精品解析：浙江省宁波市鄞州中学2024-2025学年高一下学期返校测试数学试题

鄞州中学2024学年第二学期返校测试 高一年级数学学科试题 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 选择题部分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知都是实数，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则； D. 若，则 3. 已知，则（    ） A. B. C. D. 4. 已知为奇函数，则（    ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若，，，则（    ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知，满足，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 8. 设函数，对于给定的正数，定义函数若对于函数定义域内的任意，恒有，则（    ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列结论正确的是（    ） A. 命题“若，则”为真命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D. 命题“若，则且”为真命题 10. 已知函数（）相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（    ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上的值域为 D. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得 11. 已知定义在上的函数满足：，且，则下列说法中正确的是（    ） A. 是奇函数 B. 且 C. D. 可以是 非选择题部分 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 化简______. 13. 已知函数若，则_______. 14. 关于的方程有且仅有一个实数根，则的值为________. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若有两个不相等的实数根，求的取值范围. 17. 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为. （1）请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式； （2）2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗? 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上有三个不相等的实数根，求的值. 19. 小明同学在课外学习时发现以下定义，定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数.如图. 例如，函数在上为下凸函数. 通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）： 若是区间上的下凸函数，则对任意的，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.结合阅读材料回答下面的问题： （1）已知在上为下凸函数，若，求的最大值； （2）用定义严格证明：二次函数在上是下凸函数. （3）设，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄞州中学2024学年第二学期返校测试 高一年级数学学科试题 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 3.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 选择题部分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式解出集合，再求交集即可； 【详解】由集合可得且，所以， 所以. 故选：D. 2. 已知都是实数，则下列命题中真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则； D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】当时可判断A，B；当时可判断C；利用不等式的性质可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：若，，，则即，故选项A不正确； 对于B：若，，则即，故选项B不正确； 对于C：若，，可得，故选项C不正确； 对于D：若，则，所以，所以即， 故选项D正确； 故选：D. 3. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】拆角后由诱导公式和余弦二倍角公式计算即可； 【详解】. 故选：A. 4. 已知为奇函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的定义域，根据奇函数的定义域关于原点对称，可求得的值，验证后即可确定答案. 【详解】由题意得， 即，且，且， 由于为奇函数，则定义域关于原点对称， 故，即， 此时， 定义域为，且，且，关于原点对称， 且，即为奇函数，符合题意， 故. 故选：A. 5. 已知函数，若，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的单调性，比较，，大小关系，利用单调性求出． 【详解】函数在R上都单调递减，则函数在R上单调递减 ，，，， 即，所以. 故选：B 6. 如图，在四边形ABCD中，，设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的基底，利用向量的线性运算，结合几何图形求解即得. 【详解】依题意， . 故选：C 7. 已知，满足，则的最小值是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得，代入后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：B. 8. 设函数，对于给定的正数，定义函数若对于函数定义域内的任意，恒有，则（    ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到，求出函数的最小值代入即可. 【详解】因为函数的定义域为， 由复合函数的单调性知：函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值， 又因为函数定义域内的任意，恒有， 且可知， 所以，即的最大值为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列结论正确的是（    ） A. 命题“若，则”为真命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 已知命题“若，则方程有实数根”，则命题的否定为真命题 D. 命题“若，则且”为真命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据命题真假的判定可判断ACD；根据充分以及必要条件的判断可判断B. 【详解】对于A，时，则，故A正确； 对于B，时，；当时，或， 故“”是“”的充分不必要条件，B正确； 对于C，方程有实数根时，， 时，必有，故命题“若，则方程有实数根”为真命题， 则命题的否定为假命题，C错误； 对于D，时，且， 故命题“若，则且”为真命题，D正确， 故选：ABD 10. 已知函数（）相邻的最高点的距离为，则下列结论正确的是（    ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上的值域为 D. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，然后向左平移个单位得 【答案】BC 【解析】 【分析】先化简函数的解析式为，结合题意求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，化简得， 由题意知周期，得，所以， 对于A，当时，，，故A项错误； 对于B，当时，，，故B项正确； 对于C，当时，，故，故C项正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的， 得到，再向左平移个单位， 可得，故D项错误. 故选：BC. 11. 已知定义在上的函数满足：，且，则下列说法中正确的是（    ） A. 是奇函数 B. 且 C. D. 可以是 【答案】BCD 【解析】 【分析】赋值先令，解出，判断可得A错误；令可知是偶函数，再代入可得B正确；先由已知推导出是以4为周期的周期函数，再得到，然后由周期性可得C正确；代入特殊值可设，可得D正确. 【详解】因为，且的定义域为，关于原点对称， 对于选项A：令，则，解得或， 若，令时，， 这与矛盾，故，故A错误； 对于选项B：已证 令，则， 即，可知是偶函数， 当时，，故，故B正确； 对于选项C：当时，， 即，则， 所以，故是以4为周期的周期函数， 设，则是周期为4的周期数列， 又因为， 且，所以的前2025项和为，故C正确； 对于选项D：原关系式可类比两余弦和差化积公式 可设，经检验可知原条件均成立， 此时有，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是能够利用函数的周期性求解；D选项的关键是原关系式可类比两余弦和差化积公式，代入特殊函数求解. 非选择题部分 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 化简______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法运算可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知函数若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数计算即可得出参数. 【详解】因为，所以 所以. 故答案为：. 14. 关于的方程有且仅有一个实数根，则的值为________. 【答案】5 【解析】 【分析】将，转化为，令，根据题意，由求解. 【详解】由题意， 故， 即， 设， 则和均关于对称， 又有且仅有一根，故（否则至少有关于对称的两根）， 故，解得. 当时，，， 如图， 至少3个交点，故舍去. 当时，，， 故，当且仅当时取等号，此时有且仅有一个交点，符合. 故答案为：5 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出，然后根据交集的定义计算； （2）先判断出，然后分，求解. 【小问1详解】 由题意，当时，则，， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， ①当，即时，解得，此时满足题意； ②当，即时，解得， 因为，所以，则有， 综上：或. 16. 已知. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分计算不等关系再计算时根据一元二次不等式恒成立列不等式得出参数； （2）先换元设，再根据有两个不相等的正根列不等式计算求参即可. 【小问1详解】 ①当时，恒成立，符合题意. ②时，为二次函数，则， 解得， 综上，. 【小问2详解】 设，则，故有两个不相等的正根， 即有两个不相等的正根， 则，故. 17. 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数的图像.2025年2月10号鄞州区最高温度出现在14时，最高温度为；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为. （1）请推理鄞州区该时段的温度函数的表达式； （2）2月10日上午8时某高中将举行返校测试，如果温度高于，教室就不开空调，请问届时应该开空调吗? 【答案】（1）， （2）不开空调 【解析】 【分析】（1）根据已知条件代入点计算求参即可得出解析式； （2）应用已知代入求值即可判断. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，代入点 可得，所以， 所以， ； 【小问2详解】 当. 所以不开空调. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式及其单调递增区间； （2）将函数的图象上所有的点向左平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若方程在上有三个不相等的实数根，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象可求周期与振幅，再根据最高点可求初相位，从而可得函数解析式； （2）利用图象变换可求，根据在上的单调性可求的值，从而可求的值. 【小问1详解】 由图可得 又，所以，所以， 所以， 又因为过点， 所以， 又，所以， 所以. 令， 所以递增区间为. 【小问2详解】 将函数的图象上所有的点向左平移个单位， 则所得图象对应的解析式为， 再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象， 则， 当时，， 而在上为减函数，在上为增函数， 在上为减函数， 故在上为减函数，在上为增函数，为减函数， ，，故当时， 函数的函数图像如下， 因为在上有三个不相等的实数根，故. 且，， 所以，故. 19. 小明同学在课外学习时发现以下定义，定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，都有，则称为区间上的下凸函数.如图. 例如，函数在上为下凸函数. 通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）： 若是区间上的下凸函数，则对任意的，不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.结合阅读材料回答下面的问题： （1）已知在上为下凸函数，若，求的最大值； （2）用定义严格证明：二次函数在上是下凸函数. （3）设，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）函数的定义域为R，设， 则 ，当且仅当时取等号， 因此恒成立，所以二次函数是下凸函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据下凸函数的定义，列出不等式求解得答案； （2）结合下凸函数的定义，利用作差法证明即可； （3）构造并证明它在上为下凸函数，再利用琴生不等式求出最小值. 【小问1详解】 由在上为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号， 则，即,当且仅当时取等号，所以的最大值是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，设， 则 ，即， 于是函数在上为下凸函数， 依题意，， 因此 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：本题第3问，构造函数并证明其为下凸函数，再利用琴生不等式求出最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $