1 第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质&小专题2 分类讨论思想在等腰三角形中的应用-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

第4课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 知识点2含30角的直角三角形的性质 基础题 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8. 知识点1等边三角形的判定 ∠A=30°，则BC= 1.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形： A.8 ②有一个角等于60°的等腰三角形：③三个角 B.6 都相等的三角形：④三条边都相等的三角形 C.4 其中是等边三角形的有 () D.2 A.①②③ B.①②④ 6.新考向情境素材2023年7月28日，世界 大学生运动会在成都举行，在设计比赛场地 C.①③④ D.①②③④ 时，融合了许多几何元素.其中有一个等腰三 2.如图，已知△ABC,D是BC上一点，连接 角形的模型，它的顶角为120°，腰长为18m, AD,下列条件中能判定△ABC是等边三角形 则底边上的高为 的是 ( A.4m B.9 m A.AB=AC,∠B=∠C C.10m D.18m B.AD⊥BC,BD=CD 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于 C.BC=AC,∠B=∠C 点D,∠A=30°.求证：AB=4BD. D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD B D 3.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD= DC=DB,∠B=30°.求证：△ADC是等边三 角形. B小档题 8.如图，CD是△ABC边AB上的高，且AB= AC=4,∠ABC=15°，则CD=:S△ABc= 4.如图，∠A=∠B,CE∥DA,∠ECB=60°，求 证：△BCE是等边三角形. 第8题图 第9题图 9.(2023·江西)将含30°角的直角三角板和直 尺按如图所示的方式放置.已知∠a=60°，点 B,C表示的刻度分别为1cm,3cm,则线段 AB的长为 cm. 名校置 9 10.如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA上，OP=5cm,点 C综合题 M,N在边OB上，PM=PN. 12.如图，在等边三角形ABC中，M为边AB上 若MN=2cm,则OM= 年07 任意一点，延长BC至点N,使CN=AM,连 接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H. cm. 11.如图所示的是一款航模机翼部分示意图.已 (1)求证：MP=NP. (2)若AB=a,求线段PH的长（结果用含a 知AB=AD=50cm,∠A=60°，∠B=105°， 的代数式表示). ∠C=45°，请计算该机翼（四边形ABCD)的 周长.（结果保留根号） 爸€题2巧用特殊角构造含30°角的直角三角形+++++++ )方法1根据线段垂直平分线的性质构造含30角的直角三角形■ 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E, DE=2,则BC的长为 D 209 30 D 第1题图 第2题图 第3题图 方法2延长两边构造含30角的直角三角形（补形】 2.如图，在四边形ABCD中，AD=8,BC=2,∠B=90°，∠A=30°，∠ADC=120°，则CD的长为 方法3作垂线构造含30角的直角三角形（如本课时T10) 3.如图，在边长为10的等边三角形ABC中，点M在边AB的延长线上，点N在边AC上，且 MN=MC.若AM=16,则CN的长为 A.3 B.4 C.5 D.6 10 名拉常·数学·八年级下的 小专题2分类讨论思想在等腰三角形中的应用 类型1等腰三角形由于底边和腰不确定而 腰三角形的顶角度数为 进行分类讨论 A.40 B.100 1.已知等腰三角形的周长是22，其中一边长为 C.40°或100 D.50°或70 8,则另外两边的长度分别是 6.(2023·宿迁)若等腰三角形有一个内角为 A.3和11 B.7和7 110°，则这个等腰三角形的底角是 C.6和8或7和7D.3和11或7和7 7.若等腰三角形中有一个角为52°，则它的一条腰 2.已知实数x,y满足(x一4)2十1y一8=0，则 上的高与底边的夹角的度数为 以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是 8.如图，△ABC的顶点A,C在直线I上，∠B= 120°，∠ACB=40°.若点P在直线1上运动，当 A.20或16 B.20 △ABP成为等腰三角形时，则∠ABP的度数 C.16 D.以上答案均不对 是 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，在 直线BC或射线AC上取一点P,使得△PAB C I 是等腰三角形，则符合条件的点P有( 易带急结 A.4个 B.5个 若等腰三角形的一内角为a C.6个 D.7个 ①当0°<α<90°时，a可能是顶角，也可 能是底角： B ②当a>90°时，a为顶角. ++“◆+-++++-+-+-++◆一十一+-+++一+一++++ 类型3等腰三角形由于高的位置不确定而进 第3题图 第4题图 行分类讨论 4.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5 9.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线与 网格中，点A,B在网格的格点上，要在格点上 AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角 确定一点C,连接AC,BC,使△ABC是等腰 ∠B的度数为 三角形，则网格图中满足条件的点C有 10.若等腰三角形的面积为12，腰长为5，则底边 个 长为 一类型2等腰三角形由于顶角和底角不确定 A.6 B.7 而进行分类讨论 C.8 D.6或8 5.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等 名校理置参考答案 第一章三角形的证明 :DE∥BC,∴，∠CBD=∠EDB.∠EBD=∠EDB.BE=DE (2)CD=ED.理由如下：，'AB=AC,.∠C=∠ABC..DE∥BC 1 等腰三角形 ∴∠ADE=∠C,∠AED= ∠ABC.ZADE ∠AED.∴AD= 第1课时全等三角形和等腰三角形的性质 AE.,.CD=BE.由(1)可知BE=DE,.CD=ED. L.∠ACB-∠DBC(答案不唯一 13.解：(1)25小 (2)30°(3)当点D运动到∠ADB=110°或80 2.解：(1)证明：AD=BE,,AD十BD=BE十BD,即AB=DE,在 时，△ADE是等腰三角形.理由：若∠ADB=110°，则∠ADC AB-DE. 70°.，'AB=AC,.∠C=∠B=40°..∠DAC=70°.在△ADE中 ∠ADE=40,∠DAE=70,:∠AED=180° 40 -70°=70 △ABC和△DEF中，AC=DF,.△ABC≌△DEF(SSS). IBCEEF. ∴，∠AED=∠DAE.,DA=DE,即△ADE是等腰三角形：若 (2)∠A=55,∠E=45,由(1)可知，△AC2△DEF,.∠A ∠BDA-80°，则∠ADC=100°.∠C=40°，∠DAE=40 ∠FDE=55,∴.∠F=180°-（∠FDE+∠E=180°-(55°+45=80 ∴，∠ADE=∠DAE.,△ADE是等腰三角形. 3.(1)50°(2)84°4.665.40 微专题1 6.解：，'AD=DC,.∠DAC=∠C=35',,∠ADB=∠DAC+∠C 1.122.70°3.B 70°.AB=AD,.∠B=∠ADB=70°..∠BAD=180°-∠B 小专题1“三线合一”巧解题 ∠ADB=-180°-70°-70=40 A=∠D, 7.B8.49.5510.23或19【变式】2411.40 L.证明：在△ABE和△DCE中，∠AEB=∠DEC,△ABE≌ 【变式】70或40°12.40或140°13.B14.(2,0)15.30° AB=DC I6.CDLAB于点D∠BCD=∠BAC证明：过点A作AELBC △DCE(AAS).∴，BE=CE.,F是BC的中点，.EF⊥BC 2.解：(1)：AB=AC=10,F是BC的中点，.AF⊥BC根据勾股定 于点E.:AB=AC,∠BAE=∠CAE=于∠BAC.:AE⊥BC, 理，得BF=√AB一AF=6.(2)连接CD.:BF=6,F是BC的中 .∠BAE+∠B■90°.CD⊥AB,.∠BCD十∠B=90 点，BC=12.Sace=文BC·AF=48.D是AB的中点， ·∠BCD=∠BAE=Z∠BAC Sam=ZSae=24.:AC-I0,∴Sam=tAC·DE=5DE. 17.解：(1)15(2)20°(3)∠BAD=2∠EDC.证明：，AD=AE .∠AED=∠ADE,AB=AC,.∠B=∠C. ∠AED=∠CDE ÷5DE=24,解得DE=24 +∠C,·∠B+∠BAD-∠ADC-∠CDE+∠ADE-∠CDE+ ∠AED ∠CDE+ CDE+ ∠C,∴.∠BAD=2∠CDE. 3.证明：过点A作AP⊥BC于点P.AB=AC,BP=PC.AD AE,.DP=PE..BP一DP=PC-PE,即BD=CE. 第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质 4.证明：过点A作AM⊥BC于点M.AB=AC,∠BAC= 1.C2.3 2∠BAM.AD=AE,·∠D=∠AED.∠BAC=∠D+∠AED 3.证明：'AB=AC,∠ABC=∠ACB.BD和CE为△ABC的中 =2∠D.∴.∠BAC=2∠BAM-2∠D.∴∠BAM=∠D..DE∥ 线，BE=之AB,CD=子AC.∴BE=CD,在△BEC和△CDB AM.AM L BC,.DE L BC. 5.证明：连接OC.AC=BC,∠ACB-90°，O为AB的中点，，∠B= BE=CD, ∠ACO ∠BC0=45",OC=OB,∠COB=90.又 EOF=90 中， ∠CBE=∠BCD,△BEC2△CDB(SAS)..CE=BD ∠EOC+∠COF-∠COF+∠FOB-90°.∠EOC-∠FOB.在 BC-CB, ∠EOC=∠FOB, 4.D5.30°46.120 △EOC和△FOB 中， OC-OB. ∴.△EOC≌△FOE 7.证明：△ABC是等边三角形，ABAC,∠ABC-∠ACB一60° ∠OCE=∠B, ∠ABD=∠ACE=120.在△ABD和△ACE中， (ASA).∴，OE=OF AB-AC. 第4课时等边三角形的判定与含30角的直角三角形的性质 ∠ABD=∠ACE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).·∠D=∠E. 1.D2.C DB-EC. 3.证明：DC=DB,∠B=30°，∠DCB=∠B=30°，.∠ADC= 8.解：(1)△ABC为等边三角形，且边长为1，AB=BC=CA=1 ∠DCB十∠B=60°.又'AD=DC,∴.△ADC是等边三角形. AD⊥BC,BD=CD=2BC=·∠ADB=9O.在Rt△ABD 4.证明：CE∥DA,.∠A=∠BEC.又 ∠A=∠B,∠B= ∠BEC.∠ECB=60°，∴.∠B=∠BEC=60°，，△BCE是等边三 中，由勾股定理，得AD-VAB一BD-号(2)SAe-合BC· 角形. 5.C6.B AD=子×1x= 7.证明：：在△ABC中，∠ACB=90',∠A=30,BC=之AB, 2 4 ∠B=60°.CD⊥AB,.∠CDB-90°，∠BCD=30°，.BD 9.B10.3相等11.(0，3)或(0，一√3)12.①② 13,证明：△ABC是等边三角形，，∠ACB=∠ABC=60°.，'CD= BC.BD-AB,即AB=BD CE,.∠E=∠CDE.I∠ACB=∠E+∠CDE,.∠E=∠CDE= 8.249.210.1.5 2∠ACB=z×60°=30.BD=ED,∠CBD=∠E=30 11.解：连接BD.AB=AD=50cm,∠A=60°，△ABD是等边三 角形..AB=AD=BD=50cm,∠ABD=60°.，∠ABC=105 .∠ABD=∠ABC ∠CBD=60°-30°=30°.∠ABD= ∠CBD-45.∠C=45,.CD-BD=50cm,∠CDB-90 ∠CBD.,'△ABC是等边三角形，.D为AC的中点 14.解：(1)证明：，△ABC为等边三角形 ∠ABC=∠C=60, ∴.BC=√CD+BD=50√2cm..该机翼（四边形ABCD)的周 AB-BC. 长为50+50+50+50，√2=(150+50W2)cm AB=BC,在△AMB和△BNC中， ∠ABM=∠C,.△AMB≌ 12.解：(1)证明：过点M作MQ∥BC,交AC于点Q.在等边三角形 BM-CN, ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，：MQ∥BC,.∠AMQ= △BNC(SAS).,',AM=BN.(2)",'△AMB≌△BNC,,'.∠MAB= ∠B-60,∠AQM=∠ACB-60°，∠QMP ∠N.△AMQ是等 ∠NBC,. ∠MAB+ ∠ABQ- ∠NBC+ ABQ- ∠ABC=60成立.证明，AABC是等边E角形，：AB 边三角形..AM=QM,:AM=CN,.QM=CN.在△QMP和 ∠QPM-∠CPN, AB BABC BC. ∠ACB=60°，在△ABM和△BCN中 △CNP中，{∠QMP=∠N,.△QMP≌△CNP(AAs). BC. QM=CN. ∠ABM=∠BCN,∴，△ABM≌△BCN(SAS)..AM=BN, ,MP=NP.(2):△AMQ是等边三角形，MH⊥AC,∴.AH BM-CN, 第3课时等腰三角形的判定与反证法 HQ.r△QMP≌△CNP,QP=CP.PH=HQ+QP=zAC 5 1.B2B324.2 5.(1)3(2)2 AB=AC=a,PH=4. 6.证明：，BD是等边三角形ABC的中线，.BD⊥AC,∠ACB=60° 微专题2 ∴∠DBC=30°，BD=DE,. ∠DBC=30°，，∠CDE+ 1.122.43.B ∠E-∠ACB-60°，∴.∠E-∠CDE-30.∴.CD-CE 小专题2分类讨论思想在等腰三角形中的应用 .证明，'BE=CF,,BE十EF=CF+EF,即BF=CE,在△ABF和 1.C2.B3.B4.65.C6.35°7.26或38 AB-DC, 8.10或80或20成140°9.65液25°10.D △DCE中，∠B=∠C,'.△ABF2△DCE(SAS).,,∠AFB= 2直角三角形 BF=CE, ∠DEC,即∠GFE=∠GEF..GE=GF. 第1课时直角三角形的性质与判定 8.B9.三角形的三个内角都大于60°10.4011.120°或75”或30° 1.C2.123.65°4.(4,3) 12解：(1)证明：BD是△ABC的角平分线，，∠CBD=∠EBD 5.解：AD是边BC上的高，.∠ADB=90°.∠EPD-125 路八下·参考答案41