12、重点题型强化(二) 平面向量中的最值、范围问题-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

[学习目标]　1.进一步掌握平面向量线性运算和数量积的计算方法．　2.掌握平面向量中最值、范围问题的解决方法，培养数学运算核心素养． 题型一　向量线性运算中的最值、范围问题 例1　如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________． 答案：(－1，0) 解析：由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ>1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又因为C，O，D三点共线，令＝－μ(μ>1)，则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0). 利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后利用函数的性质或基本不等式求最值(范围).　　 对点练1．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________． 答案： 解析：因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，所以＝＋＝－，所以＝m＋n＝m＋n(－)＝(m－n)·＋n，由P，B，C三点共线得，m－n＋n＝m＋n＝1(m，n>0)，所以＋＝(＋)(m＋n)＝＋＋≥＋2＝＋＝(当且仅当3n2＝4m2时，取等号)，即＋的最小值为. 题型二　向量数量积的最值、范围问题 例2　在Rt△ABC中，B＝90°，AC＝2AB＝2，＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，则·的最大值为(　　) A． B． C．1 D．2 答案：C 解析：由题可知||＝1，||＝，·＝0.则·＝(＋)·(＋)＝(＋＋λ)·＝[(1－λ)－]·[＋(1－λ)－(1－λ)]＝[(1－λ)－]·[λ＋(1－λ)]＝－λ2＋4λ－3＝－(λ－2)2＋1≤1.则·的最大值为1.故选C. 解决此类问题时，先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解．在求最值时我们也可以利用图形直观求解．　　 对点练2．已知△ABC是边长为a的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2a2 B．－a2 C．－a2 D．－a2 答案：B 解析：以BC的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，a)，B(－a，0)，C(a，0).设P(x，y)，则＝(－x，a－y)，＝(－a－x，－y)，＝(a－x，－y)，所以＋＝(－2x，－2y)， 所以·(＋)＝－x·(－2x)＋(a－y)·(－2y)＝2x2－ay＋2y2＝2x2＋2(y－a)2－a2.所以当x＝0，y＝a时，·(＋)取得最小值－a2.故选B. 题型三　向量模的最值、范围问题 例3　已知G为△ABC的重心(三条中线的交点)，∠BAC＝，·＝－2，则||的最小值为(　　) A. B． C． D． 答案：C 解析：取BC的中点为D，连接AD，如图所示．因为G为△ABC的重心，所以＝＝(＋)，因为∠BAC＝，·＝－2，所以·＝||||·cos ＝－2，所以||||＝4，又||＝|＋|＝ ＝ ＝≥ ＝，当且仅当||＝||＝2时取等号，故||的最小值为.故选C. 求向量模的最值(范围)一般要利用公式|a|＝转化为函数或基本不等式求解，或利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解．　　 对点练3．已知|a＋b|＝2，向量a，b的夹角为，则|a|＋|b|的最大值为________． 答案： 解析：将|a＋b|＝2两边平方并化简得(|a|＋|b|)2－|a||b|＝4，由基本不等式得|a||b|≤()2＝，故(|a|＋|b|)2≤4，即(|a|＋|b|)2≤，即|a|＋|b|≤，当且仅当|a|＝|b|＝时，等号成立，所以|a|＋|b|的最大值为. 题型四　向量夹角的最值、范围问题 例4　非零向量a，b满足2a·b＝a2b2，|a|＋|b|＝2，则a与b的夹角的最小值为________． 答案： 解析：设a与b的夹角为θ，由2a·b＝a2b2知，2|a|·|b|·cos θ＝a2b2.由基本不等式知，cos θ＝|a|·|b|≤()2＝，当且仅当|a|＝|b|＝1时等号成立，即cos θ≤，又θ∈[0，π]，故θ∈.故a与b的夹角的最小值是. 求向量夹角的最值(范围)问题一般转化为求向量夹角θ的余弦值cos θ＝的最值(范围)问题．　　 对点练4．已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b夹角θ的最小值为 (　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，a·b＝b2，cos θ＝＝＝＝＝，又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，所以0<cos θ≤，所以θ的最小值为.故选C. 学生用书第33页 1．已知向量＝(1，0)，＝(0，2)，＝t，则当||取最小值时，实数t＝(　　) A． B． C． D．1 答案：A 解析：由＝t得＝＋t(－)，则＝(1，0)＋t＝(1－t，2t)，||＝＝＝，则当t＝时，||有最小值．故选A. 2．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E为边AB的中点，点F为边BC上的动点，则·的取值范围是(　　) A．[2，4] B．[2，3] C．[3，4] D．[1，4] 答案：B 解析：以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则D(0，1)，E(1，0).设F(2，m)(0≤m≤1)，所以＝(1，－1)，＝(2，m－1)，所以·＝2－m＋1＝3－m.因为0≤m≤1，所以2≤3－m≤3，即·的取值范围为[2，3].故选B. 3．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A.3 B．4 C．5 D．9 答案：D 解析：由图可知x，y均为正数，且x＋y＝1，所以＋＝(＋)(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝且x＋y＝1，即x＝，y＝时等号成立，则＋的最小值为9.故选D. 4．已知平面向量a，b，c满足a·b＝b·c＝c·a＝－1，|a|＝1，|b|≥2，若c＝xa＋yb，x，y∈R，则x＋y的取值范围是________． 答案： 解析：设a＝(1，0)，由a·b＝c·a＝－1，可设b＝(－1，m)，c＝(－1，n)，因为|b|2＝1＋m2≥4m2≥3，又c＝xa＋yb＝(x－y，my)＝(－1，n)，所以而b·c＝1＋mn＝－1mn＝－2，所以x＋y＝－1＋2y＝－1＋2×＝－1－，又因为m2≥3，所以x＋y∈. 学科网（北京）股份有限公司 $$