2 第1课时 直角三角形的性质与判定-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

2 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 A基础题 D知识点2 直角三角形的判定 6.在△ABC中,A,B,C的对边长分别记 知识点1 直角三角形的性质 为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角 三角形的是 1.如图,已知l/AB,CD 于点D.若C ) 40*,则1的度数是 ( A. /A十/B-/C A.30 B. A:B:C-1:2:3 B.40。 C.a2-c2-b2 C.50* D.a:b:c-3:4:6 D. 60* 7. 已知在△ABC中,AB=6cm,BC=8 cm. AC=10cm,则△ABC的面积是 2.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b, cm^{}. 斜边长为c.已知a-5,c=13,则b=_. 8.一个机器零件的示意图如图所示,ACD 3.(2024·兰州改编)如图,在△ABC中,AB- 90{是判断这个零件合格的一项指标,现测得 AC./BAC=130*,DAAC,则/ADC AB=4 cm,BC-3cm,AD=13 cm,CD 12cm, ABC一90^{},根据这些条件,能否得 到ACD-90{?请说明理由: D 第3题图 第4题图 4.如图:已知OAB的项点O(0,0),顶点A,B 分别在第一、四象限,且AB)x轴,若AB 6.OA=OB-5,则点A的坐标是 5.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,BE 是一条角平分线,AD,BE相交于点P.已知 D知识点3逆命题、逆定理 EPD-125*,求 BAD的度数 9. 下列说法中,正确的是 A.每个命题都有逆命题 B.假命题的逆命题一定是假命题 C.每个定理都有逆定理 D.真命题的逆命题一定是真命题 10.下列定理中,没有逆定理的是 A.两直线平行,内错角相等 B.全等三角形的对应边相等 C.对顶角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 12 名校课觉·数学1·八年级下·B5 易错点,斜边不确定导致漏解 C综合题 11.已知一个直角三角形的两边长分别为5cm. 12 cm,则这个三角形的第三边长为 17.(教材习题变式)(1)如图1,长方体的长为 cm. 4cm,宽为3cm,高为12cm,则该长方体中 能放入木棒的最大长度为_cm. B中档题一 (2)如图2,长方体的长为4cm,宽为3cm. ~ 12.下列命题的逆命题不是真命题的是 高为12cm.现有一只蚂蚁从点A处沿长 A.全等三角形的对应角相等 方体的表面爬到点G处,则它爬行的最 短路程为 B.等角对等边 cm. C.直角三角形的两锐角互余 (3)如图3,若将题中的长方体换成高为 D.等边三角形的三个内角都相等 12cm,底面周长为10cm的透明圆柱形 13.(2023·河泽)△ABC的三边长a,b,c满足 容器(容器厚度忽略不计),在容器内壁 ($-b)*+2a-b-3+|c-3 ②|=0,则 离底部3cm的点B处有一饭粒,此时一 △ABC是 ) 只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿 A.等腰三角形 B.直角三角形 3cm的点A处.求蚂蚁吃到饭粒需要爬 D.等腰直角三角形 C.锐角三角形 行的最短路程 14.如图,在边长为1的小正方形网格中,P为 ### CD上任意一点,则PB}一PA{*}的值为( _~_ A.6 B.8 C.10 D.12 阁 图2 图3 第14题图 第15题图 15.如图,已知等腰三角形ABC的底边BC-5; D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则 AD的长为 16.如图,折叠长方形纸片ABCD的一边,使点 D落在边BC上的点D处,AE是折痕,已知 AB=6cm,BC=10cm,求CE的长 B DC A 13参考答案 第一章三角形的证明 :DE∥BC,∴∠CBD-∠EDB..∠EBD-∠EDB.BE-DE (2)CD=ED.理由如下，'AB=AC,,,∠C=∠ABC,DE∥BC, 1等腰三角形 ∠ADE ∠C.∠AED ∠ABC..∠ADE ∠AED..AD 第1课时全等三角形和等腰三角形的性质 AE.,.CD=BE.由(I)可知BE=DE,.CD=ED. 1.∠ACB ∠DBC(客案不唯一 13.解：(1)25°小(2)30°(3)当点D运动到∠ADB=110°或80 2.解：(1)证明：AD=BE,.AD+BD=BE+BD.即AB=DE,在 时，△ADE是等腰三角形，理由：若∠ADB=110,则∠ADC A报三门四 70.:AB=AC,,∠C=∠B=40,.∠DAC=70.在△ADE中 △ABC和△DEF中.AC-DF,.△ABC≌△DEF(SSS). ∠iDE=40·∠DAE=7.∠AED=180-40 70°=70 BC=EF. ,∠AED=∠DAE.,DA=DE,即△ADE是等腰三角形：若 (2)∠A=55.∠E=45,由(1)可知，△AC2△DEF,∠A ∠BDA=80°.则∠ADC=100.,∠C=40',,.∠DAE=40 ∠FDE=55,∴.∠F■180-（∠FDE+∠E=180°-(55”+45）=80 二∠ADE-∠DAE.·△ADE是等楼三角形 微专题1 3.(1)50°(2)84°4.66°5.40° 6.解：：AD=DC..∠DAC=∠C=35..∠ADB=∠DAC+∠C 1.122.70°3.B 70:AB=AD,:∠B=∠ADB=70,∠BAD=180-ZB- 小专题1“三线合一”巧解题 ∠ADB=180-70°0°=40 4=∠D 7.B8.49.5510.23或19【变式】2411.4D I.证明：在△ABE和△DE中，∠AEB=∠DEC,△ABE≌ 【变式170或40°12.40或140°13.B14.(2,0)15.30 1 16.CDLAB-于点D∠BCD-∠BAC证明：过点A作AELBC △DCE(AAS),,BE=(CE.,F是BC的中点，.EF⊥BC 2.解：(1)”AB一AC一10，F是BC的中点，∴AF⊥BC根据勾股定 于点E.AB=AC,∴∠BAE=∠CAE=I ∠BAC.:AELBC. 理，得BF=√AB-AF=6.(2)连接CD.BF=6,F是C的中 .∠BAE+∠B=90,,CD⊥AB,.∠BCD+∠B=90 点B批=12.六S△m=乞BC·AF=48.D是AB的中点， ∠BCD-∠BAE-Z∠BAC ∴Sm=Sm=21.AC-10.Sm=AC·DE=5DE. 17,解：(1)15(2)20°(3)∠BAD=2∠EDC.证明：：AD=AE ∴.∠AED-∠ADE.AB=AC,∴.∠B-∠C.∠AED-∠CDL ·5DE=24,解得DE-24 +∠C,∴.∠B+∠BAD=∠ADC=∠CDE+∠ADE=∠CDE+ ∠CDE+∠CDE+∠C.∴.∠BAD-2∠CDE. 3.证明：过点A作AP⊥BC于点P,AB=AC,∴.BP=PC.AD AE,,.DP=PE..BP一DP=PC一PE,即BD=CE 第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质 +.证明：过点A作AM⊥BC于点M.AB=AC,∠BAC 12.3 2∠BAM.AD=AE,÷∠D=∠AED.∠BAC=∠D+∠AED .证明：，AB=AC,.∠ABC=∠ACB.,BD和CE为△ABC的中 =2∠D..∠BAC=2∠BAM=2∠D.∠BAM=∠D..DE 线，∴.BE=AB,CD=号AC..BE-CD.在△BEC和△CDB AM.AM⊥B,.DE BC. 5.证明：连接O.AC=B,∠ACB=90,O为AB的中点，.∠B= BE=CD. 中 ∠CBE-∠BCD,∴.△BEC≌△CDB(SAS).CE=BD, BC=CB. ∠EOC-∠FOB. 4.D5.30°46.120 △C和△F)B中， 0=(OB, .△E(C△FE 7.证明：：△AB是等边三角形，六AB=AC∠ABC∠ACB60 ∠OCE-∠B, ∠ABD-∠ACE-120.在△ABD和△ACE中. (ASA)..OE=OF. AB=AC 第4课时等边三角形的判定与含3角的直角三角形的性质 ∠ABD-∠ACE,.△ABD2△ACE(SAS)..∠D-∠E. 2. DB-EC. 3.证明：DC-DB.∠B-30..∠DCB-∠B-30.∴.∠ADC- 8.解：(1)△ABC为等边三角形，且边长为1，AB=BC=CA=1. ∠DB+∠B=0.又，AD=D,,△AD(是等边三角形. 'AD⊥BC,∴.BD=CD= 之BC=,∠ADB=BO,在R△ABD 4.E明：CE∥DA, ∠A∠BEC又∠A-∠B,∠B- ∠BEC∠EB=60,∠B=∠BEC=60,△BCE是等边三 中，由勾股定理，得AD=V小一D=复(2)S=号C 角形， 5.C6.B AD-子×1×9- 7.E明：：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30,∴BC=号AB 24 ∠B=60°.，CD⊥AB,.∠CDB=90,∠BCD=30°..BD= 9.B10.3相等11.(03)或(0，-3)12.①@ 13.证明：，△ABC是等边三角形，，∠ACB=∠ABC=60.CD ZBCBD=AB,即AB=BD CE,∴.∠E-∠CDE.∠ACB-∠E+∠CDE..∠E-∠CDE= 8.249.210.1.5 Z∠ACB=×60=30.:BD=ED.∠CBD=∠E=30 IL.解：连接BD.AB=AD=50cm∠A=60”.△ABD是等边三 角形.，AB一AD=BD=0Hm,∠ABD-60°.，∠ABC-105, ,∴.∠ABD=∠AB ∠CBD=60 -30°=30°，∠ABD= ·∠CBD=45.,'∠C=45,.CD=BD=50mm∠CDB=90, ∠CBD.△ABC是等边三角形..D为AC的中点 14.解：(1)证明：△ABC为等边三角形， AB-∠C-60, .BC=√D平BD=50√2cm,.该机翼（四边形ABCD)的周 AB=BC. 长为50+50+50+502(150+502)cm, AB-BC.在△AMB和△BNC中，∠ABM-∠C,.△AMB≌ 12,解：(1)证明：过点M作MQ∥B,交AC于点Q,在等边三角形 BM=CN. AB中：∠A∠B∠ACB=60:MQ/BC:乙AMQ △BNC(SAS).,.AM-BN.(2)△AMB≌ABNC..∠MAB- B=60,∠AQ.M=∠AB=60,∠QMP ,△AMQ是等 ∠N ∠BQM=∠MAB+ ABQ= NBC+ ∠ABQ 边三角形..AM-QM:AM-CN..QM-CN.在△QMP和 ∠ABC-60.(3)成立.证明：：△ABC是等边三角形，·AB ∠QP ∠PN, BC. C∠ACB=60.在△4M和△CN中· △CNP中， ∠QMP-∠N,.△QMP≌△CNP(AAS). OM-CN. ∠ABM=∠BCN.·△ABM≌△BCN(SAS)..AM=BN. .MP-NP.(2),△AMQ是等边三角形，MH⊥AC,.AH BM-CN, 第3课时等腰三角形的判定与反证法 HQ.'△QMP≌△CNP.QP=CP.PH=HQ+QP=zAC 1B2.B3.24.÷ 5.(1)3(2)2 AB-AC-a...PH- 20 6.证明：，'BD是等边三角形ABC的中线，，BD⊥AC,∠ACB=60 微专题2 ∠DBC-30.BD-DE. ZE-ZACB-80-CDE-3DD-CECDE E 1.122.43.B 小专题2分类讨论思想在等腰三角形中的应用 T.证明：BE=CF,∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和 1.C2.B3.B4.65.C6.357.26戌38 AB=DC. 8.10或80或20或1409.65或2510.D △DCE中，∠B=∠C,∴.△ABF2△DCE(SAS)..∠AFB= BF-CE. 2直角三角形 ∠DEC,p∠GFE=∠GEF,.GE=GF, 第1课时直角三角形的性质与判定 8.B9.三角形的三个内角都大于6010.4011.120或75或30 1.C2.123.65+.(4,3) 12.解：(1)证明：BD是△ABC的角平分线，.∠CBD=∠EBD 5.解：，AD是边BC上的高，.∠ADB=90.,∠EPD=125, 5人下·多*答常41 ·∠CBE=∠EPD-∠ADB=125-90'=35.:BE是∠ABC的 第2课时三角形三边的垂直平分线 平分线∠ABD2 CBE-70°.在R△ABD中，∠BAD=90 1.B2.A ∠ABD=90°-70°=20 6.D7.24 3解：：P为△ABC三边垂直平分线的交点，六PA=PC=PB .∠PAC=∠PCA=20°，∠PBC=∠PCB=30°，∠PAB=∠PBA. 8.解：能，理由如下ョ在R△ABC中，，AB=4cm,BC=3cm, ∠AC-90°，∴.AC-√+3-5(m.在△ACD中，，AD= ·∠PAB=7×(180-2×20°-2×30)=40. 13 cm,CD=12 cm.AC=5 e cm.AD =169.CD+AC =169. 4.55,到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上两 .AD=CD+A(,.∠ACD=g0, 点确定一条直线 9.A10.C1.13或12.A13.D14.D15.言 6解：图略. 7.D8.B9.C10.711.8 16边我建新金的8严Cm 12.解：图略，△ABC即为所求， 13.解：(1)ME是边AB的垂直平分线，NF是边AC的垂直平分 DE=DE,在R1△ABD'中，BD'=√AD-AB=VI0一6 线，.AE■BE,AF=CF..∠B■∠BAE,∠C=∠CAF 8(cm),,.CD=2cm设E=xcm,则DE=DE=(6-x)m.在 ∠BAC=120.∴.∠B+∠C=180-120=60.·∠BAE+ R△DCE中，D'E=EC+DC,即(6-r)=r+2,解得r ∠CAF= ∠B+∠C=60.∴.∠EAF=∠BAC (∠BAE+ ∠CAF)=120-60°=60°.(2)①由(1)得，BE=AE,FA=FC 3.4C= 3m. BC=BE+EF+FC=AE+EF+AF=12.②∠B+∠C=45 17.解：(1)13(2)√9(3)如图4，将容器的侧面展 ∠BAC=135.由(1)得，∠EAB=∠B,∠FAC=∠C.,.∠EAF ∠BAC-(∠EAB+∠FAC)=∠BAC-(∠B+ /)=135 开，作点A关于E下的对称点A,连接AB,则AB 的长即为最短距离.·AD=5cmBD=12一3+ 5一90.设AE=x,则EF=12-T-4=8x,在R△EAF中： AE十AF=EF,即r十4=(8一r).解得x=3.AF=4,AE 3=12(cm).A'B=√AD+BD=13m..蚂 蚊吃到饭粒需要爬行的最短路程为13m 44 =3,EF=5..Sa= 2AE·AF=号×3X4=6 第2课时直角三角形全等的判定 微专题3 症A65C2”-0.在R△AC和R 【例】解：(1)图路，分别作点A关于C和CD的对称点A‘,A°，连接 A'A”,交BC于点M.交CD于点N.则点M,N即为所求，(2)120 AB=BA. △BAD中，{BC-AD:R△ABC≌R△BADH).∴∠ABC 4角平分线 ∠BAD..0A=(0B. 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 8.答案不唯一，如：AB-ED9.ASA 1.2 4. 5.D6.C 7.A8.15 I0.证明：AB LBD,.EDLBD,ACLCE,∠B=∠D=∠A(CE= 9.正明：，AD是△ABC的中线，.BD=CD.DE⊥AB,DF⊥AC ,.∠DCE+∠DEC=90,∠BCA十∠DCE-90°.·∠BA= ·∠BED-∠CFD=90.:在R:△BDE和RL△CDF中， ∠BCA=∠DEC, ∠DEC,在△ABC和△CDE中，∠B=∠D, .△ABC≌ {BD-CP,R△BDE2R△CDF(HL.DE=DE,又：DE⊥ BE-CF. AB=CD. 1B,DF⊥AC,.AD平分∠BAC △CDE(AAS). 10.A11.312.5 11.A12.313.5或10 I3.证明：(1)过点E作EF⊥AD于点F,,∠B=90,AE平分 14.AD- AB2△A'B'C‘证明： /C-∠C-90,AD ∠DAB,BE=EF,:E是BC的中点，，BE=CE,∴.(E=EF A'D',AC=AC,,R1△ADC≌Rt△AD'C(HI.)..CD=CD 又∠C=90,EF⊥AD..DE平分∠ADC.(2)在Rt△ABE和 '=2CD'.,BC=BC,在 R△AFE中，能作：R△ABE2R△AFEH.AB AC-AC AF,同理可得，CD=FD.,∴，AB十CD=AF+FD=AD △ABC和△AB'C中， C= C,△AB≌△A'BC(SAS). 14.证明：(I)过点D作DE⊥AB于点E,DF LAC交AC的延长线于 BC-B'C 点F.:AD平分∠BAC,DE⊥AB.DF1AC.∴.DE=DF 15.解：(1)△CDE是等腰直角三角形.里由如下：∠ACB=90 ∠DEB /F=9O°../EBD+ ACD=180°， ACD+∠FCD CA=CB,∠ACD=∠BCE=90,BF⊥AD.ZBFD-90 =180.∴.∠EBD=∠FCD..△DEB2△DFC(AAS)..DB :∠ADC=∠BDF.∠ADC+∠CAD=∠CBE+∠BDF=90 DC.(2)过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点 ·∠CAD 'CBE.∴，△ACD2△BCE(ASA) CD-CE. F.:AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF,∠DEB ,△CDE是等腰直角三角形.(2)按要求洲出图形如图 ∠DFC=90.DB=DC.,.Rt△DEBE≌Rt△DFC(HL). ,∠ABD= ∠DCF,∠DCF+∠ACD=180°，.∠ABD ∠ACD=180 第2课时三角形三个内角的平分线 1.C2.B3.A +.解：“Samn=2AB·DE=立X8DE=8,DE=2.FAD平分 2 3 ∠BAC,DELAB,.DFLAC,DE=DF=2,,S=ZAC·DF (3)结论成立，证明：，∠ACB=90',AF⊥BE,∠FDB+∠FBD -90,∠EBC+∠BEC=90. AeBC在人6BEB ∠FDB =2×6×2=6, 5.C I∠ADC=∠BEC 6.解：图略，分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P,点P即为所 ∠ACD=∠BE..△ACD≌△BE.,CD=CE..△CDE是 R AC-BC. 7.D8.D9.10 等腰直角三角形， I0.证明：：PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC,PD=PE=PF,P是 3线段的垂直平分线 △ABC角平分线的交点.，CP平分∠ACB,BP平分∠AB 第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 ·∠PCB=∠ACB,∠PBC=∠ABC.六∠BPC=180 1,D2.D3.C4.80°5.126.A7.线段AB 8.解：：AB-AD,.∠ABD一∠ADB,且点A在线段BD的垂直平 ∠PCB-∠PBC=180°- Z(∠ACB+∠ABC)-180- (1800 分线上，，∠ABC=∠ADC,∠ABC ∠ABD ∠ADB,即∠CBD一∠CDB..CB-CD..点C在线段BD的垂直 -∠BAC)=90°+∠BAC 平分线上，∴直线AC是对角线D的垂直平分线. IL.解：I)证明：过点E作EGLAD于点G:EHLBC于点H.:EF 9.20或7010.A11.C12.11613. ⊥AB.∠AEF=50°，∴∠FAE=90 -50°=40.，∠BAD=100 ∴.∠CAD=180-100°-40°=40，，.∠FAE=∠CAD=40°，即 14.解：(I)∠BAC=50.AD平分∠BAC.∠EAD= T∠BAC= CA为∠DAF的平分线.义EF⊥AB.EGLAD,EF=EC 'BE是∠ABC的平分线，，EF=EH..EG=EH..点E在 25.DE⊥AB,.∠AED=00°..∠EDA=90°-25=65 ∠ADC的平分线上.∴.DE平分∠ADC.(2)设EG=x,由(1)得 (2)1证明：DEAB.∠ACB=90°，，.∠AED=∠ACB=90 AD平分∠BAC..∠DAE=∠DAC :AD=AD,△AEE EF=EH=E=工Sm=20,AD=1.CD=122AD·EBG ☑△ACD(AAS),,AE=AC.DE=DC,.直线AD是线段CE的 垂直平分线 +号CD·EH-20,即2红+6x=20,解得上-2.5.∴EF-上 15.解：(1)证明：连接AE.AD⊥BC,D为BE的中点，∴AD重直平 分BE,AB=AE.EF垂直平分AC,AE=CE,,AB=CE (2)AE-CE,∠CAE 2.5.Sam-之AB:EF=号×7x2.5=5 32. AEB=AEBE6BAC8∠AE4」 微专题4 1.2:3142.203.3 16.A【变式】10 42 ,s八下·参考答蜜