精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

高三数学开学考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，结合交集定义求结论. 【详解】因为， 又， 所以. 故选：D. 2. 某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设男生被抽取的人数是，由条件结合分层抽样性质列方程求解即可. 【详解】设男生被抽取的人数是， 由已知可得， 解得，. 故选：C. 3. 某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（ ）（不考虑储物料斗斗壁的厚度） A. 立方米 B. 28立方米 C. 立方米 D. 84立方米 【答案】B 【解析】 【分析】由棱台的体积公式计算可求得体积. 【详解】该储物料斗为正四棱台，且上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米， 所认立方米. 所以该储物料斗的体积是立方米. 故选：B. 4. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】等价转化可得，结合充分条件和必要条件定义判断条件与结论的关系即可. 【详解】因为， 所以“”不能推出“”， “”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 5. 向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象可知在相等时间间隔内容器内水面的高度增加量越来越大，结合容器形状可确定选项. 【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大， 故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求. 故选：C. 6. 已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的几何特征计算出圆锥的高和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、， 因为，，则，， 因为圆锥顶点到直线的距离为，所以， 因为圆锥底面半径，故，又， 所以为等腰直角三角形，为斜边， 因为为线段的中点， 故， 因为平面，平面，，， 在中，， 在中，， 所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为， 因此，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 7. 记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列前和公式与等差中项得到，判断A选项；由得到，结合等差中项，得到与0的大小关系，然后由的结果判断B选项；由与的大小关系得到数列的增减性，再对进行放缩得到结论，判断C选项；由与的正负情况建立不等式组，求得的范围，判断D选项. 【详解】因为，所以A不正确； ，所以， 又因为，所以，则，所以B不正确； 由，知，即为递增数列， 所以，所以C不正确； 由，得，所以D正确. 故选：D. 8. 已知函数，，则方程的所有实数解的和是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】令，得的图象关于点对称，利用导数知在上有且只有一个零点，则在上有且只有一个零点，故. 【详解】令，其定义域为， 令，显然是奇函数， 则其图象关于原点对称，所以的图象关于点对称. 先讨论在上方程的所有实数解的情况，即函数的零点情况， 因为，，， 所以，所以在上单调递减， 又时，，， 所以在上有且只有一个零点， 又的图象关于点对称，所以在上有且只有一个零点， 且，即方程的所有实数解的和是2. 故选：C 【点睛】关键点点睛：令，得的图象关于点对称，利用对称性求零点和. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，） 9. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，可得， 则的最小正周期为，且不是奇函数，所以A正确，B不正确； 当时，可得， 所以的图象关于直线对称，所以C正确； 由，得，所以在上单调递增，所以D正确． 故选：ACD. 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，下列选项正确的是（ ） A. B. 平面 C. 的面积与的面积相等 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正方体性质得线面垂直，线面平行，点到平面的距离，由体积公式确定三棱锥体积，从而判断各选项． 【详解】由正方体的性质平面,平面,则，又，，平面，所以平面，平面，则，A正确； 由正方体的性质知平面，即平面，B正确； 由正方体性质得A到直线的距离为，而到直线的距离为，两个三角形面积不相等，C错； ，而A到平面的距离即到平面的距离，为，因此为定值，D正确， 故选：ABD． 11. 设，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. 的面积为4 D. 点P在圆上 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A，B，根据的三边长度可知其为直角三角形，从而可以判断C，D. 【详解】 由，得，，则，，，因为P是椭圆上一点，所以，因为，所以，，故A错误； 的周长为，故B正确； 因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确； 因为为直角三角形，所以，故点P在圆上，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，13题第一个空2分，第二个空3分，共15分） 12. 已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】双曲线的顶点为，可得椭圆的焦半径为，由长轴定义及椭圆的标准方程即可求解. 【详解】双曲线的顶点为， 所以椭圆的焦点在轴上，设方程为， 由长轴长为，可得，所以， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为． 故答案为：. 13. 已知正项等比数列的前项和为，若，则最小值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列的性质若，则，可得，推出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由等比数列的性质可知，，所以， 因为数列为正项等比数列，所以公比， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明函数为奇函数，再利用导数判断函数在上的单调性，再结合函数性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 且，所以在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． （1）求顾客中奖的概率； （2）若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 期望为1 【解析】 【分析】（1）分别求出顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”、“安康”和“和顺”的概率即可求解； （2）设小明全家中奖的次数为，根据服从二项分布即可求解. 【小问1详解】 顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“安康”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“和顺”的概率为， 综上，顾客中奖的概率为； 【小问2详解】 设小明全家中奖的次数为， 则，， ， ， ，则的分布列为 0 1 2 3 所以． 16. 如图，在直四棱柱中，，，. （1）证明：四边形是梯形． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 四棱柱是直四棱柱， 平面平面． 平面， 平面． 平面． ，平面，． 又四边形是梯形. （2） 【解析】 【分析】（1）先通过证明平面，得到，再结合，得到，又，可得四边形是梯形. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设为1个单位长度，则，． 设平面的法向量为， 则， 取，则， 得平面的一个法向量为， 易得平面的一个法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为． 17. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围. 【答案】（1）上单调递减，和上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导函数的正负判断函数的单调性； （2）求导得到的单调性，然后分和两种情况讨论. 【小问1详解】 当时，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在区间上单调递减，在区间和上单调递增； 【小问2详解】 ，令，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，， 当，即时，在处取得最大值， ，解得，， 当时，在或处取得最大值， 解得，， 的取值范围是. 18. 在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为2. （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2），为曲线上的两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点. （i）证明：； （ii）若点在直线上，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （i）如图： 不妨设，，， 由题满足，两式作差得， ，即， 过点与轴平行的直线交曲线于点，， ，即，， ，即. （ii） 【解析】 【分析】（1）设动圆圆心坐标为，根据直线与圆相交，弦长的求法列方程化简即可. （2）（i）设，，，根据“点差法”可得，进而求出点坐标，根据导数的几何意义求过点的切线斜率，根据直线平行的判断方法判断. （ii）结合两平行线间的距离公式和弦长公式，表示出的面积，再利用导数分析函数的单调性求函数的最大值. 【小问1详解】 设动圆圆心坐标为， 动圆过定点，截轴所得弦长为2， ， 整理得，即动圆圆心的轨迹方程. 【小问2详解】 （i）略 （ii）在直线上，， 为，中点，在曲线内部， ，解得， 由（i），点到直线的距离即为平行线和间距离， 直线，即， 直线，即， 平行线和间距离为， ， ， ，， 令，， 令，解得或， ，，单调递增； ，，.单调递减， 最大值为， 面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：解析几何中有关最值的求法，通常有以下思路： （1）转化为二次函数在给定区间上的值域问题求解； （2）利用基本（均值）不等式求最值； （3）利用三角换元法转化成三角函数，利用三角函数的值域求解； （4）利用导数分析函数的单调性，求函数的最值. 19. 若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为． （1）当时，证明：． （2）当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值； （3）当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，， 则． 当时，，满足， 故，当且仅当时，等号成立． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由累加法可证结论； （2）由累加法可求得，进而可得，结合已知可得，参变分离可求的最大值． （3）由（2）可得，进而利用错位相减法可求得，当为奇数时，可得，当为偶数时，可得，进而可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，满足上式，则． 因为，所以， 整理得． 因为，所以． 因为，所以当且仅当时，等号成立．因为，所以． 【小问3详解】 由（2）可得， 则． 设， 则， 所以， 所以，即． 因为对任意的，都有， 所以，即． 当为奇数时，，所以， 易证为递减数列，则； 当为偶数时，，所以， 易证为递增数列，则． 综上，的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：对于第三问，关键在于利用错位相法求得，进而分类讨论可得或，分类讨论是种常用方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学开学考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（ ） A. B. C. D. 3. 某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（ ）（不考虑储物料斗斗壁的厚度） A. 立方米 B. 28立方米 C. 立方米 D. 84立方米 4. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，则方程的所有实数解的和是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，） 9. 若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，下列选项正确的是（ ） A. B. 平面 C. 的面积与的面积相等 D. 三棱锥的体积为定值 11. 设，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. 的面积为4 D. 点P在圆上 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，13题第一个空2分，第二个空3分，共15分） 12. 已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为_________． 13. 已知正项等比数列的前项和为，若，则最小值为_________ 14. 已知函数，则不等式的解集为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． （1）求顾客中奖的概率； （2）若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 16. 如图，在直四棱柱中，，，. （1）证明：四边形是梯形． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围. 18. 在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为2. （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2），为曲线上的两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点. （i）证明：； （ii）若点在直线上，求面积的最大值. 19. 若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为． （1）当时，证明：． （2）当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值； （3）当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $