精品解析：陕西省渭南市临渭区渭南初级中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

渭南初级中学2024−2025学年度第二学期收心考 九年级数学试题 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 的计算结果是（ ） A. 6 B. C. D. 5 2. 某国产手机上市后，其各项技术均处于世界领先水平，被人们称为“遥遥领先”，该手机芯片的工艺仅有7纳米（1纳米米），将“7纳米”用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平分，过点作交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若将一次函数的图象按下列方式平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（　　） A. 向上平移3个单位长度 B. 向右平移3个单位长度 C. 向下平移3个单位长度 D. 向左平移3个单位长度 7. 如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 将二次函数（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点，则m的值为（ ） A. 0 B. 1或 C. 2或 D. 3或 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 因式分解： =___． 10. 如图，正六边形的边长为2，则的长为________． 11. 程序问题中的框图算法源于我国古代数学名著《九章算术》．如图，当输入x的值是1时，根据程序，第1次输出结果是8，将结果继续输入，第2次输出的结果是4，…，这样下去，第8次输出的结果是______． 12. 若直线与双曲线交于、两点，则的值为______． 13. 如图，在菱形中，点E是边的中点，P是菱形内一动点，连接，若，的面积为，则的最小值为________． 三、解答题 14. 计算：． 15. 求不等式的非负整数解． 16. 化简：． 17. 如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在和中，与交于点O，，请你再添加—个条件：______，使得，并说明理由． 19. 盲盒近些年来比较火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了年轻人的青睐．某商场计划采购进价为12元的生活用品盲盒和进价为26元的二次元动漫盲盒，若该商场用3400元采购了这两种盲盒共190盒，则二次元动漫盲盒采购了多少盒？ 20. 小明研究了自己感兴趣的4种生活现象，其中火箭发射、光合作用、葡萄酿酒的主要原理均为化学变化，冰雪消融为物理变化，他将这4种生活现象的图案分别制作成颜色、质地、大小都相同的4张卡片，卡片背面朝上放置． （1）若从这四张卡片中随机抽取一张卡片，则所抽取的卡片正面图案是物理变化的概率是 ； （2）若从这四张卡片中随机抽取两张卡片，请利用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片正面图案均为化学变化的概率． 21. 揽月阁，位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑．一天下午，小红和小军来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，估测揽月阁的高度，如图，小军在C处放一平面镜，然后沿方向向前走1米到达D处，此时小军恰好在镜子里看到揽月阁顶端A的像，接下来小军不动，小红在距离D处49米的F处测得顶端A的仰角为．已知点B、C、D、F在一条直线上，小军眼睛到地面的距离米，，求揽月阁的高度．（平面镜的大小忽略不计） 22. “绿电”即绿色电能，是指在生产电力过程中，二氧化碳排放量为零或趋近于零，相较于火力发电，对环境冲击影响较低的电力，绿电的主要来源为太阳能、风能等，为了解风力发电机组每天的发电量（记为），从风力发电机组中随机抽取若干台风力发电机，并统计每台风力发电机一天的发电量，将统计数据分成、、、、五组，绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，并补全频数分布直方图； （2）所抽取的风力发电机一天的发电量的中位数落在________组； （3）若该风力发电机组共有台风力发电机，请估计该风力发电机组中一天的发电量不少于万千瓦时的风力发电机有多少台？ 23. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器发射任务取得圆满成功！嫦娥六号探测器的发射成功，意味着我国正式开启世界首次月球背面采样返回之旅．某玩具店抓住商机，购进了一批航模玩具，按80元/件的定价进行销售，现推出如下表所示的优惠活动，设顾客在该店一次性购买航模玩具的数量为件时，付款总金额为元．请根据表中信息，解答下列问题： 顾客一次性购买数量 付款金额 不超过8件时 按定价付款 超过8件时 不超过8件的部分按定价付款 超过8件的部分按定价的八折付款 （1）求与之间的函数关系式； （2）若某顾客在该店一次性购买航模玩具20件，求该顾客共应付款多少元？ 24. 如图，内接于，是的直径，延长至点D，使得，连接交于点E，过点E作的切线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． （1）求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； （2）若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 26. 问题提出 （1）如图①，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最小值为________； 问题探究 （2）如图②，是正方形内一点，且，若，求的最小值； 问题解决 （3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形，其中，，千米，千米，观光园的设计者想在园中找一点，使得点与点、、、所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在的区域内，且区域的面积最小，试问在四边形内是否存在这样的点，使得，且的面积最小？若存在，请你在图中画出点的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南初级中学2024−2025学年度第二学期收心考 九年级数学试题 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 的计算结果是（ ） A. 6 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，掌握有理数乘法运算法则是解题的关键．根据有理数乘法法则计算可求解． 【详解】解：． 故选：B． 2. 某国产手机上市后，其各项技术均处于世界领先水平，被人们称为“遥遥领先”，该手机芯片的工艺仅有7纳米（1纳米米），将“7纳米”用科学记数法表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：∵1纳米米， ∴7纳米（米）， 故选：D． 3. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用合并同类项法则，单项式除以单项式法则，积的乘方法则，单项式乘以单项式法则逐项判定即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故不符题意； B．，故不符合题意； C． ，故不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 4. 如图，平分，过点作交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点；由邻补角的性质可求出，由平行线的性质可求出，由角平分线的定义可求出，再由平行线性质即可求出答案； 【详解】， ， ， ， 平分， ， ， ， 故选：A； 5. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，取格点，连接，，则共线，根据勾股定理及其逆定理得到，所以，再利用正弦定义求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 根据网格特点，共线， 因为每个小正方形的边长均为， 所以由勾股定理得：，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：． 6. 若将一次函数的图象按下列方式平移后经过原点，则下列平移方式正确的是（　　） A. 向上平移3个单位长度 B. 向右平移3个单位长度 C. 向下平移3个单位长度 D. 向左平移3个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移．熟练掌握上加下减是解题的关键． 根据一次函数图象的平移，根据一次函数的平移法则：上加下减求解作答即可． 【详解】解：由题意知，一次函数向上平移3个单位后的解析式为，过原点， 故选：A． 7. 如图①，是一个壁挂铁艺盆栽，花盆外围为圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和所围成的区域为种植区．已知，的半径为17，则种植区的最大深度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关知识以及垂径定理，如图，作交于点，交于点，连接，然后利用勾股定理求出，最终可求得的长，根据垂径定理正确的利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， 则种植区的最大深度为9 故选：． 8. 将二次函数（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点，则m的值为（ ） A. 0 B. 1或 C. 2或 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，先求出平移后的解析式，再把代入解析式求值即可，熟练掌握二次函数平移的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴将二次函数（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到，即， ∵经过点， ∴， 解得， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 因式分解： =___． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：． 10. 如图，正六边形的边长为2，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点G，根据正六边形的边长为2，得到，继而得到，，结合解答即可． 本题考查了正多边形的性质，特殊角的三角函数值，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】过点C作于点G， ∵正六边形的边长为2， ∴， ∴，， ∴， ∴, 故答案为：． 11. 程序问题中的框图算法源于我国古代数学名著《九章算术》．如图，当输入x的值是1时，根据程序，第1次输出结果是8，将结果继续输入，第2次输出的结果是4，…，这样下去，第8次输出的结果是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键．通过计算发现，每次输出的结果，，，循环出现，则可知第次计算输出的结果与第4次计算输出的结果相同，由此求解即可． 【详解】解：输入x的值是1时， 第1次输出结果是8， 第2次输出的结果是4， 第3次输出的结果是2， 第4次输出的结果是1， 第5次输出的结果是8， 第6次输出的结果是4， 第7次输出的结果是2， 第8次输出的结果是1， 故答案为：1． 12. 若直线与双曲线交于、两点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题．根据反比例函数和正比例函数均是中心对称图形可知，，代入代数式解题即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于、两点， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，点E是边的中点，P是菱形内一动点，连接，若，的面积为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，由的面积是3可求出点P到得距离为，在直线上方距离直线为得位置作直线，点关于直线对称，连接，连接交与F，可得当三点共线时，最小，即此时，最小值为，据此利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵菱形，，E是的中点， ， ， ∴点P到得距离为， 如图所示，在直线上方距离直线为的位置作直线，点关于直线对称，连接，连接交与F， 由轴对称的性质可得，，， ，， ∴当三点共线时，最小，即此时，最小值为， 在中，由勾股定理得， 故的最小值为． 故答案是：． 三、解答题 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，有理数的乘方，特殊角的三角函数值，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】原式 15. 求不等式的非负整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，以及不等式的非负整数解，先去分母，移项，再合并同类项，再把系数化，即可求出不等式的解集，然后写出非负整数解即可． 【详解】解：去分母得 移项得 合并得 系数化为得 ∴非负整数解为：，． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的分式的减法，再将除法转化为乘法，结合因式分解和分式的性质化简原式即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在四边形中，，点为边上一点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点作于点即可． 【详解】略 18. 如图，在和中，与交于点O，，请你再添加—个条件：______，使得，并说明理由． 【答案】 ∵，， ∴若添加，利用“”可证明； 若添加，利用“”可证明； 若添加或，利用“”可证明， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定结合已知条件添加条件即可． 【详解】略 19. 盲盒近些年来比较火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了年轻人的青睐．某商场计划采购进价为12元的生活用品盲盒和进价为26元的二次元动漫盲盒，若该商场用3400元采购了这两种盲盒共190盒，则二次元动漫盲盒采购了多少盒？ 【答案】80盒 【解析】 【分析】设二次元动漫盲盒采购了盒，则生活用品盲盒盒，可列出一元一次方程为，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【详解】设二次元动漫盲盒采购了盒，则生活用品盲盒盒， 根据题意，得， 解得． 答：二次元动漫盲盒采购了80盒． 20. 小明研究了自己感兴趣的4种生活现象，其中火箭发射、光合作用、葡萄酿酒的主要原理均为化学变化，冰雪消融为物理变化，他将这4种生活现象的图案分别制作成颜色、质地、大小都相同的4张卡片，卡片背面朝上放置． （1）若从这四张卡片中随机抽取一张卡片，则所抽取的卡片正面图案是物理变化的概率是 ； （2）若从这四张卡片中随机抽取两张卡片，请利用画树状图或列表的方法，求抽取的两张卡片正面图案均为化学变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：若从这四张卡片中随机抽取一张卡片，则所抽取的卡片正面图案是物理变化的概率是． 【小问2详解】 解：将火箭发射、光合作用、冰雪消融、葡萄酿酒分别用A，B，C，D表示，画树状图如答案图， 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面图案均为化学变化的有6种结果，所以抽取的两张卡片正面图案均为化学变化的概率． 21. 揽月阁，位于西安市雁塔南路最高点，承接大明宫、大雁塔，是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑．一天下午，小红和小军来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，估测揽月阁的高度，如图，小军在C处放一平面镜，然后沿方向向前走1米到达D处，此时小军恰好在镜子里看到揽月阁顶端A的像，接下来小军不动，小红在距离D处49米的F处测得顶端A的仰角为．已知点B、C、D、F在一条直线上，小军眼睛到地面的距离米，，求揽月阁的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】100米 【解析】 【分析】根据，得到；根据光的反射原理，得到继而得到即，解答即可． 本题考查了跨学科综合，正切函数，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正切函数，跨学科综合是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∴； 根据光的反射原理，得到, ∴即， ∵， ∴即， ∴， 解得， ∴， 故的高度为100米． 答：的高度为100米． 22. “绿电”即绿色电能，是指在生产电力过程中，二氧化碳排放量为零或趋近于零，相较于火力发电，对环境冲击影响较低的电力，绿电的主要来源为太阳能、风能等，为了解风力发电机组每天的发电量（记为），从风力发电机组中随机抽取若干台风力发电机，并统计每台风力发电机一天的发电量，将统计数据分成、、、、五组，绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是________，并补全频数分布直方图； （2）所抽取的风力发电机一天的发电量的中位数落在________组； （3）若该风力发电机组共有台风力发电机，请估计该风力发电机组中一天的发电量不少于万千瓦时的风力发电机有多少台？ 【答案】（1）， 补全频数分布直方图如图： （2） （3）台 【解析】 【分析】本题考查了数据分析与统计图结合，正确从统计图中得出关键信息并会分析是解题关键． （1）利用组频数和占总体百分比即可求样本容量，再求组频数，即可画图； （2）根据中位数的定义判断即可； （3）利用样本估计总体的方法即可求解． 【小问1详解】 解：∵组频数为，占总体百分比为， ∴调查的样本容量为， ∴组频数为， 【小问2详解】 ∵总数为， ∴中位数为从小到大排列后的第和第的平均数， 从图可知第和第个数都在组， ∴中位数落在组， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵样本中一天的发电量不少于万千瓦时的风力发电机有（台），样本容量为， ∴台风力发电机，一天的发电量不少于万千瓦时的风力发电机有（台）． 23. 2024年5月3日，嫦娥六号探测器发射任务取得圆满成功！嫦娥六号探测器的发射成功，意味着我国正式开启世界首次月球背面采样返回之旅．某玩具店抓住商机，购进了一批航模玩具，按80元/件的定价进行销售，现推出如下表所示的优惠活动，设顾客在该店一次性购买航模玩具的数量为件时，付款总金额为元．请根据表中信息，解答下列问题： 顾客一次性购买数量 付款金额 不超过8件时 按定价付款 超过8件时 不超过8件的部分按定价付款 超过8件的部分按定价的八折付款 （1）求与之间的函数关系式； （2）若某顾客在该店一次性购买航模玩具20件，求该顾客共应付款多少元？ 【答案】（1） （2）某顾客在该店一次性购买航模玩具20件，求该顾客共应付款1408元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表中信息，进行列式化简，即可作答． （2）根据，则把代入，进行列式化简，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意， 当时，则； 当时，则； ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵ ∴把代入中， 得出 ∴某顾客在该店一次性购买航模玩具20件，求该顾客共应付款1408元． 24. 如图，内接于，是的直径，延长至点D，使得，连接交于点E，过点E作的切线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，切线的性质，平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）延长交于，根据圆周角定理得到，根据矩形的性质得到，，证明，求得，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于， 是的直径， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，垂径定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 25. 根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． （1）求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； （2）若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 【答案】（1） （2）补光灯悬挂部分的长度应是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）根据图象，利用待定系数法即可求解； （2）当时，得，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据图中的坐标系以及题意可得，点P的坐标为，点B的坐标为， 抛物线的顶点坐标为点， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得：． 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 ， 当时，， ， 补光灯悬挂部分的长度应是． 26. 问题提出 （1）如图①，是半径为的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为，则线段的最小值为________； 问题探究 （2）如图②，是正方形内一点，且，若，求的最小值； 问题解决 （3）随着社会发展，农业观光园走进了我们的生活，某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形，其中，，千米，千米，观光园的设计者想在园中找一点，使得点与点、、、所连接的线段将整个观光园分成四个区域，用来进行不同的设计与规划，从实用和美观的角度他们还要求在的区域内，且区域的面积最小，试问在四边形内是否存在这样的点，使得，且的面积最小？若存在，请你在图中画出点的位置，并求出的最小面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） ∵千米，是定值，， ∴点的轨迹为以为弦，圆周角的圆上部分， 即以为边向下作等边三角形，作的外接圆，点轨迹是（不包括，）， 连接，，作于，交于，作于，延长交于， 的最小面积为 【解析】 【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键． （1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可判定； （2）利用定直线定角，先确定点的轨迹为圆上部分，再确定最值即可求解； （3）利用定直线定角，先确定点的轨迹为圆上部分，连接，，作于，交于，作于，延长交于，当时，的值最小，此时的面积最小． 【小问1详解】 解：过点作，交于点， 由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变， 可知此时最小， 最小值为， 故答案为； 【小问2详解】 ∵是定值，， ∴点的轨迹在以为直径的圆上部分，如图， 连接，交圆于点， 此时的即为的最小， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； 【小问3详解】 当时，的值最小，此时的面积最小， 由题意，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $