7 5.3.3 古典概型-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

5.3.3　古典概型 　 第五章　5.3　概率 知识层面 1．理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型．　 2．会用列举法求古典概型的概率．　 3．能利用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率． 素养层面 通过古典概型及其特征的学习，提升数学抽象素养；通过古典概型概率的求解，培养数学运算素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 问题1．我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？ 提示：样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等． 问题2．抛掷一枚不均匀的骰子，求出现点数为偶数点的概率，这个概率模型还是古典概型吗？ 提示：不是，因为骰子不均匀，出现偶数点与奇数点的概率不相等． 问题导思 问题3．考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性的大小？ (1)一个班级中有男生18名，女生22名．若采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到一名男生”； 提示：中抽到一名男生的可能性为 . (2)在掷骰子的试验中，事件B＝“点数为偶数”． 提示：中B＝{2，4，6}．对于抛掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，“出现偶数点”的可能性为 . 所以事件A发生的可能性小于事件B发生的可能性． 知识点一　古典概型的概念 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为_______)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为_________)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型． 新知构建 有限性 等可能性 微提醒 古典概型的判断标准 一个随机试验是否能归结为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性与等可能性．因此，并不是所有的试验都能归结为古典概型．下列三类试验都不是古典概型： (1)样本点个数有限，但非等可能； (2)样本点个数无限，但等可能； (3)样本点个数无限，但非等可能． 知识点二　古典概型的概率公式 1．古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到：假设样本空间含有n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，所以由互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率均为 .此时，如果事件C包含m个样本 点，则再由互斥事件的概率加法公式可知 ． 2.古典概型的概率求解步骤 微提醒 (1)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率． (2)计算古典概型概率的关键是求样本点总个数n和所求事件包含的样本点个数m.这种计算方式避免了大量重复试验，通过分析样本点的个数就可以计算随机事件发生的概率，而且得到的概率是精确值． 说明：注意一个样本点是某一次试验出现的结果，不是几次试验的结果，即保证m，n均为等可能样本点的个数． 1．下列试验中，是古典概型的有 A．种下一粒种子观察它是否发芽 B．从直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 自主检测 古典概型有两大特征，即(1)有限性，试验中所有可能出现的样本点为有限个；(2)等可能性，每个样本点出现的可能性相等．上述选项中，只有C具有上述特征． √ 选项D中“至少1个红球”包括“1红球1白球”“1红球1黑球”“2红球”3个样本点． 2．(多选)已知袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，则下列选项中是样本点的是 A．{正好2个红球}　　　 B．{正好2个黑球} C．{正好2个白球} D．{至少1个红球} √ √ √ 设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10个样本点，其中甲被选中的样本点有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4个，所以甲被选中的概率为 .故选B. 3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 √ 袋中有9个大小相同的球，从中任意取出1个，共有9种取法．取出的球恰好是白球，共有4种取法．故取出的球恰好是白球的概率为 .故选C. 4．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为 √ 从O，A，B，C，D这5个点中任取3点，取法有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}，共10种，其中取到的3点共线的只有{O，A，C}，{O，B，D}这2种取法，所以所求概率为 .故选A. 5．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为 √ 返回 合作探究 返回 题型一　古典概型的判断 袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球． (1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？ (2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？ [思路点拨]　只有同时满足有限性和等可能性这两个条件的试验才是古典概型，两个条件只要有一个不满足就不是古典概型． 解：(1)因为样本点的个数有限，而且每个样本点出现的可能性相等，所以是古典概型． (2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点．这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性．故不是古典概型． 例1 规律方法 判断随机试验是否为古典概型的两个关键点 抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可． (1)有限性，试验中所有可能出现的样本点只有有限个． (2)等可能性，每个样本点出现的可能性相等．　　 对点练1．判断下列试验是否是古典概型： (1)在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽； 解：这个试验的结果只有两个，即“发芽”与“不发芽”，具备了有限性，但“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性一般是不相等的，即不具备等可能性，因此该试验不是古典概型． (2)口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球． 解：每次摸出一个球后，仍放回袋中，再摸一个球．显然，对于有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型． 题型二　简单的古典概型 　生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 [思路点拨]　设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b，采用列举法求出“从5只兔子中随机取出3只”的样本点个数，再求出“恰有2只测量过该指标”的样本点个数，最后根据古典概型的概率计算公式得出结论． 例2 √ 设3只测量过某项指标的兔子为A，B，C，另2只兔子为a，b.从这5只兔子中随机取出3只，则样本点共有10个，分别为(A，B，C)，(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(A，a，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，(B，a，b)，(C，a，b)，其中“恰有2只测量过该指标”的样本点有6个，分别为(A，B，a)，(A，B，b)，(A，C，a)，(A，C，b)，(B，C，a)，(B，C，b)，因此所求的概率为 .故选B. 规律方法 求古典概型概率的计算步骤 第一步：确定样本点的总数n； 第二步：确定事件A包含的样本点的个数m； 第三步：计算事件A的概率P(A)＝ .　　 √ 对点练2．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事件为：甲、乙、丙都被选取，记此事件为A，依题意所有基本事件为：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中事件A所包含的事件数为1，所以根据古典概型的概率公式可得P(A)＝ ，再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为1－P(A)＝ . 题型三　复杂的古典概型 　袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率： (1)A：取出的两球都是白球； (2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球． [思路点拨]　先求出任取两球的所有等可能样本点的总个数，然后分别求出事件A“取出的两球都是白球”所含的样本点个数及事件B“取出的两球一个是白球，另一个是红球”所含的样本点个数，最后利用古典概型的概率公式求解即可． 例3 (1)A：取出的两球都是白球； 解：设4个白球的编号分别为1，2，3，4；2个红球的编号分别为5，6. 从袋中任取两球的所有等可能样本点为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15个． 事件“从袋中任取两球，取出的两球全是白球”包含的样本点共有6个，分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4).故取出的两球全是白球的概率为 . (2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球． 解：事件“从袋中任取两球，取出的两球一个是白球，另一个是红球”包含的样本点共有8个，分别为(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6). 故取出的两球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)＝ . 规律方法 解决古典概型综合问题的两个关键点 1．审读题干：对于实际问题要认真读题，深入理解题意，计算基本事件总数要做到不重不漏，这是解决古典概型问题的关键． 2．编号：分析实际问题时，往往对要研究的对象进行编号或者用字母代替，使复杂的实际意义变为简单的数字和字母，方便寻找对象间的关系，这是解决古典概型的问题时主要的解题技巧．　　 对点练3．口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； 解：无放回地取球．任意摸出两个小球的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}， 所以摸出的是红球和白球的概率为 . (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率． 解：有放回地取球．样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，而事件“摸出一红一白”包括(红，白)，(白，红)2个样本点， 所以两次摸出的球是一红一白的概率为 . 返回 随堂演练 返回 1．(多选)下列试验是古典概型的为 A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小 B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 ABD是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．C不是古典概型，因为不符合等可能性，三天中是否降雨受多方面因素影响． √ √ √ 2．为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程．有种植白菜、种植番茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为 A．3　　　　　　　 B．5 C．6 D．9 设4种课程编号为1，2，3，4，随机选报其中的2个，样本点有：12，13，14，23，24，34，共6个．故选C. √ 3．从1，2，3，4，5这五个数字中任取两数，则所取两数均为偶数的概率是 从1，2，3，4，5中抽取两个数基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10种，所取的两个数均为偶数的有(2，4)，共1种，所以所取两数均为偶数的概率为P＝ .故选A. √ 4．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________． 可重复地选取两个数共有16个样本点，其中一个数是另一个数的2倍的有(1，2)，(2，1)，(2，4)，(4，2)，共4个样本点，故所求的概率为 . 返回 课时测评 返回 ②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确．故选D. 1．下列有关古典概型的四种说法： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④已知基本事件总数为n，若随机事件A包含k个基本事件，则事件A发生的概率P(A)＝ .其中说法正确的是 A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2．某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是 2位女同学和2位男同学依次走出教室的所有可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率 .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为A，B，C，(x，y)代表依次摸出的卡片，x，y∈{A，B，C}，则基本事件分别为(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况(A，B)，(B，A)，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又因为所有样本点包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的样本点只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率P＝ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．甲乙两个人玩一种游戏，甲乙两人分别在两张纸片上各写一个数字，分别记为a，b，其中a，b必须是集合{1，2，3，4，5，6}中的元素，如果a，b满足|a－b|≤1，我们就称两人是“友好对”．现在任意找两人玩这种游戏，则他们是“友好对”的概率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得a，b构成的数对(a，b)共有36种可能，其中满足|a－b|≤1的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16种可能，则所求概率为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6．下列概率模型： ①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环； ③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短； ⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”． 其中属于古典概型的是________． ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ①不属于古典概型，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于古典概型，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于古典概型，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于古典概型，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于古典概型，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7．连续抛掷2枚骰子，则出现朝上的点数之和等于8的概率为________． 连续抛掷2枚骰子，样本点总数n＝6×6＝36.出现朝上的点数之和等于8的样本点有(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，共5个．因此出现朝上的点数之和等于8的概率P＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8．现有5根竹竿，它们的长度分别为25，26，27，28，29.若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差3的概率为________． 从5根竹竿中一次随机抽取2根可能的样本点总数为10.它们的长度恰好相差3的样本点有25和28，26和29，共2个．因此所求概率 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9．(10分)下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2分) 解：不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，任意取出一个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾． (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3分) 解：不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾． (3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．(5分) 解：是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个偶数被抽到的可能性相等． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．(15分)(开放题)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数则甲赢，否则乙赢． (1)若以A表示事件“和不为6”，求P(A)；(3分) 解：将所有的样本点列表如下： 甲 乙　　 1 2 3 4 5 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) 5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由上表可知，该试验共包括25个等可能出现的样本点，属于古典概型． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若以B表示事件“和大于4且小于9”，求P(B)；(4分) 解：事件B包含了(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共16个样本点，所以P(B)＝ . (3)这个游戏公平吗？请说明理由．(8分) 解：这个游戏不公平．因为“和为偶数”的概率为 ，“和为奇数”的概率是 ，二者不相等，所以该游戏不公平． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11．(15分)一个盒子里装有完全相同的八个小球，分别标上1，2，3，…，8这8个数字，现随机地抽取两个小球，根据下列条件求两个小球上数字为相邻整数的概率． (1)小球是不放回的；(7分) 解： “不放回地从8个小球中随机地选取2个”包含的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)，(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(4，5)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(6，7)，(6，8)，(7，8)，共28个， 其中“2个数字为相邻整数”的样本点有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，(7，8)，共7个，故所求概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)小球是有放回的．(8分) 解：“有放回地从8个小球中随机地选取2个”包含的样本点有64个(具体不再一一列出，同学们可自行选取方法罗列)，“2个小球上的数字为相邻整数”包含的样本点有14个(同学们可在自己罗列的基本事件中一一找寻)，故所求概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12．(20分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游． (1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(5分) 解：由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个． 所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，则所求事件的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率；(6分) 解：从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个． 包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率为P＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家至少有1个欧洲国家的概率．(9分) 解：由题意知，从6个国家中任选2个国家，至少有1个欧洲国家的结果为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共12个，则所求事件的概率为 . 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 ！ 第 五 章 　 统 计 与 概 率 返回 ＝ ＝ P(C)＝ A． B． C． D． ＝ A． B． C． D． A． B． C． D． ＝ A． B． C． D． ＝ A． B． C． D． 1－＝ P(A)＝＝ A． B． C． D． ＝ A． B． C． D． P＝＝ A． B． C． D． A． B． C． D． A． B． C． D． ＝ P＝＝ 事件A的对立事件为，包含了(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5个样本点，故P(A)＝1－＝. ＝ ＝ P＝＝ P＝＝ $$