精品解析：江西省赣州市瑞金市2024—2025学年九年级上学期第二次月考数学试题（12月 ）

九年级数学12月作业训练试卷 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 掷一次骰子，向上一面点数是7 D. 明天的太阳从东方升起 3. 以下有关抛物线的结论，正确的是（ ）． A. 开口向上 B. 与y轴的交点坐标是 C. 与x轴只有一个交点 D. 顶点坐标是 4. 如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（ ） A. B. （1，） C. （2，2） D. （3，2） 6. 点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线，若，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____________． 9. 如图，在中，D是边上的一点，以为直径的交于点E，连接．若与相切，，则的度数为________． 10. 已知圆锥的底面圆半径为，侧面积为，则这个圆锥的母线长为______． 11. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转45°后得到Rt△ADE，则CD= ______ ． 12. 如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 三、解答题（共6小题，每小题5分，共30分） 13. 小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）， ，（第五步）． （1）小明解答过程中从第_____________步开始出错的； （2）请写出此题正确的解答过程． 14. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 15. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 16. 请仅用无刻度的直尺作图． （1）如图①，是的内接三角形，点P在上一点，且．画出中的平分线； （2）如图②，是的内接三角形，D是的中点，画出中的平分线． 17. 2024年9月20日消息，上海女足获得2024第三届中国青少年足球联赛（女子高中年龄段组）冠军在一次足球训练中，运动员张洁从球门正前方的点O处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以点O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球？ 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当时，求的长． 19. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 20. 已知绕点逆时针旋转后得到，若点在边上，延长交于点，交于点， （1）旋转角为______，的形状是______ （2）判断与的位置关系，并说明理由． （3）判断之间的关系，并说明理由． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的图，称为该二次函数的坐标圆． （1）二次函数； ①求该二.次函数与、坐标轴的交点、、的坐标； ②已知点，以为圆心，为半径作图，请判断是不是该二次函数的坐标圆，并说明理由； （2）已知二次函数图象的顶点为，交轴于点，二次函数的坐标圆的圆心在函数对称轴上，求周长最小值． 22. 【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编） 12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编． （1）如下是同学小安改编的题目： 如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目． （2）同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编： 如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目． 六、解答题（共1小题，每小题12分） 23. 【探究与证明】 活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般 （1）当时，四边形的形状为 ；（直接写出答案） （2）如图②，当时，连接，求此时的面积； （3）如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明； （4）是否存在，使点三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学12月作业训练试卷 一、单选题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解∶A是中心对称图形，但不是轴对称图形，则A不符合题意； B是轴对称图形，但不是中心对称图形，则B不符合题意； C是中心对称图形，但不是轴对称图形，则C不符合题意； D是轴对称图形又是中心对称图形，则D符合题意． 故选∶ D． 2. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 掷一次骰子，向上一面点数是7 D. 明天的太阳从东方升起 【答案】B 【解析】 【详解】选项A、D是必然事件；选项C是不可能事件；选项B是随机事件.故选B. 3. 以下有关抛物线的结论，正确的是（ ）． A. 开口向上 B. 与y轴的交点坐标是 C. 与x轴只有一个交点 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误即可得出结论． 【详解】A.∵a=-1＜0， ∴抛物线开口向下，故A错误； B.∵当x=0时，y=-3， ∴抛物线与y轴的交点坐标是(0,-3)，故B错误； C.∵， ∴抛物线与x轴有两个交点，故C错误； D.∵抛物线， ∴顶点坐标是（2,1），故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系是解题的关键． 4. 如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（ ） A. B. （1，） C. （2，2） D. （3，2） 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，连接，作于Q，由正六边形的性质得到，得到，勾股定理求出，再证得四边形是矩形，得到，即可得到点P的坐标 【详解】如图，连接，作于Q， 由正六边形的性质可得． 在中，． ∴． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P的坐标为． 6. 点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线，若，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解． 根据，可确定出对称轴的取值范围． 【详解】解：∵， ， 解得：， ， ， ∵抛物线的对称轴为直线，即， ， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小杰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“夏至”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“夏至”的概率是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：从中随机抽取一张，有四种等可能的情况， 其中抽到“夏至”有两种等可能的情况， ． 故答案为：． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 如图，在中，D是边上的一点，以为直径的交于点E，连接．若与相切，，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据是直径，可得，再根据与相切，可得，再根据直角的定义及角度等量替换关系即可得到． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∴ ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是熟知切线的性质． 10. 已知圆锥的底面圆半径为，侧面积为，则这个圆锥的母线长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 由题意得：， 解得：， ∴这个圆锥的母线长为 故答案为：5． 11. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转45°后得到Rt△ADE，则CD= ______ ． 【答案】2-2 【解析】 【详解】分析：先根据勾股定理求AC，再根据旋转性质，得AD=AB=2,再求CD. 详解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2， 所以，AC=, 将Rt△ABC绕A点逆时针旋转45°后得到Rt△ADE， 所以，AD=AB=2, 所以，CD=AC-AD=2-2 故答案为2-2 点睛：本题考核知识点：旋转性质和勾股定理. 解题关键点：利用旋转得对应边相等. 12. 如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 【答案】或或2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 三、解答题（共6小题，每小题5分，共30分） 13. 小明在解方程时出现了错误，解答过程如下： （第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）， ，（第五步）． （1）小明解答过程中从第_____________步开始出错的； （2）请写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）一 （2） ， ， ， ， ，． 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程的知识， （1）移项之后，需要变号，据此即可判断； （2）根据配方法作答即可． 【小问1详解】 ，故小明解答过程中从第一步开始出错的， 故答案为：一； 【小问2详解】 略 14. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率 （2）预计该商场七月份投入资金将达到万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 【小问1详解】 解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； 【小问2详解】 解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 15. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 16. 请仅用无刻度的直尺作图． （1）如图①，是的内接三角形，点P在上一点，且．画出中的平分线； （2）如图②，是的内接三角形，D是的中点，画出中的平分线． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了根据垂径定理的基本作图，熟练掌握定理是解题的关键． （1）连接，根据等弧所对的圆周角相等得到即可． （2）连接并延长交于E，连接，根据垂径定理得到，进而得到即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 2024年9月20日消息，上海女足获得2024第三届中国青少年足球联赛（女子高中年龄段组）冠军在一次足球训练中，运动员张洁从球门正前方的点O处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以点O为原点建立如图所示平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球？ 【答案】（1） （2） 解：能进球，理由如下： 当时，， ∵， ∴此次射门在不受干扰的情况下能进球． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线的顶点坐标设出解析式是解题的关键． （1）由题意可知抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，代入求出值即可求得抛物线解析式． （2）把代入求出y值与比较即可判断． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点为， ∴设抛物线为． ∵抛物线过， ∴，解得：， ∴抛物线表达式为，即． 【小问2详解】 略 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：是半圆O的直径， ， ， ， ， 是半圆O的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，即可得，进而可证得结论； （2）连接，证明为等边三角形，求得，利用弧长公式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ． 19. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； 【小问3详解】 ， 当时，有最大值． 20. 已知绕点逆时针旋转后得到，若点在边上，延长交于点，交于点， （1）旋转角为______，的形状是______ （2）判断与的位置关系，并说明理由． （3）判断之间的关系，并说明理由． 【答案】（1），等腰直角三角形； （2） ，理由如下： ∵绕点逆时针旋转后得到， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ （3） ，理由如下： 由旋转可知，， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵的形状是等腰直角三角形， ∴， ∴ 即 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质进行解答即可； （2）利用旋转得到，进一步得到，则，即得到证明结论； （3）证明，得到的形状是等腰直角三角形，，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∵绕点逆时针旋转后得到， ∴与是对应边，等于旋转角， ∴旋转角为，的形状是等腰直角三角形； 故答案为：，等腰直角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的图，称为该二次函数的坐标圆． （1）二次函数； ①求该二.次函数与、坐标轴的交点、、的坐标； ②已知点，以为圆心，为半径作图，请判断是不是该二次函数的坐标圆，并说明理由； （2）已知二次函数图象的顶点为，交轴于点，二次函数的坐标圆的圆心在函数对称轴上，求周长最小值． 【答案】（1）①； ②是二次函数的坐标圆，理由为： ∵二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为， ∵，，， ∴， 故是二次函数的坐标圆； （2）6 【解析】 【分析】（1）①令和求得该二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标；②利用两点坐标距离公式和圆的定义判断三个点是否在上，进而根据题中定义作出判断； （2）连接，的周长为，当点C、P、共线时取等号，进而可求解． 【小问1详解】 解：①当时，， 当时，， 解得， ∴点、、的坐标分别为； ②略 【小问2详解】 解：连接，则， ∴的周长为，当点C、P、共线时取等号， ∵，， ∴，， ∴周长最小值为6． 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合，涉及二次函数图象与坐标轴的交点、圆的定义、最短路径问题、坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 22. 【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编） 12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分． 【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编． （1）如下是同学小安改编的题目： 如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目． （2）同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编： 如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目． 【答案】课本再现： 如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； 课本开发： （1）如图，连接， ， ． 平分， ． ， ． ． ． ． ． 是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】课本再现：连接，证明，，得出，再证明，，即可求值； 课本开发：（1）连接，先判定，根据推出即可求解； （2）结合角平分线的性质得，运用圆内接四边形性质，得，证明，分别运用勾股定理算出，即可得到的长，再用勾股定理即可求出． 【详解】课本再现：略 课本开发： （1）略 （2）解：∵， ∴， 如图，过点作于点，连接 ∵平分，于点，于点， ∴， ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 在中，． 【点睛】本题考查了圆的切线判定定理，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形等知识，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 六、解答题（共1小题，每小题12分） 23. 【探究与证明】 活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究． 【问题情境】 如图①，在矩形中，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【猜想证明】从特殊到一般 （1）当时，四边形的形状为 ；（直接写出答案） （2）如图②，当时，连接，求此时的面积； （3）如图③，连接，请找出其中的全等三角形并证明； （4）是否存在，使点三点共线？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）正方形 （2） （3） ， 证明如下： 由已知可得， 在和中， ， ； （4）存在使点三点共线，此时或8 【解析】 【分析】（1）可推出，，从而得四边形是正方形； （2）作于，可推出，从而，根据勾股定理得出，从求得，进一步得出结果； （3）利用证明即可； （4）设，则，根据旋转的性质得：，分为：当点E在上时，根据勾股定理可得：，当点在的延长线上时，设，则，可得：，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：如图①， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将边绕点A逆时针旋转 得到线段，过点E作， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， 故答案为：正方形； 【小问2详解】 如答题图①，作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 存在使点三点共线，理由如下： ， ， 设，则， 根据旋转的性质得：， ， ， ， 当点在线段上时，如答题图② 答题图② 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当点在的延长线上时，如答题图③， 答题图③ 同理， 设，则， ， 解得：， 综上所述，存在使点三点共线，此时或8． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $