中心对称、平行四边形讲义2024-2025学年苏科版数学八年级下册

2024-2025学年苏科版中心对称和平行四边形讲义 教学内容 中心对称和平行四边形 教学目标 教学内容 一、图形的旋转 概念：在平面内，将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角． 图形旋转的性质． （1）旋转前后的图形全等； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等． 典型例题 1．下列现象中，属于旋转的是( ) A．小明向北走了4米 B．小朋友们在荡秋千时做的运动 C．电梯从1楼到12楼 D．一物体从高空坠下 2．如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( ) A．30° B．45° C．90° D．135° 3．在旋转的过程中，要确定一个图形旋转后的位置，除了知道原来图形的位置和旋转方向外，还需要知道 和 ． 4．小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上（如图所示），则左手手印 （填“能”或“不能”）通过旋转与右手手印完全重合在一起． 5．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过 次旋转而得到，每一次旋转 度． 6．在图中，将大写字母H绕它右上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，请作出旋转后的图案． 7．下列各组图中，图形甲变成图形乙，既能用平移、又能用旋转的是 ( ) 8．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A'OB'可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点A'在AB上，则旋转角口的大小可以是 ( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 9．如图，△ABC和△ADE均为正三角形，则图中可看作是旋转关系的三角形是 A．△ABC和△ADE B．△ABC和△ABD C．△ABD和△ACE D．△ACE和△ADE 10．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②AE＝AD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2．其中正确的是 ( ) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ 11．如图，线段A'B'是线段AB绕着某一点O旋转得到的，点A'与点A为一对对应点，请找出旋转中心O． 12．如图，在边长为1的网格中作出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的图形△A'B'C'． 13．已知：如图①，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF，将△FOE绕点O逆时针旋转α角得到△F'OE'（如图②）． (1)探究AE'与BF'的数量关系，并给予证明； (2)当α＝30°时，求证：△AOE'为直角三角形． 二、中心对称和中心对称图形 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称．这个点叫做对称中心 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分． 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心． 1．下列说法中，不正确的是( ) A．关于某一点中心对称的两个图形全等 B．全等的两个图形一定关于某一点成中心对称 C．圆是中心对称图形 D．任何一条线段的两个端点关于这条线段的中点成中心对称 2．下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) 3．如图，△ABC与△EDF关于点O成中心对称，则： (1)△ABC绕点O旋转 °后与△EDF完全重合； (2)分别连接AE、BD、CF，则线段AE、BD、CF都经过点 ． 4．如图所示，线段AB、CD互相平分于点O，过O作EF交AC于E，交BD于F，那么：①点A与点 关于O点对称；②点 与点F关于O点对称；③线段 与线段EC关于O点对称． 5．已知A、B、O三点不共线，A、A'关于O对称，B、B'关于O对称，那么线段AB与A'B'的关系是 ． 6．如图，将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A1B1C1，请你画出旋转后的△A1B1C1． 7．如图，在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F．下列结论：④∠CDF＝α，②A1E＝CF，③DF＝FC，④AD＝CE，⑤A1F＝CE．其中正确的是 （写出正确结论的序号）． 8．在一次游戏当中，小明将下面左图的四张扑克牌中的一张旋转180°后，得到右图，小亮看完，很快知道小明旋转的一张扑克牌是 ． 9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，垂足为点C，E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F． (1)图中△EFD可以由△ 绕着点 旋转 度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形 ； (3)若AB＝4，BC＝5，CD＝6，则△BCF的面积为 ． 10．如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点有 个． 11，如图，两个三角形成中心对称，请确定其对称中心． 三、平行四边形 1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.记作:ABCD 3.读作：平行四边形ABCD 4.平行四边形的性质： (1)对边：平行四边形的对边平行且相等. (2)对角：平行四边形的对角相等。 3.平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分. 两条平行线之间的平行线段相等 小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等。 典型例题 1. 如图，在ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE． 2. 在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF，证明：DE=BF． 3. 如图，在ABCD中，点E，F在对角线BD上，且ED=BF．求证：AE=CF． 4. 如图，在ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，求证：∠ABE=∠CDF． 5. 如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．（1）求证：BF=CF；（2）若AB=2，AD=4，且∠AFC=2∠D，求平行四边形ABCD的面积． 6. 如图，ABCD的对角线AC，BD交与点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：BE=DF． 7. 如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE=CF．求证：BE=DF． 8. 如图，E、F是ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：EB=DF（写出主要的证明依据）． 9. 如图，在ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD、BC及CD的长． 10. 如图，△ACE是以ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），求D点的坐标． 11. 如图，ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF． 12. 如图，在ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求：（1）线段AC、OA的长；（2）平行四边形ABCD的面积． 13. 在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．请你猜想：线段AF与线段EC有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明． 14. 如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．则∠EBF=∠FDE吗？为什么？ 课后练习 一、选择题 (1) 平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（ ） A、不稳定性 B、对角线互相平分 C、内角的为360度 D、外角和为360度 (2) 平行四边形不一定具有的是（ ） A． 邻角互补 B．对角互补 C．对角相等 D．内角和为360° (3) ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC的长为（ ） A． 5cm B．15cm C．6cm D．16cm (4) 图，在ABCD中，下列结论中错误的是（ ） A． ∠1＝∠2 B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD (5) 如图，在□ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E， 且AE＝3，则AB的长为（ ） A．4 B．3 C． D．2 (6) 如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 (7) 已知ABCD，根据下列条件填空： ⑴已知∠A＝50°，则∠B＝ ， ∠C＝ ，∠D＝ ； ⑵已知∠A+∠C＝200°，则∠A＝ ，∠B＝ ； ⑶已知AB＝3，BC＝5，则□ABCD的周长＝ ． (8) 在□ABCD中，AC＝4、BD＝6，则AB的范围是 ． (9) 在□ABCD中，若AB、BC、CD三条边的长度分别为(x＋3)，(x－4)和16，则这个四边形的周长是 ． (10) 已知□ABCD一内角的平分线与一边相交并把这条边分成4cm，5cm的两条线段，则□ABCD的周长是 cm． (11) 如图，□ABCD中，AE⊥BD，∠EAD＝60°，AE＝2cm，AC+BD＝14cm，则△OBC的周长是 cm． (12) 如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为 ． (13) 如图，在□ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是 . (14) 如图,在ABCD中, 对角线AC﹑BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,则CD= . 三、解答题 (15) 已知：如图，　ABCD的对角线AC,BD交于点O，E，F分别是OA,OC的中点.求证：△OBE≌△ODF (16) 如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．证明：FD=AB． (17) 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE=DF，求证：AE=CF． (18) 已知：E、F是ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，求证：∠CDF=∠ABE． (19) 四边形ABCD是平行四边形，AF=CE，求证：∠1=∠2． (20) 如图，已知▱ABCD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连接DE、BF，求证：DE=BF． (21) 如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形． (22) 如图，在ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F．求证：OE=OF． (23) 如图，已知ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC． (24) 如图，已知ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC． (25) 在ABCD中，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN． (26) 如图，已知ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：DF=BE． (27) 已知：如图，在ABCD中，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，BE，DF分别交AD，BC于点E，F，求证：DE=BF． (28) 如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE（1）求证：BC=CE；（2）若BC=2，∠ABC=120°，求DE的长． (29) 已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小． (30) 如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长． (31) 如图，在ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明． (32) 如图，□ABCD中，E，F是对角线BD上两点，且BE＝DF． （1）图中共有 对全等三角形； （2）请写出其中一对全等三角形： ≌ ，并加以证明． (33) 如图，在□ABCD中，过AC中点O作直线，分别交AD、BC于点E、F．求证：△AOE≌△COF． (34) 如图，已知□ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E．求证：AB＝BE． (35) 如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求OA的长及□ABCD的面积． 四、拓展题 1.分别以□ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF． （1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）； （2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$