15、6.4.3 第1课时 余弦定理-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 [学习目标]　1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法．　2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，培养逻辑推理及数学运算核心素养． 知识点一　余弦定理 问题1.在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示：如图，设＝a，＝b，＝c，那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算． 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2ab cos C，同理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B． 问题2.在问题1的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：a2＋b2＝c2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例． 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝c2＋a2－2ca__cos__B； c2＝a2＋b2－2ab__cos__C [微提醒]　(1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”． (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，利用余弦定理可做到知三求一． (4)定理特例：当夹角为90°时(例如A＝90°)，定理变为b2＋c2＝a2，这就是勾股定理．所以余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 例1　(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝30°，求c，A. (2)在△ABC中，a＋c＝6，b＝2，cos B＝，求a，c的值． 解：(1)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋9－2×2×3×＝3， 所以c＝. 所以cos A＝＝＝0， 所以A＝90°. (2)由余弦定理，得cos B＝， 则＝， 得a2＋c2＝ac＋4，由a＋c＝6， 得(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36， 所以ac＋4＝36－2ac，解得ac＝9， 所以解得a＝3，c＝3. 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．　　 对点练1．在△ABC中，a＝1，c＝2，B＝60°，则b＝(　　 ) A．1 B．2 C． D． 答案：D 解析：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12＋22－2×1×2×＝3，所以b＝.故选D. 知识点二　解三角形 问题3.在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？ 提示：根据余弦定理的变形得cos A＝，cos B＝，cos C＝. 1．余弦定理的推论 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 则cos A＝，cos B＝，cos C＝. 学生用书第38页 2.解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 例2　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． 解：根据余弦定理的推论，得cos A＝＝＝. 因为A∈(0，π)，所以A＝，cos C＝＝＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. 所以B＝π－A－C＝π－－＝， 所以A＝，B＝，C＝. 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理的推论求出三个角的余弦值，进而求出三个角．　　 对点练2．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小． 解：因为a>c>b，所以A为最大角． 由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝－. 又因为0°<A<180°，所以A＝120°， 所以最大角A为120°. 利用余弦定理判断三角形的形状 例3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a－b＝2c cos B，cos A＋cos B＝1，则△ABC一定是(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．无法确定 答案：A 解析：由2a－b＝2c cos B及余弦定理，可得2a－b＝2c·，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝，又C∈(0，π)，所以C＝.所以A＋B＝，因为cos A＋cos B＝1，所以cos A＋cos (－A)＝cos A＋cos cos A＋sin sin A＝cos A－cos A＋sin A＝cos A＋sin A＝1，即sin (＋A)＝1.因为A∈(0，π)，所以＋A＝，A＝，从而B＝π－A－C＝.所以△ABC为等边三角形．故选A. 1．判断三角形形状的两条思考路线 (1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； (2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．　　 2．判断三角形的形状时的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2； (4)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 对点练3．在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　 ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 答案：D 解析：在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．故选D. 知识 (1)余弦定理．(2)解三角形．(3)利用余弦定理判断三角形的形状． 方法 化归转化、数形结合． 易错误区 易忽略三角形中的隐含条件． 学生用书第39页 1．在△ABC中，B＝30°，BC＝2，AB＝，则边AC的长等于(　　 ) A．－1 B．1 C． D．2 答案：B 解析：由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝3＋4－2×2×＝1，解得AC＝1.故选B. 2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　 ) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为a>b>c，所以C为最小角且C为锐角，由余弦定理，得cos C＝＝＝.又因为C为锐角，所以C＝.故选B. 3．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝b cos A，则△ABC一定是(　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：C 解析：由余弦定理有c＝b×，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC一定是直角三角形．故选C. 4．在△ABC中，若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝______． 答案：120° 解析：由c2＝a2＋b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－ab，cos C＝＝＝－，由于0°<C<180°，所以C＝120°. 学科网（北京）股份有限公司 $$