2 6.1.2 向量的加法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

6.1.2　向量的加法 　 第六章　6.1 平面向量及其线性运算 知识层面 1．掌握向量加法的运算，并理解其几何意义．　 2．理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围，并能应用向量加法的运算律进行相关运算． 素养层面 通过向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习，培养直观想象素养；通过学习向量加法的运算律，培养逻辑推理素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 问题1　某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的一种方法吗？ 问题导思 问题2　如图表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；从力学的观点分析，合力F与F1，F2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？ 提示：F＝F1＋F2；平行四边形法则． 知识点一　向量的加法 1．向量加法的三角形法则 新知构建 和向量 当a与b不共线时，求它们的和，如图所示．因为此时a，b，a＋b正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的___________． 当a与b共线时，求它们的和，如图所示． 三角形法则 微提醒 (1)用三角形法则求和必须使两个向量“首尾相连”，即前一个向量的终点与后一个向量的始点重合，其和是第一个向量的始点指向第二个向量的终点的向量．简述为“加向量，首尾连；和向量，始点到终点”． (2)对于零向量与任一向量a的和，有a＋0＝0＋a＝a. 2．向量加法的平行四边形法则 如图所示，平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A， 这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的 ． 平行四边形法则 微提醒 (1)平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量． (2)当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用． (3)向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义． 知识点二　多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示． 微提醒 (1)向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相连”． (2)当首尾依次相接的向量构成封闭的向量链时，各向量的和为0. 运用以上结论也可以判断一个图形是否为封闭图形． 知识点三　向量加法的运算律 1．交换律： ． 在图①中，由向量加法的平行四边形法则可得， 即向量加法满足交换律． a＋b＝b＋a 2.结合律： ． 即向量加法满足结合律． (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 微提醒 (1)我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律． 一质点从点A出发，方案①是质点A先走过的位移为向量a，再走过的位移为向量b，方案②是质点A先走过的位移为向量b，再走过的位移为向量a，则方案①，②中质点A一定会到达同一终点． (2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，与向量相加的顺序无关，因为向量的加法满足交换律．例如，(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e). 1．下列命题中，正确的命题个数为 ①向量a，b是两个单位向量，则a＝b. ②若向量a与b不共线，则向量a与b都是非零向量． ③两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同． ④若 则A，B，C必为一个三角形的三个顶点． A．0 B．1 C．2 D．3 自主检测 √ ①向量a，b是两个单位向量，由于模为1，若方向相同，则它们相等，故①错误；②由于零向量与任何向量共线，若向量a与b不共线，则向量a与b不可能是零向量，故②正确；③两个相等的向量，方向、长度必须都相同，起点不一定相同，故③错误；④若 则点A，B，C有可能共线，故④错误．故选B. √ 因为在平行四边形ABCD中， 所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以A、C正确，B、D错误． 3．(多选)已知平行四边形ABCD，设 且b是一非零向量，则下列结论正确的是 A．a∥b B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|<|a|＋|b| √ √ 4．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1， A．1 B．2 C．3 D．2 √ 5．已知正方形ABCD的边长为 ，则 ＝ A．2 B．6 C．4 D．2 √ 返回 合作探究 返回 题型一　求几个向量的和(作图) 　如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c. [思路点拨]　用分步作图的方法，即先作出其中两个向量的和，再作所得和向量与第三个向量的和，直至完成作图． 例1 规律方法 求两个向量的和，一般用三角形法则或平行四边形法则，求三个或三个以上向量的和，常用“折线法”，即先平移向量，使这些向量首尾相连，再连接第一个向量的始点和最后一个向量的终点，即得和向量．　　 对点练1．如图，已知三个向量a，b，c，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a＋b＋c. 题型二　求向量的和(运算) 　化简： [思路点拨]　利用向量加法的运算法则求和． 例2 规律方法 1．向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量． (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用． 2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．　　 对点练2．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O， √ 题型三　向量加法的应用 　用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形． [思路点拨]　由条件出发，结合图形，求出能判断四边形是平行四边形的条件． 例3 证明：如图，设四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 规律方法 向量是沟通“数”与“形”的桥梁．利用向量的加法可以证明线段的平行和相等，在解决问题中应抓住向量及其加法的几何意义求解． 用向量法证明几何问题的关键是把几何问题转化为向量问题，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题还原为几何问题．　　 返回 随堂演练 返回 1．在四边形ABCD中， 则 A．四边形ABCD一定是矩形 B．四边形ABCD一定是菱形 C．四边形ABCD一定是正方形 D．四边形ABCD一定是平行四边形 由向量加法的平行四边形法则可知，四边形ABCD必为平行四边形． √ 由向量求和的多边形法则可知结果为0，故选B. √ 3．(多选)下列等式正确的是 A．a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b D．|a＋b|＝|a|＋|b| A，C都正确；B错误， D错误，当a，b方向相同时成立．故选AC. √ √ ①②④ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．设非零向量a，b，c，若 则|p|的取值范围为 A．[0，1] B．[0，2] C．[0，3] D．[1，2] 因为 是三个单位向量，因此当这三个单位向量同向时，|p|取最大值3.当这三个单位向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．给出下列命题： ⑥若三向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则此三向量围成一个三角形． 其中正确的命题是________(填序号). ①⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示，连接AG并延长交BC于点E，点E为BC的中点，延长AE到点D， 7．已知点G是△ABC的重心， 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 8．已知正△ABC边长为1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)如图，已知向量a，b，c，d. 求作a＋b＋c＋d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：因为六边形ABCDEF是正六边形，O是它的中心，所以四边形ABCO是平行四边形． 因为四边形ABOF也是平行四边形， 同理，在平行四边形BCDO中， 10．(10分)如图，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选)下列说法中正确的是 A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同 D．若a，b均为非零向量且方向相同，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等 √ √ A错误，若a＋b＝0时，方向是任意的；B正确；C错误，A，B，C三点共线时也满足．D正确． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)设P1P2…P2 024是半径为1的圆O内接正2024边形，M是圆O上的动点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.(10分)如图，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC. 求证： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(多选)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星．如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法错误的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点． 求证： 因为E，F分别是AD，BC的中点， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 初 步 返回 提示：如图所示，这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以看作是与的和；三角形法则． 平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的 )，向量a与b的和向量记作a＋b，因此 作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，因此 ＝＋＝＋. 如图，在(n＋1)边形A0A1…An中，有＋＋＋…＋An－1An＋＝0. ＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋a，故a＋b＝b＋a. 在图②中，由向量加法的三角形法则可得，＝＋＝a＋b，＝＋＝b＋c，所以＝＋＝(a＋b)＋c. 又＝＋＝a＋(b＋c)，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). ＋＋＝0， ＋＋＝0， 2．化简＋＋＋＝ A． B． C． D．0 ＋＋＋＝＋＝0.故选D. ＋＋＋＝a， ＋＝0，＋＝0， |＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.故选B. 则|＋＋|＝ 由正方形ABCD的边长为，可得正方形ABCD的对角线长AC＝2，利用向量的平行四边形法则可得＋＝，则|＋2＋|＝＝3×2＝6.故选B. (或) ＋＝，＋＝，＋＝＋＝＝. 6．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝_______，＋＝_______，＋＝_____________． 解：方法一　如图①， 在平面内作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c， 则＝a＋b＋c. 方法二　如图②，在平面内作＝a，＝b，以OA与OB为邻边作平行四边形OADB，则＝a＋b；再作＝c，以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC，则＝a＋b＋c. 解：利用三角形法则作a＋b＋c，如图①所示，作＝a，以A为起点，作＝b，再以B为起点，作＝c，则＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. 利用平行四边形法则作a＋b＋c，如图②所示，作＝a，＝b，＝c，以，为邻边作▱OADB，则＝a＋b，再以，为邻边作▱ODEC，则＝＋＝a＋b＋c. (1)＋＋； (2)＋＋＋. 解：(1)＋＋ ＝＋＋＝. (2)＋＋＋ ＝＋＋＋＝0＋＝. 则＋＋＋等于 A． B． C． D． ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.故选B. AC与BD互相平分，＝，＝，＝，因此AB∥CD， 且||＝||，即四边形ABCD是平行四边形． ＝＋，＝＋. 对点练3．四边形ABCD中，＝，且|＋|＝|＋|，求证四边形ABCD为矩形． 证明：　因为四边形ABCD中，＝，所以AB∥DC，且||＝||，所以四边形ABCD为平行四边形，如图，所以＋＝，＋＝＋＝，因为|＋|＝|＋|，所以||＝||，即平行四边形对角线相等，故四边形ABCD为矩形． ＝＋， 2．如图所示，＋＋＋＋＋等于 A．0　　　　　　　 B．0 C．2 D．－2 B．＋＝0 C．＝＋＋ ＋＝0； 4．对任意四边形ABCD，下列式子中等于的是___________(填序号). ①＋；②＋＋；③＋＋；④＋＋. ①②④的运算结果均为，对于③，＋＋＝. 1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于 A． B． C． D． (＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝.故选C. 2．平行四边形ABCD中，＋＋＝ A． B． C． D． 根据向量加法的三角形法则，可得＋＋＝＋＝.故选D. 则＋＝ A． B． C． D． 以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝.故选C. p＝a＋b＋c， a，b，c 5．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1.若＋＝2，且||＝||，则△ABC的面积为 A． B． C．2 D．1 因为＋＝2，所以O为BC边上的中点，因为△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且∠BAC＝，BC＝2.又因为||＝||，所以||＝1，||＝，所以S△ABC＝×||×||＝××1＝.故选B. ①若a，b同向，则有＝＋； ②a＋b与＋表示的意义相同； ③若a，b不共线，则有＞＋； ④＜＋恒成立； ⑤对任意两个向量a，b，总有≤＋； 对于①，若a，b同向，则b＋a与a，b同向所以＝＋，故①正确；对于②，a＋b与＋前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不正确；对于③，若a，b不共线，则有＜＋，故③不正确；对于④，若b＝0，则≤＋，故④不正确；对于⑤，对任意两个向量a，b，总有≤＋，故⑤正确；对于⑥，若三向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，若a，b，c中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确． 则＋＋＝________ 使GE＝ED，则＋＝，＋＝0，所以＋＋＝0. ＝a，＝b，＝c，则等于____． 因为＝a，＝b，＝c，所以a＋b＝c，所以a＋b＋c＝2c，所以＝2＝2. 解：如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d. 所以＝＋＝a＋b＋a＝2a＋b. ＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b. 若＝a，＝b，试用a，b表示向量，，. 由向量的平行四边形法则，得＋＝，即＝a＋b， 所以＝＝a＋b. B．在△ABC中，必有＋＋＝0 C．若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 则|＋＋＋…＋P2 023P2 024＋|的取值范围为________． 由已知可得，|＋＋＋…＋P2 023P2 024＋|＝＝.因为P1P2…P2024是半径r＝1的圆O的内接正2024边形，M是圆O上的动点，所以0≤≤2r＝2，所以∈. ＋＝＋. 证明：＝＋，＝＋，所以＋＝＋＋＋.因为与大小相等，方向相反，所以＋＝0，故＋＝＋＋0＋. A．＋＝0 B．∥ C．＋＝＋ D．＝＋ 对于A，由图可知CH与ID相交，所以与方向不相反，故A错误；对于B，与共线，与不共线，所以与不共线，故B错误；对于C，＋＝≠＋， 故C错误；对于D，连接BF，JF(图略)，由五角星的性质可得ABFJ为平行四边形，根据平行四边形法则可得＝＋，故D正确．故选ABC. ①＋②得 ＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋). 所以＋＝0，＋＝0， 所以2＝＋. 2＝＋. 证明：如图所示，在四边形CDEF中，＝＋＋.① 在四边形ABFE中，＝＋＋.② $$