8.解：AB=AD,∠ABD一∠ADB,且点A在线段BD的垂直平 ∠PCB-∠PC=180- Z(∠ACB+∠ABC)-180- 之(1800 分线上，，∠AB=∠ADC,∠ABC ∠ABD ∠ADB,即∠CBD-∠CDB..CB-CD..点C在线段BD的垂直 -∠BAC)=90°+∠BAC 平分线上，∴直线AC是对角线BD的垂直平分线. I1.解：I)证明：过点E作EGLAD于点G:EHLBC于点H.EF 9.20或7010.A11.C12.11613. ⊥AB.∠AEF=50.∴∠FAE=90 -50°=40.，∠BAD=100 ∴.∠CAD=180-100°-40°=10，，.∠FAE=∠CAD=40,即 14.解：(1)∠BAC=50°.AD平分∠BAC.∠EAD= )∠BAC= CA为∠DAF的平分线.义EF⊥AB.EG⊥AD,EFEC ,BE是∠ABC的平分线，'，EF=EH..EG=EH..点E在 25.DE⊥AB,.∠AED=00°..∠EDA=90°-25=65 ∠ADC的平分线上..DE平分∠ADC(2)设EG=x,由(1)得. (2)证明：DEAB.∠ACB=90°.，./AED=∠ACB=90 AD平分∠BAC.∠DAE=∠DAC 以AD=AD,△AEL EF-EH-EG=.S=20.AD=4.CD=12.AD.EG ≌△ACD(AAS),,AE=AC.DE=DC,.直线AD是线段CE的 垂直平分线： +号CD·EH-20,即2红+6-20，解得5-2.5.∴EF-上 15.解：(1)证明：连接AE.,AD⊥BC,D为BE的中点，.AD重直平 分BE,AB=AEEF垂直平分AC,AE=CE,.AB=CE (2)AE-CE,∠CAE <C 2.5.Sam-zAB·EF=号×7X2.5=5 32°. ∠AEB-81,AB AE,.∠B=∠AEB=64”..∠BAC=180-∠B-∠C=84, 微专题4 1.2:3142.203.3 16.A【变式】10 42 ，s八下·参考答蜜