13、6.4.1 平面几何中的向量方法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．4　平面向量的应用 6．4.1　平面几何中的向量方法 [学习目标]　1.能用向量方法解决简单的几何问题．　2.体会向量在解决数学问题中的作用，培养数学建模的核心素养． 应用一　用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 例1　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上． 证明：设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n， 所以＝. 又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上． 1．几何图形中要证明线段AB∥CD，只需证明存在实数λ，使得＝λ或x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2). 2．几何图形中要证明A，B，C三点共线，只需证明存在实数λ，使得＝λ或存在实数t，使得＝t＋(1－t)(O为A，B，C所在直线外一点).　　 对点练1．如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：HG∥EF. 证明：因为⊥，⊥，所以∥. 设＝λ(λ≠0)，则＝λ， 同理＝λ. 于是＝－＝λ(－)＝λ， 所以∥， 因为点G不在直线EF上，所以HG∥EF. 学生用书第34页 应用二　用向量解决平面几何中的垂直问题 例2　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明：法一：设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 所以·＝· ＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 则＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 利用向量解决垂直问题的方法和途径 1．方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 2．途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．　　 对点练2．如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明：法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， 所以·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. 所以⊥，即DP⊥EF. 法二：如图，建立平面直角坐标系． 设正方形ABCD的边长为1，P(x，x)，则D(0，1)，E(x，0)，F(1，x)，所以＝(x，x－1)，＝(1－x，x)， 由于·＝x(1－x)＋x(x－1)＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. 应用三　利用平面向量求几何中的长度问题 例3　如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形．试用向量法证明：PA＝EF. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设 正方形的边长为1， DP＝λ(0<λ<)， 则A(0，1)，P， E，F， 所以＝， ＝. 所以||＝ ＝ ， ||＝ ＝ ， 所以||＝||，所以PA＝EF. 用向量法求平面几何中线段的长度问题，即向量模的求解，一是利用图形特点选择基底，转化为向量的数量积，用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，利用向量的坐标计算|a|＝(a＝(x，y))，即把向量问题中的几何关系代数化，使问题解决程序化，从而降低难度．　　 对点练3．在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝ ＝＝ ＝2， 所以5－2a·b＝4，所以a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝. 应用四　利用平面向量求几何中的角度问题 例4　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求： (1)AD的长； (2)∠DAC的大小． 解：(1)设＝a，＝b，则＝＋ ＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 所以||2＝2＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3. 所以AD＝. (2)设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)，则θ为与的夹角． 所以cos θ＝＝ ＝＝＝0. 所以θ＝90°，即∠DAC＝90°. 学生用书第35页 用向量法求角度的策略 1．将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可． 2．注意两向量夹角和要求角的关系．　　 对点练4．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos ∠DOE＝________． 答案： 解析：以OA，OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示．则D，E. 所以＝，＝，故cos ∠DOE＝＝＝，即cos ∠DOE的值为. 知识 (1)用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题．(2)利用向量证明平面几何中的垂直问题．(3)利用平面向量求几何中的长度．(4)利用平面向量求几何中的角度． 方法 转化法、数形结合法． 易错误区 不能将几何问题转化为向量问题． 1．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　 ) A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 答案：C 解析：(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，所以CA＝CB，则△ABC是等腰三角形．故选C. 2．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　 ) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案：A 解析：因为＝(3，3)，＝(－2，－2)，所以＝－，所以与共线．又||≠||，所以该四边形为梯形．故选A. 3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos ∠BDC等于(　　 ) A.－ B． C．0 D． 答案：B 解析：如图建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，所以＝(－3，－4)，＝(3，－4).又∠BDC为，的夹角，所以cos ∠BDC＝＝＝.故选B. 4．在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝________． 答案：1 解析：因为＝＋(＋)，所以－＝(＋)，＝(＋)，所以AP为Rt△ABC斜边BC的中线．所以||＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$