精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三个角分别相等的两个三角形是全等三角形 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 对顶角相等 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 6. 的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是元，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知图形是由直径为a的两个半圆叠拼而成，．请用含a的代数式表示图中阴影部分的面积（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，P为上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，过C作交AH延长线于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为______． 13. 不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的个红球，个黑球，个白球，从袋子中随机摸出个球，摸出的两个球颜色不同的概率为______． 14. 已知关于x的不等式组至少有三个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数m的值之和为______． 15. 如图，是的直径，弦垂直平分交于点E，F为上一点，连接，，过C点作交于点G，若，，则的长度为______；连接，，，则四边形的面积为______． 16. 如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“春暖花开数”．例如：四位数2153，，2153是“春暖花开数”；又如四位数3287，，3287不是“春暖花开数”．若是一个“春暖花开数”，记，当s为完全平方数时，则______；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M的和为______． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 化简：（1） （2） 18. 如图，在四边中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 19. 家是最小国，国是千万家，维护国家安全，人人有责，人人可为．年月日是第九个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：不合格，合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，， 八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，，， 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 八年级 七年级抽取学生的竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，，的值； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国安知识”掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有人，八年级有人参加此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在分及以上的学生人数共有多少人？ 20. 某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． （1）求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ （2）若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 21. 如图1，在矩形中，，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点E是线段上一动点，满足，设点P、Q运动的时间都为x（），点P到的距离与点P到的距离的和为，点E到的距离为． （1）请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 22. 2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点在起点的东北方向．路线从起点出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点 ，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点；路线从起点出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点，再沿正北方向的步道跑米即可到达终点C．（参考数据：） （1）求的长度；（结果精确到米） （2）某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线，他的平均速度为米分钟，小鹏选择了路线，他的平均速度为米分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 24. 如图，在三角形中，，，D为上一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若点D在边上，延长交于点E，，，求的长； （2）如图2，若点D在延长线上，延长交于点E，交于点G，求证：； （3）若点D在边上，P为边上一点，，N为上方一点，，，连接，H为上一点，，当取得最大值时，将线段绕点D旋转得到线段，连接，线段绕点B逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 下列几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图的定义结合几何体的特点判断即可． 【详解】解：A.圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意； B.圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意； C.球体的主视图是圆形，故此选项不符合题意； D.三棱柱的主视图是长方形，中间有一条实线，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所观察的位置和基本图形的三视图． 3. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解是把多项式分解成几个因式乘积的性质，进行判断作答即可． 【详解】解：，故A不符合要求； ，故B不符合要求； ，故C符合要求； 不是乘积形式，故D不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于熟练掌握因式分解的定义及方法． 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． 与的面积比为， 与的相似比为，即． ． 故选：D 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三个角分别相等的两个三角形是全等三角形 B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C. 对顶角相等 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定、平行线的性质、对顶角的性质、菱形的性质等知识点逐项判断即可解答． 【详解】解：A、三个角分别相等的两个三角形不一定是全等三角形，故A选项不符合题意； B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故B选项不符合题意； C、对顶角相等，故C选项符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质、对顶角的性质、菱形的性质等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 6. 的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算．先计算出原式等于，再根据，即可求解，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴ ∴的值应在7和8之间， 故选：D． 7. 一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是元，那么所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，首先理解题意找出题中存在的等量关系：售价−−进价==利润，根据等量关系列方程即可，列方程的关键是正确找出题目的相等关系，此题应弄清楚两次单位“1”的不同． 【详解】解：设这种自行车每辆的进价是元，由题意可得， 故选：D． 8. 已知图形是由直径为a的两个半圆叠拼而成，．请用含a的代数式表示图中阴影部分的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，求阴影部分面积等知识点，根据题图形正确列出代数式是解题关键．根据“阴影部分的面积”即可列出代数式． 【详解】解：阴影部分的面积 ， 故选：A． 9. 如图，在正方形中，P为上一点（点P不与点B，C重合），于G，并交于点H，过C作交AH延长线于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作交于点，过点作交延长线于点，利用正方形的性质证出，得到，得到，再结合得到是等腰直角三角形，；利用得到是等腰直角三角形，，再通过证明得到，最后利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交延长线于点， 正方形， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 又， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，； ， ， ，， ，， ，， 是等腰直角三角形，， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式中的探究规律，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． ①当，时，可得 ，，，，，即可求解； ②若，分类讨论：时；当时，当时，当时，当时，分别进行求解，即可判断； ③分类讨论：当时，当时，当时， 当时，当时，当时，同理可求． 【详解】解：①当，时， ，，…，为自然数，且， ，，，，， ， 故①错误． ②若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，有个； 当时， ， 为，，，，，， 有个； 当时， ， 为，， ， ， 有个； 当时， ， 为， 有个； 存在一个（），使得满足条件的整式有且仅有6个； 故②正确． ③当时， 当时， 整式：， 有1个； 当时， 时， 整式：； 时， 整式：， 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、，有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、、，有个； 时， 整式为， 为，，， 有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时，由②得此时共有：个； 若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，4，有5个； 当时， ， 为，，，，，，，，，， 有10个； 当时， ， 为，，，，， ， 有6个； 当时， ， 为，，，，， ∴有4个， 当时， ， 为， ∴有1个， 此时共有：个； 综上所述：共有个， 故③错误． 因此正确的结论是②，共1个． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了乘方，零次幂的计算，掌握乘方运算法则，零次幂的计算方法是解题的关键． 根据乘方运算法则，非零数的零次幂的计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：0 ． 12. 若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据多边形内角和定理求出五边形的内角和，再减去即可得到答案． 【详解】解：由题意得，其余四个内角之和为， 故答案为：． 13. 不透明的袋子中装有除颜色不同外其它完全相同的个红球，个黑球，个白球，从袋子中随机摸出个球，摸出的两个球颜色不同的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及用概率公式求概率，掌握以上知识点是解答本题的关键． 画出树状图得到种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果有种，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色不同的结果数为， 所以摸出的两个球颜色不同的概率， 故答案为：． 14. 已知关于x的不等式组至少有三个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数m的值之和为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题的关键，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于y的方程的解的情况求出的取值范围，然后求出满足条件的的值，即可得出答案． 【详解】解：解关于的一元一次不等式组，得， 根据题意得，， ， 解关于y的分式方程，得， 分式方程的解为整数， 的解为整数为或或或， 的值为7或或或或3或2或0， 满足条件的整数的值为3，7， 所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：10． 15. 如图，是的直径，弦垂直平分交于点E，F为上一点，连接，，过C点作交于点G，若，，则的长度为______；连接，，，则四边形的面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由，弦垂直平分交于点E，根据勾股定理求出的长，根据含角的直角三角形的性质以及垂径定理，得到等边，由圆周角定理得到，结合，得到，通过，设，依次表示出，，，在中通过勾股定理，求出，在中即可求出，过点作，根据圆周角定理得到，设，，，在中根据，解得：，分别求出，，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，弦垂直平分交于点E， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴，，， 在中，， 在中，，， 过点作I于， ∵， 设，则，， 在中，，即， 解得： 或（舍）， ∴， ， ， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理解三角形，含角的直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握圆周角定理，得到，． 16. 如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“春暖花开数”．例如：四位数2153，，2153是“春暖花开数”；又如四位数3287，，3287不是“春暖花开数”．若是一个“春暖花开数”，记，当s为完全平方数时，则______；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M的和为______． 【答案】 ①. 6 ②. 18275 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及完全平方公式，熟练掌握因式分解及完全平方数是解题的关键；由题意易得，，然后可得的值，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵是一个“春暖花开数”， ∴， ∵， ∴， ∵s为完全平方数，且， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵，且、互不相等， ∴， ∵为整数， ∴，或，， 当，时，解得：，，此时，，，，； 当，时，解得：，，此时，，，； 综上所述，或8593， ∴它们的和为； 故答案为6；18275． 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 化简：（1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）分别计算多项式的乘法和完全平方公式，再合并同类项即可； （2）先计算括号内，同时将括号外的除法化为乘法，再分别对分式的分子能因式分解的因式分解，然后约分即可． 【详解】解：（1）原式= = =； （2）原式= = =． 【点睛】本题考查整式的混合运算，分式的混合运算．（1）中熟记多项式乘多项式法则和完全平方公式是解决此题的关键，需注意该整式第二项展开去括号时因为括号前是负号，所以要给括号内变号；（2）中熟练掌握分式混合运算的运算顺序是解决此题的关键． 18. 如图，在四边中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴①______， ∵ ∴②______ ∵在和中 ∴，∵ ∴四边形BFDE为平行四边形 ∵④______ ∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______． 【答案】（1）见解析 （2），，，，得到的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法． （1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，证明，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； 【小问2详解】 证明：∵垂直平分 ∴①， ∵ ∴② ∵在和中， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵④ ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形． 19. 家是最小国，国是千万家，维护国家安全，人人有责，人人可为．年月日是第九个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：不合格，合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，， 八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，，， 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 八年级 七年级抽取学生的竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，，的值； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国安知识”掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有人，八年级有人参加此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】（1），，； （2）八年级学生对“国安知识”掌握更好，理由见解析； （3）估计两个年级此次竞赛成绩在分及以上的同学有人 【解析】 【分析】（）找出七年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出的值，找出八年级成绩出现次数最多的数为八年级成绩的众数，根据即可求出的值； （）根据中位数和满分率进行判断即可； （）分别求出七、八年级学生竞赛成绩在分及以上的同学再乘以相应人数再相加即可求解； 本题考查了条形统计图、中位数、众数、平均数，样本估计总体，理解中位数、众数的计算方法是解题关键． 【小问1详解】 解：七年级中位数为良好的第和个的平均数：， 八年级的满分的人数（人），八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组人数为人， ∴八年级的众数为， 由，则， ∴，，； 【小问2详解】 解：八年级学生对“国安知识”掌握更好， 理由：八年级学生“国安知识”竞赛成绩中位数大于七年级学生“国安知识”竞赛成绩中位数，八年级的满分率大于七年级的满分率， ∴八年级学生对“国安知识”掌握更好； 【小问3详解】 解：， 答：估计两个年级此次竞赛成绩在分及以上的同学有人． 20. 某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． （1）求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ （2）若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 【答案】（1）购买1件甲种奖品需35元，1件乙种奖品需20元 （2）甲种奖品最多能购买16件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法和一元一次不等式，根据题意列出正确的方程和不等式是解题的关键． （1）根据甲种商品和乙种商品的数量相同列出方程； （2）根据总费用不超过元列出不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：假设购买一件乙种奖品需元，则由题意得： ， 解得：． 经检验：是原方程的解且符合题意； ∴ ， 即一件甲种奖品需元，一件乙种奖品需元． 答：购买件甲种奖品需元，件乙种奖品需元． 【小问2详解】 解：设甲种奖品最多能购买件， 由题意得： ， 解得：． 答：甲种奖品最多能购买件． 21. 如图1，在矩形中，，，对角线交于点O．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着运动，同时动点Q从点B出发，以相同的速度沿运动，点E是线段上一动点，满足，设点P、Q运动的时间都为x（），点P到的距离与点P到的距离的和为，点E到的距离为． （1）请直接写出，关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）, （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分别求出函数关于x的函数关系式及自变量的取值范围，根据三角形面积公式得到，即可得到关于x的函数关系式及自变量的取值范围即可； （2）根据自变量的取值范围画出函数图象即可，并写出的一条性质即可； （3）根据函数图象的交点横坐标及函数图象即可得到答案. 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∴， ∴， 当时，如图，作，，垂足分别为点F和点G， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， 当时，如图，作，，垂足分别为点M和点N， 则， ∴，， 即，， ∴，， ∴当时，， ∴； ∵．点E到的距离为． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示： 在时，函数随着x的增大而增大；时，函数随着x的增大而减小 【小问3详解】 解：根据图象估计当时，即函数图象在函数图象下方， 此时x的取值范围是或． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质、解直角三角形、反比例函数的图象和性质等知识，数形结合正确列出函数解析式是解题的关键． 22. 2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点在起点的东北方向．路线从起点出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点 ，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点；路线从起点出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点，再沿正北方向的步道跑米即可到达终点C．（参考数据：） （1）求的长度；（结果精确到米） （2）某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线，他的平均速度为米分钟，小鹏选择了路线，他的平均速度为米分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到） 【答案】（1）的长度约为米 （2）小鹏会先到达终点 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点D作于点E，在中，求出（米），在中，求出（米），进而求解即可； （2）如图，过点A作交的延长线于点F，首先得到米，在中，求出米，在中，求出米，得到（米），然后分别求出小轩走路线①需要的时间和小鹏走路线②需要的时间，进而比较求解即可． 【小问1详解】 如图，过点D作于点E， 由题意，得，，米 在中，（米）． 在中，（米） （米）． 答：的长度约为米； 【小问2详解】 如图，过点A作交的延长线于点F， 由题意，知， 由（1）知米， 在中，米 在中，米， 米 （米） 在中，（米）， 小轩走路线①需要的时间为：（分钟）． 小鹏走路线②需要的时间为：（分钟）． ，小鹏会先到达终点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点M． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点F是线段上一动点（点F不与端点A，D重合），过点F作，交抛物线于点E（点E在对称轴左侧），过点E作轴，垂足为H，交于点G，点N是线段上一动点，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点P为平移后的抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，连接，过点作，连接，根据最大时，最大，利用二次函数的性质，求出点坐标，进而求出点坐标，求出，得到，结合垂线段最短得到时，最小，进行求解即可； （3）求出平移后的解析式，求出，连接，过点作轴于点，则四边形为正方形，得到，分两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 设，则：， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，最大，此时最大， ∴，， ∴， 连接， ∵，， ∴，同法可得直线的解析式为：， ∴， ∴， 过点作，连接，则：， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小为的长， 设与轴交于点，连接， ∵，当时，， ∴， ∴轴，， ∴， ∴， ∴的最小值为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：，则直线的解析式为， ∴为二，四象限的角平分线， ∴抛物线沿方向平移个单位，相当于先向左平移3个单位，再向上平移3个单位， ∴， 连接，过点作轴于点，则四边形为正方形， ∴， ①在上方取点，过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在射线上， ∴点为射线与抛物线的交点， 同（2）法可得直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴； ②在下方取点，过点作， 同法可得：， 点为射线与抛物线的交点，同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，胡不归问题，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 24. 如图，在三角形中，，，D为上一点，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若点D在边上，延长交于点E，，，求的长； （2）如图2，若点D在延长线上，延长交于点E，交于点G，求证：； （3）若点D在边上，P为边上一点，，N为上方一点，，，连接，H为上一点，，当取得最大值时，将线段绕点D旋转得到线段，连接，线段绕点B逆时针方向旋转得到线段，直接写出的最大值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，以为边作等边三角形，连接，交于M， ∴，， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作于G，设，根据等边对等角，得出，利用锐角三角函数得出，，，，从而求出，则，，，由旋转的性质可得，进而推出，得到，即可求解； （2）以为边作等边三角形，连接，交于M，结合旋转的性质，证明，得到，，进而得出，由三线合一的性质，得到，，从而推出，，再根据相似三角形对应边成比例，得出，即可得证； （3）根据题意，可以固定，使进行变动，以为边作等边三角形，以O为圆心，为半径作圆O，结合圆周角定理，可得点B在上运动，当点B在的延长线上时（图中），最大为的长，设交于G，此时，从而求出，再根据锐角三角函数求出，将绕点B逆时针旋转至，则点在以为圆心，2为半径的圆上运动，连接并延长，交与K，则最大，推出，利用勾股定理得出，即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，作于G， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴是固定大小的等腰三角形， ∴可以固定，使进行变动， 如图3，以为边作等边三角形，以O为圆心，为半径作圆O， ∵，， ∴， ∴点B在上运动， ∴当点B在的延长线上时（图中），最大为的长， 设交于G，此时， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段绕点D旋转得到线段， ∴， 将绕点B逆时针旋转至， ∴， ，， ∴点在以为圆心，2为半径的圆上运动， 连接并延长，交与K，则最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴最大值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形的应用，圆的定义及圆周角定理，二次根式，熟练掌握这些性质与判定，并掌握轨迹圆和主动从动圆是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $