18、6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 [学习目标]　1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题．　2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培养数学建模核心素养． 应用一　测量距离问题 例1　为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为10 km；基站A，B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B两个基站的距离为(　　) A．10 km B．30(－1) km C．30(－1) km D．10 km 答案：D 解析：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，所以∠CAD＝30°，则有∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD＝10.又∠ACB＝75°，所以∠BCD＝45°，在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，由正弦定理，得BC＝＝5＋5.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝(10)2＋(5＋5)2－2×10×(5＋5)×＝500，所以AB＝10，即A，B两个基站之间的距离为10 km.故选D. 测量距离问题的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方案 先测角C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 对点练1．杭州亚运会的主场馆坐落于杭州奥体中心，外形酷似一只巨大的“莲花碗”，在大气磅礴的“莲花碗”旁有一座高楼“杭州之门”，“杭州之门”呈“H”型，分东、西两塔，为了测量“莲花碗”楼顶中心C与“杭州之门”东塔最高点D这两点间的距离，无人机在A点测得前方C，D两点的俯角分别为75°，30°后，沿水平飞行1 000米到B点，此时发现C，D两点在无人机后方，于是调整无人机方向，测得C，D两点的俯角分别为45°，60°(如图A，B，C，D在同一个铅垂平面内)，求CD的长度． 解：在△ABC中，因为∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°， 又因为AB＝1 000，所以由正弦定理，得＝，即AC＝＝米； 在△ABD中，因为∠DAB＝30°，∠DBA＝60°， 所以∠ADB＝180°－30°－60°＝90°， 又因为AB＝1 000，所以由正弦定理，得＝，即AD＝＝500米； 在△ACD中，因为AD＝500，AC＝，且∠CAD＝75°－30°＝45°， 由余弦定理，得CD＝＝ ＝，即CD＝米． 应用二　测量高度问题 例2　如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100米，在点C测得塔顶A的仰角为60°.求塔高AB. 解：在△BCD中，因为∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100，则∠CBD＝75°， sin 75°＝sin ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋×＝， 由正弦定理得：＝， BC＝＝＝50(3－)米， 依题意，AB⊥BC， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，由tan ∠ACB＝得：AB＝50(3－)tan 60°＝50(3－)×＝150(－)， 所以塔高AB是150(－)米． 学生用书第45页 测量高度问题的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数， 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 对点练2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________． 答案：150 m 解析：由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100 m，在△ACM中，∠AMC＝180°－(75°＋60°)＝45°，由正弦定理得AM＝·sin 60°＝100(m)，所以MN＝AMsin 60°＝100×＝150(m). 应用三　测量角度问题 例3　如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离30－30海里处有一个小岛C. (1)求小岛A到小岛C的距离； (2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向． 解：(1)在△ABC中，AB＝60，BC＝30－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，根据余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝602＋(30－30)2－2×60×(30－30)·cos 120°＝5 400，则AC＝30.所以小岛A到小岛 C的距离是30海里． (2)根据正弦定理得：＝， 所以＝，解得sin ∠ACB＝， 在△ABC中，因为AB<AC，所以∠ACB为锐角， 所以∠ACB＝45°，所以∠CAB＝180°－120°－45°＝15°. 由75°－15°＝60°得游船应该沿北偏东60°的方向航行． 画测量角度问题示意图的基本步骤 对点练3．如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A点(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的C处我方缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝(－1)2＋22－2(－1)·2cos 120°＝6， 所以BC＝，且由正弦定理得＝， 所以sin ∠ABC＝＝＝， 所以∠ABC＝45°，所以B点在C点的正东方向上， 所以∠CBD＝90°＋30°＝120°. 在△BCD中，由正弦定理得＝， 所以sin ∠BCD＝＝＝，所以∠BCD＝30°. 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船． 知识 不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案． 方法 数形结合 易错误区 方位角是易错点． 学生用书第46页 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 答案：B 解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β. 2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D． m 答案：A 解析：∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50(m).故选A. 3．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为(　　 ) A．6海里 B．6海里 C．4海里 D．12海里 答案：A 解析：设甲驱逐舰，乙护卫舰，航母所在位置分别为A，B，C(图略)则∠ACB＝45°＋15°＝60°，∠BAC＝90°－15°＝75°，∠ABC＝180°－60°－75°＝45°.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得AB＝6，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为6海里．故选A. 4．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为______． 答案：30 m 解析：由题图，可得B＝45°，∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝30°，故BC＝＝＝30(m). 学科网（北京）股份有限公司 $$