1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法&小专题1“三线合一巧解题-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

第3课时 等腰三角形的判定与反证法 A基础题- 知识点1 等腰三角形的判定 1.在△ABC中,已知B=C,则 A. AB-BC B.AB-AC C.BC-AC D.A-60” 7.如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC, 2.在△ABC中,已知a,b,c分别是/A,B, B- /C,AF与DE交于点G.求证:GE=GF 之C的对边,则下列条件中,不能判定入ABC △ 是等腰三角形的是 ) A.a-3,b-3,c-4 B.a:b:c-2:3:4 C.B-50*,C-80” D. A:/B:/C=1:1:2 3.如图,在△ABC中,C=/B,D,E分别是 AB,AC上的点,AE=2cm,且DE/BC,则 AD- cm. 知识点2 反证法 8.先假设命题的结论不成立,然后推导出与定 义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的 结果,从而证明命题的结论一定成立,这种证 第3题图 第4题图 明方法称为反证法,已知五个正数的和等干 4.如图,BD平分/ABC,DE//BC交BA于点 1,用反证法证明:这五个正数中至少有一个 ~_ A.都大于 B.都小于 5.如图,在△ABC中,A=36*, AB=AC,BD平分/ABC,交AC C.没有一个小于。 D.没有一个大于 于点D. (1)图中等腰三角形的个数是 9.用反证法证明“三角形三个内角中,至少有一 个内角小于或等于60{}”应假设 (2)(2024·重庆)若BC-2,则AD的长为 B中档题 6.(2023·荆州改编)如图,BD是等边三角形 ABC的中线,以点D为圆心,DB的长为半径 10.如图,上午9时,一条船从A处 V北 画张,交BC的延长线于点E,连接DE.求证; 出发,以20海里/时的速度向正 CD-CE. 北航行,11时到达B处,从A,B 处望灯塔C,测得 /NAC=35*, NBC-70*,那么从B处到灯 塔C的距离是 海里. .。 名校课堂·数学1·八年级下·s 11.如图,/AOB-60*,OC平 C综合题一 分 AOB,P为射线OC 上一点:如果射线OA上 13.如图,在△ABC中,AB=AC,B=40*,点 的点D满足△OPD是等 D在线段BC上运动(点D与B,C两点不重 腰三角形,那么ODP 的度数为 合),连接AD,作 ADE=40{*,DE交线段 AC于点E. (1)当/BDA=115*时, BAD=$ 12.(教材习题变式)如图,BD是△ABC的角平 点D从B向C运动时, /BDA逐渐变 分线,DE/BC,交AB于点E. (填“大”或“小”). (1)求证:BE=DE (2)当△ABD△DCE时,BAD的度数 (2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大 为 小关系,并说明理由 (3)在点D运动的过程中,△ADE的形状也 在改变,当ADB为多少度时,△ADE 是等腰三角形?请说明理由. 量题1 角平分线、平行线、等腰三角形,知二推一---. 模型展示 2.如图,AB/CD,点E在AB上,且AC= ####### AE.若 A-40{*,则 ECD= 3. 如图,在△ABC中,BC=6,ABC与 ACB的平分线交于点O,过点O作BC 1= 2,AC/BD,AB=AC(或AB=AD)$$ 上述三个条件可知二推一. 的平行线分别交AB,AC于点M,N.若 模型应用(如:本课时T4.T12) 入AMN的周长是13,则入ABC的周长是 1.如图,在△ABC中,CD平分/ACB,DE/ ( BC交AC于点E.若DE-5,AE-7,则AC A.18 的长为 B.19 C.20 D.21 第1题图 第2题图 名 小专题1“三线合一”巧解题 D类型1 直接利用“三线合一”解决问题 D类型2 利用“三线合一”作辅助线解决问题 1. 如图, A= D=90*,AB=DC,AC与B$D$ 方法1 遇等腰三角形常作底边上的高 相交于点E,F是BC的中点,求证:EF|BC 3.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB= ### AC,AD=AE.求证:BD=CE. 4.如图,在△ABC中,AB=AC,E为AC上任意 一点,延长BA到点D,使得AE=AD,连接 DE.求证:DE BC _## 2.如图,在AABC中,AB-AC=10,F是BC的 中点,AF=8,D是AB的中点,DE1AC于 点E. (1)求BF的长 (2)求DE的长 方法2 遇等腰三角形中底边中点时,常作底边 上的中线 5.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,ACB 90{,O为AB的中点,OE,OF分别交AC,BC 于点E,F,且OE]OF,求证:OE=OF 名校课堂·数学1·八年级下·参考答案 第一章三角形的证明 :DE∥BC,∴，∠CBD=∠EDB.∠EBD=∠EDB.BE=DE (2)CD=ED.理由如下：，'AB=AC,.∠C=∠ABC..DE∥BC 1 等腰三角形 ∴∠ADE=∠C,∠AED= ∠ABC.ZADE ∠AED.∴AD= 第1课时全等三角形和等腰三角形的性质 AE.,.CD=BE.由(1)可知BE=DE,.CD=ED. L.∠ACB-∠DBC(答案不唯一 13.解：(1)25小 (2)30°(3)当点D运动到∠ADB=110°或80 2.解：(1)证明：AD=BE,,AD十BD=BE十BD,即AB=DE,在 时，△ADE是等腰三角形.理由：若∠ADB=110°，则∠ADC AB-DE. 70°.，'AB=AC,.∠C=∠B=40°..∠DAC=70°.在△ADE中 ∠ADE=40,∠DAE=70,:∠AED=180° 40 -70°=70 △ABC和△DEF中，AC=DF,.△ABC≌△DEF(SSS). IBCEEF. ∴，∠AED=∠DAE.,DA=DE,即△ADE是等腰三角形：若 (2)∠A=55,∠E=45,由(1)可知，△AC2△DEF,.∠A ∠BDA-80°，则∠ADC=100°.∠C=40°，∠DAE=40 ∠FDE=55,∴.∠F=180°-（∠FDE+∠E=180°-(55°+45=80 ∴，∠ADE=∠DAE.,△ADE是等腰三角形. 3.(1)50°(2)84°4.665.40 微专题1 6.解：，'AD=DC,.∠DAC=∠C=35',,∠ADB=∠DAC+∠C 1.122.70°3.B 70°.AB=AD,.∠B=∠ADB=70°..∠BAD=180°-∠B 小专题1“三线合一”巧解题 ∠ADB=-180°-70°-70=40 A=∠D, 7.B8.49.5510.23或19【变式】2411.40 L.证明：在△ABE和△DCE中，∠AEB=∠DEC,△ABE≌ 【变式】70或40°12.40或140°13.B14.(2,0)15.30° AB=DC I6.CDLAB于点D∠BCD=∠BAC证明：过点A作AELBC △DCE(AAS).∴，BE=CE.,F是BC的中点，.EF⊥BC 2.解：(1)：AB=AC=10,F是BC的中点，.AF⊥BC根据勾股定 于点E.:AB=AC,∠BAE=∠CAE=于∠BAC.:AE⊥BC, 理，得BF=√AB一AF=6.(2)连接CD.:BF=6,F是BC的中 .∠BAE+∠B■90°.CD⊥AB,.∠BCD十∠B=90 点，BC=12.Sace=文BC·AF=48.D是AB的中点， ·∠BCD=∠BAE=Z∠BAC Sam=ZSae=24.:AC-I0,∴Sam=tAC·DE=5DE. 17.解：(1)15(2)20°(3)∠BAD=2∠EDC.证明：，AD=AE .∠AED=∠ADE,AB=AC,.∠B=∠C. ∠AED=∠CDE ÷5DE=24,解得DE=24 +∠C,·∠B+∠BAD-∠ADC-∠CDE+∠ADE-∠CDE+ ∠AED ∠CDE+ CDE+ ∠C,∴.∠BAD=2∠CDE. 3.证明：过点A作AP⊥BC于点P.AB=AC,BP=PC.AD AE,.DP=PE..BP一DP=PC-PE,即BD=CE. 第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质 4.证明：过点A作AM⊥BC于点M.AB=AC,∠BAC= 1.C2.3 2∠BAM.AD=AE,·∠D=∠AED.∠BAC=∠D+∠AED 3.证明：'AB=AC,∠ABC=∠ACB.BD和CE为△ABC的中 =2∠D.∴.∠BAC=2∠BAM-2∠D.∴∠BAM=∠D..DE∥ 线，BE=之AB,CD=子AC.∴BE=CD,在△BEC和△CDB AM.AM L BC,.DE L BC. 5.证明：连接OC.AC=BC,∠ACB-90°，O为AB的中点，，∠B= BE=CD, ∠ACO ∠BC0=45",OC=OB,∠COB=90.又 EOF=90 中， ∠CBE=∠BCD,△BEC2△CDB(SAS)..CE=BD ∠EOC+∠COF-∠COF+∠FOB-90°.∠EOC-∠FOB.在 BC-CB, ∠EOC=∠FOB, 4.D5.30°46.120 △EOC和△FOB 中， OC-OB. ∴.△EOC≌△FOE 7.证明：△ABC是等边三角形，ABAC,∠ABC-∠ACB一60° ∠OCE=∠B, ∠ABD=∠ACE=120.在△ABD和△ACE中， (ASA).∴，OE=OF AB-AC. 第4课时等边三角形的判定与含30角的直角三角形的性质 ∠ABD=∠ACE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).·∠D=∠E. 1.D2.C DB-EC. 3.证明：DC=DB,∠B=30°，∠DCB=∠B=30°，.∠ADC= 8.解：(1)△ABC为等边三角形，且边长为1，AB=BC=CA=1 ∠DCB十∠B=60°.又'AD=DC,∴.△ADC是等边三角形. AD⊥BC,BD=CD=2BC=·∠ADB=9O.在Rt△ABD 4.证明：CE∥DA,.∠A=∠BEC.又 ∠A=∠B,∠B= ∠BEC.∠ECB=60°，∴.∠B=∠BEC=60°，，△BCE是等边三 中，由勾股定理，得AD-VAB一BD-号(2)SAe-合BC· 角形. 5.C6.B AD=子×1x= 7.证明：：在△ABC中，∠ACB=90',∠A=30,BC=之AB, 2 4 ∠B=60°.CD⊥AB,.∠CDB-90°，∠BCD=30°，.BD 9.B10.3相等11.(0，3)或(0，一√3)12.①② 13,证明：△ABC是等边三角形，，∠ACB=∠ABC=60°.，'CD= BC.BD-AB,即AB=BD CE,.∠E=∠CDE.I∠ACB=∠E+∠CDE,.∠E=∠CDE= 8.249.210.1.5 2∠ACB=z×60°=30.BD=ED,∠CBD=∠E=30 11.解：连接BD.AB=AD=50cm,∠A=60°，△ABD是等边三 角形..AB=AD=BD=50cm,∠ABD=60°.，∠ABC=105 .∠ABD=∠ABC ∠CBD=60°-30°=30°.∠ABD= ∠CBD-45.∠C=45,.CD-BD=50cm,∠CDB-90 ∠CBD.,'△ABC是等边三角形，.D为AC的中点 14.解：(1)证明：，△ABC为等边三角形 ∠ABC=∠C=60, ∴.BC=√CD+BD=50√2cm..该机翼（四边形ABCD)的周 AB-BC. 长为50+50+50+50，√2=(150+50W2)cm AB=BC,在△AMB和△BNC中， ∠ABM=∠C,.△AMB≌ 12.解：(1)证明：过点M作MQ∥BC,交AC于点Q.在等边三角形 BM-CN, ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，：MQ∥BC,.∠AMQ= △BNC(SAS).,',AM=BN.(2)",'△AMB≌△BNC,,'.∠MAB= ∠B-60,∠AQM=∠ACB-60°，∠QMP ∠N.△AMQ是等 ∠NBC,. ∠MAB+ ∠ABQ- ∠NBC+ ABQ- ∠ABC=60成立.证明，AABC是等边E角形，：AB 边三角形..AM=QM,:AM=CN,.QM=CN.在△QMP和 ∠QPM-∠CPN, AB BABC BC. ∠ACB=60°，在△ABM和△BCN中 △CNP中，{∠QMP=∠N,.△QMP≌△CNP(AAs). BC. QM=CN. ∠ABM=∠BCN,∴，△ABM≌△BCN(SAS)..AM=BN, ,MP=NP.(2):△AMQ是等边三角形，MH⊥AC,∴.AH BM-CN, 第3课时等腰三角形的判定与反证法 HQ.r△QMP≌△CNP,QP=CP.PH=HQ+QP=zAC 5 1.B2B324.2 5.(1)3(2)2 AB=AC=a,PH=4. 6.证明：，BD是等边三角形ABC的中线，.BD⊥AC,∠ACB=60° 微专题2 ∴∠DBC=30°，BD=DE,. ∠DBC=30°，，∠CDE+ 1.122.43.B ∠E-∠ACB-60°，∴.∠E-∠CDE-30.∴.CD-CE 小专题2分类讨论思想在等腰三角形中的应用 .证明，'BE=CF,,BE十EF=CF+EF,即BF=CE,在△ABF和 1.C2.B3.B4.65.C6.35°7.26或38 AB-DC, 8.10或80或20成140°9.65液25°10.D △DCE中，∠B=∠C,'.△ABF2△DCE(SAS).,,∠AFB= 2直角三角形 BF=CE, ∠DEC,即∠GFE=∠GEF..GE=GF. 第1课时直角三角形的性质与判定 8.B9.三角形的三个内角都大于60°10.4011.120°或75”或30° 1.C2.123.65°4.(4,3) 12解：(1)证明：BD是△ABC的角平分线，，∠CBD=∠EBD 5.解：AD是边BC上的高，.∠ADB=90°.∠EPD-125 路八下·参考答案41