17、6.4.3 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 [学习目标]　1.利用正弦、余弦定理求解三角形的面积．　2.会利用正弦、余弦定理求解平面几何问题，培养数学运算核心素养． 应用一　有关三角形面积的计算 例1　(1)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________； (2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝________． 答案：(1)　(2) 解析：(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即c2＋5c－24＝0，解得c＝3或c＝－8(舍去).所以S△ABC＝ac sin B＝×5×3sin 120°＝. (2)由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得ac sin B＝a2sin B，由sin B≠0，知c＝2a，所以cos B＝＝＝. 求三角形面积的解题思路 在应用三角形面积公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式．　　 对点练1．(1)在△ABC中，已知a＝1，c＝2且△ABC的面积为，则B＝(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝2，b＝3，sin A＝2sin B cos C，则△ABC的面积为________． 答案：(1)D　(2)2 解析：(1)由面积公式S△ABC＝ac sin B＝×1×2×sin B＝，解得sin B＝，所以B＝60°或120°.故选D. (2)依题意sin A＝2sin B cos C，由正弦定理得a＝2b cos C，2＝2×3×cos C，cos C＝>0，所以0<C<，所以sin C＝＝，所以△ABC的面积为ab sinC＝×2×3×＝2. 应用二　求解平面几何问题 例2　如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD. (1)若sin ∠BAC＝，求sin ∠BCA； (2)若AD＝3AC，求AC. 解：(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin ∠BCA＝. (2)设AC＝x，则AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝＝2x，sin ∠CAD＝＝. 在△ABC中，由余弦定理的推论得cos ∠BAC＝＝. 又∠BAC＋∠CAD＝， 所以cos ∠BAC＝sin ∠CAD，即＝， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3. 正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程．　　 对点练2．如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos ∠ADC＝. (1)求sin ∠BAD； (2)求的值． 解：(1)在△ADC中，因为cos ∠ADC＝，所以sin ∠ADC＝，所以sin ∠BAD＝sin (∠ADC－B)＝sin ∠ADC cos B－cos ∠ADC sin B＝×－×＝. (2)在△ABD中，sin ∠ADB＝sin (π－∠ADC)＝sin ∠ADC＝，由正弦定理得BD＝＝＝3. 在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝82＋52－2×8×5×＝49， 所以AC＝7，所以＝. 学生用书第43页 应用三　正弦、余弦定理的综合问题 例3　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B． (1)求B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． 解：(1)因为b sin A＝a cos B， 所以由正弦定理，得sin B sin A＝sin A cos B． 在△ABC中，sin A≠0，即得tan B＝，所以B＝. (2)因为sin C＝2sin A，所以由正弦定理，得c＝2a， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ，解得a＝，所以c＝2a＝2. 利用正弦、余弦定理解三角形的注意点 正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　　 对点练3．(2023·天津卷) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值； (3)求sin 的值． 解：(1)由正弦定理可得，＝，即＝，解得sin B＝. (2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即39＝4＋c2－2×2×c×， 解得c＝5或c＝－7(舍去). (3)由正弦定理可得，＝，即＝，解得sin C＝，而A＝120°， 所以B，C都为锐角，因此cos C＝＝，cos B＝＝， 故sin ＝sin B cos C－cos B sin C＝×－×＝－. 知识 (1)利用正弦、余弦定理解三角形．(2)利用正弦、余弦定理解平面几何问题．(3)正弦、余弦定理的综合应用． 方法 化归转化、数形结合． 易错误区 利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形． 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4，C＝，则△ABC的面积为(　　) A．2 B． C． D． 答案：B 解析：由题意可知，a＝，b＝4，C＝，所以S△ABC＝ab sin C＝××4×＝.故选B. 2．在△ABC中，sin2A＝sinB sin C，若A＝，则B＝(　　) A. B． C． D． 答案：C 解析：因为sin2A＝sinB sin C，所以a2＝bc，由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos ＝b2＋c2－bc＝bc，即(b－c)2＝0，得b＝c，所以△ABC是等边三角形，B＝.故选C. 3．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝60°，CD＝AD＝2，BD＝4，则sin B＝________． 答案： 解析：由题意，得△ADC为等边三角形，则∠ADB＝120°，AC＝2，由余弦定理，得AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB，即AB＝2，由正弦定理，得＝，则sin B＝＝. 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cos A(b cos C＋c cos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝________，b＋c＝________． 答案：　7 解析：由已知及正弦定理可得，2cos A(sin B cos C＋sin C cos B)＝sin A，可得2cos A sin (B＋C)＝sin A，即2cos A sin A＝sin A，又sin A≠0，所以cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.由面积公式可得3＝bc sin A＝bc，即bc＝12.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得13＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－36，解得b＋c＝7. 学科网（北京）股份有限公司 $$