2 第2课时 直角三角形全等的判定-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

第2课时直角三角形全等的判定 7.如图，AD与BC相交于点O,AC⊥BC,BD⊥ A基础题 AD,AD=BC.求证：OA=OB. 知识点1用HL判定两个直角三角形全等 1.如图，P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E, PF⊥AB于点F,PE=PF,则能直接得到 △PEA≌△PFA的理由是 ( A.HL B.ASA C.AAS D.SAS C 2.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等 的是 知识点2用其他方法证明两个直角三角形 A.两个锐角分别对应相等 全等 B.两条直角边分别对应相等 8.如图，在Rt△ABC和R1△EDF中，∠BAC= C.一条直角边和斜边分别对应相等 ∠DEF=90°，∠B=∠D,在不添加任何辅助 D.一个锐角和斜边分别对应相等 线的情况下，请你添加一个条件： 3.如图，∠B=∠D=90°，BC=CD,∠1=40°，则 ,使Rt△ABC和Rt△EDF ∠2= 全等 A.40 B.50° C.60 D.75 第8题图 第9题图 第3题图 9.如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出 第4题图 与此直角三角形全等的三角形，其全等的依 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，E是AC上一点， 据是 连接BE,过点E作DE⊥AB,垂足为D,BD 10.如图.点C在BD上，AB⊥BD,ED⊥BD, BC.若AC=6cm,则AE十DE的值为( AC⊥CE,AB=CD.求证：△ABC≌△CDE. A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm 5.如图，AB⊥EF于点B,CD⊥EF于点D, BE=DF.若要用“HL”判定Rt△ABF≌ R1△CDE,则需要添加的条件为 第5题图 第6题图 6.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B ∠E=90°，AC=DF,AB=DE,∠A=50°，则 ∠DFE= 14名位深量·数子1：八年级下： B中档题一 C综合题 1L.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， 15.如图，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB= AB=4,则下列图中的直角三角形与 90°，CA=CB. Rt△ABC全等的是 操作：如图1，过点A任作一条直线（不经过 点C和点B)交BC所在直线于点D,过点B 作BF⊥AD交AD于点F,交AC所在直线 601 于点E,连接DE 60 60 图1 2 图3 (1)猜想△CDE的形状. D 12.(2023·重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC= (2)请利用图2、图3作出与上述位置不同的 90°，AB=AC,D为BC上一点，连接AD.过 直线，然后按上述方法操作，画出相应的 点B作BE⊥AD于点E,过点C作 图形 CF⊥AD,交AD的延长线于点F,若BE= (3)在(2)的基础上，你认为(1)中的结论成 4,CF=1,则EF的长为 立吗？若成立，请利用图2加以证明：若 0 不成立，请利用其中一图说明理由. D 第12题图 第13题图 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10, BC=5,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC 和过点A且垂直于AC的射线AO上运动. 当AP=时，△ABC和△PQA全等. 14.证明命题：“一条直角边相等且另一条直角 边上的中线相等的两个直角三角形全等”， 要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和 求证，写出证明过程.下面是小颖根据题意画 出的图形，并写出了不完整的已知和求证. 已知：在Rt△ABC和Rt△A'BC'中，∠C ∠C=90°，AC=A'C',AD与A'D'分别为边 BC,BC'上的中线且 求证： 请补全已知和求证部分，并写出证明过程 名校置 e15·∠CBE=∠EPD-∠ADB=125-90'=35.:BE是∠ABC的 第2课时三角形三边的垂直平分线 平分线∠ABD2 CBE-70°.在R△ABD中，∠BAD=90 1.B2.A ∠ABD=90°-70°=20 6.D7.24 3解：：P为△ABC三边垂直平分线的交点，六PA=PC=PB .∠PAC=∠PCA=20°，∠PBC=∠PCB=30°，∠PAB=∠PBA. 8.解：能，理由如下ョ在R△ABC中，，AB=4cm,BC=3cm, ∠AC-90°，∴.AC-√+3-5(m.在△ACD中，，AD= ·∠PAB=7×(180-2×20°-2×30)=40. 13 cm,CD=12 cm.AC=5 e cm.AD =169.CD+AC =169. 4.55,到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上两 .AD=CD+A(,.∠ACD=g0, 点确定一条直线 9.A10.C1.13或12.A13.D14.D15.言 6解：图略. 7.D8.B9.C10.711.8 16边我建新金的8严Cm 12.解：图略，△ABC即为所求， 13.解：(1)ME是边AB的垂直平分线，NF是边AC的垂直平分 DE=DE,在R1△ABD'中，BD'=√AD-AB=VI0一6 线，.AE■BE,AF=CF..∠B■∠BAE,∠C=∠CAF 8(cm),,.CD=2cm设E=xcm,则DE=DE=(6-x)m.在 ∠BAC=120.∴.∠B+∠C=180-120=60.·∠BAE+ R△DCE中，D'E=EC+DC,即(6-r)=r+2,解得r ∠CAF= ∠B+∠C=60.∴.∠EAF=∠BAC (∠BAE+ ∠CAF)=120-60°=60°.(2)①由(1)得，BE=AE,FA=FC 3.4C= 3m. BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=12.②∠B+∠C=45 17.解：(1)13(2)√9(3)如图4，将容器的侧面展 ∠BAC=135.由(1)得，∠EAB=∠B,∠FAC=∠C.,.∠EAF ∠BAC-(∠EAB+∠FAC)=∠BAC-(∠B+ /)=135 开，作点A关于E下的对称点A,连接AB,则AB 的长即为最短距离.·AD=5cmBD=12一3+ 5一90.设AE=x,则EF=12-T-4=8x,在R△EAF中： AE十AF=EF,即r十4=(8一r).解得x=3.AF=4,AE 3=12(cm).A'B=√AD+BD=13m..蚂 蚊吃到饭粒需要爬行的最短路程为13m 44 =3,EF=5..Sa= 2AE·AF=号×3X4=6 第2课时直角三角形全等的判定 微专题3 症A65C2”-0.在R△AC和R 【例】解：(1)图路，分别作点A关于C和CD的对称点A‘,A°，连接 A'A”,交BC于点M.交CD于点N.则点M,N即为所求，(2)120 AB=BA. △BAD中，{BC-AD:R△ABC≌R△BADH).∴∠ABC 4角平分线 ∠BAD..0A=(0B. 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 8.答案不唯一，如：AB-ED9.ASA 1.2 4. 5.D6.C 7.A8.15 I0.证明：AB LBD,.EDLBD,ACLCE,∠B=∠D=∠A(CE= 9.正明：，AD是△ABC的中线，.BD=CD.DE⊥AB,DF⊥AC ,.∠DCE+∠DEC=90,∠BCA十∠DCE-90°.·∠BA= ·∠BED-∠CFD=90.:在R:△BDE和RL△CDF中， ∠BCA=∠DEC, ∠DEC,在△ABC和△CDE中，∠B=∠D, .△ABC≌ {BD-CP,R△BDE2R△CDF(HL.DE=DE,又：DE⊥ BE-CF. AB=CD. 1B,DF⊥AC,.AD平分∠BAC △CDE(AAS). 10.A11.312.5 11.A12.313.5或10 I3.证明：(1)过点E作EF⊥AD于点F,,∠B=90,AE平分 14.AD- AB2△A'B'C‘证明： /C-∠C-90,AD ∠DAB,BE=EF,:E是BC的中点，，BE=CE,∴.(E=EF A'D',AC=AC,,R1△ADC≌Rt△AD'C(HI.)..CD=CD 又∠C=90,EF⊥AD..DE平分∠ADC.(2)在Rt△ABE和 '=2CD'.,BC=BC,在 R△AFE中，能作：R△ABE2R△AFEH.AB AC-AC AF,同理可得，CD=FD.,∴，AB十CD=AF+FD=AD △ABC和△AB'C中， C= C,△AB≌△A'BC(SAS). 14.证明：(I)过点D作DE⊥AB于点E,DF LAC交AC的延长线于 BC-B'C 点F.:AD平分∠BAC,DE⊥AB.DF1AC.∴.DE=DF 15.解：(1)△CDE是等腰直角三角形.里由如下：∠ACB=90 ∠DEB /F=9O°../EBD+ ACD=180°， ACD+∠FCD CA=CB,∠ACD=∠BCE=90,BF⊥AD.ZBFD-90 =180.∴.∠EBD=∠FCD..△DEB2△DFC(AAS)..DB :∠ADC=∠BDF.∠ADC+∠CAD=∠CBE+∠BDF=90 DC.(2)过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点 ·∠CAD 'CBE.∴，△ACD2△BCE(ASA) CD-CE. F.:AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF,∠DEB ,△CDE是等腰直角三角形.(2)按要求洲出图形如图 ∠DFC=90.DB=DC.,.Rt△DEBE≌Rt△DFC(HL). ,∠ABD= ∠DCF,∠DCF+∠ACD=180°，.∠ABD ∠ACD=180 第2课时三角形三个内角的平分线 1.C2.B3.A +.解：“Samn=2AB·DE=立X8DE=8,DE=2.FAD平分 2 3 ∠BAC,DELAB,.DFLAC,DE=DF=2,,S=ZAC·DF (3)结论成立，证明：，∠ACB=90',AF⊥BE,∠FDB+∠FBD -90,∠EBC+∠BEC=90. AeBC在人6BEB ∠FDB =2×6×2=6, 5.C I∠ADC=∠BEC 6.解：图略，分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P,点P即为所 ∠ACD=∠BE..△ACD≌△BE.,CD=CE..△CDE是 R AC-BC. 7.D8.D9.10 等腰直角三角形， I0.证明：：PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF,P是 3线段的垂直平分线 △ABC角平分线的交点.，CP平分∠ACB,BP平分∠AB 第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 ·∠PCB=∠ACB,∠PBC=∠ABC.六∠BPC=180 1,D2.D3.C4.80°5.126.A7.线段AB 8.解：：AB-AD,.∠ABD一∠ADB,且点A在线段BD的垂直平 ∠PCB-∠PBC=180°- Z(∠ACB+∠ABC)-180- (1800 分线上，，∠ABC=∠ADC,∠ABC ∠ABD ∠ADB,即∠CBD一∠CDB..CB-CD..点C在线段BD的垂直 -∠BAC)=90°+∠BAC 平分线上，∴直线AC是对角线D的垂直平分线. IL.解：I)证明：过点E作EGLAD于点G:EHLBC于点H.:EF 9.20或7010.A11.C12.11613. ⊥AB.∠AEF=50°，∴∠FAE=90 -50°=40.，∠BAD=100 ∴.∠CAD=180-100°-40°=40，，.∠FAE=∠CAD=40°，即 14.解：(I)∠BAC=50.AD平分∠BAC.∠EAD= T∠BAC= CA为∠DAF的平分线.义EF⊥AB.EGLAD,EF=EC 'BE是∠ABC的平分线，，EF=EH..EG=EH..点E在 25.DE⊥AB,.∠AED=00°..∠EDA=90°-25=65 ∠ADC的平分线上.∴.DE平分∠ADC.(2)设EG=x,由(1)得 (2)1证明：DEAB.∠ACB=90°，，.∠AED=∠ACB=90 AD平分∠BAC..∠DAE=∠DAC :AD=AD,△AEE EF=EH=E=工Sm=20,AD=1.CD=122AD·EBG ☑△ACD(AAS),,AE=AC.DE=DC,.直线AD是线段CE的 垂直平分线 +号CD·EH-20,即2红+6x=20,解得上-2.5.∴EF-上 15.解：(1)证明：连接AE.AD⊥BC,D为BE的中点，∴AD重直平 分BE,AB=AE.EF垂直平分AC,AE=CE,,AB=CE (2)AE-CE,∠CAE 2.5.Sam-之AB:EF=号×7x2.5=5 32. AEB=AEBE6BAC8∠AE4」 微专题4 1.2:3142.203.3 16.A【变式】10 42 ,s八下·参考答蜜