11、重点题型强化(一) 平面向量数量积的综合应用-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

[学习目标]　1.掌握平面向量线性运算与数量积运算．　2.会用数量积运算解决向量的模、夹角、垂直等问题，培养数学运算核心素养． 题型一　平面向量数量积的计算 例1　如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则·＝(　　) A．－15 B．－13 C．13 D．15 答案：C 解析：法一(基底法)：因为∠ABC＝90°，F为AB的中点，CB＝8，AB＝12，所以FA＝FB＝6，所以CF＝＝10，又CE＝3，所以FE＝CF－CE＝7，所以·＝(－)·(－)＝·－·(＋)＋2＝6×6×(－1)＋7×7＝13. 法二(坐标法)：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(12，0)，B(0，0)，C(0，8)，F(6，0).在Rt△CBF中，CF＝＝10，又CE＝3，所以CE＝FC，即FE＝FC，则＝＋＝＋＝(6，0)＋(－6，8)＝(，)，同理＝(－，)，所以＝(，－)，＝(－，－)，则·＝×(－)＋(－)2＝13. 平面向量数量积的运算方法 1．当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为非零向量a，b的夹角). 2．当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 3．选择合适的基底，转化为基底去解决问题．　　 对点练1．如图，在等腰直角△ABC中，斜边AC＝2，M为AB的中点，D为AC的中点．将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则·＝(　　) A.－2 B．－ C．－1 D．－ 答案：D 解析：连接MD(图略)，因为在等腰Rt△ABC中，斜边AC＝2，M为AB的中点，D为AC的中点，所以DM＝BC＝，DE＝AC＝1，＝＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝－1＝－.故选D. 题型二　平面向量数量积的应用 角度1　模的问题 例2－1　在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边CD上，满足＝.若||＝4，∠DAB＝，且⊥，则||＝________． 答案：1 解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 设||＝a，则由题意可得E(2，0)，B(4，0)，C(4＋，a)，F(＋，a).所以＝(2＋，a)，＝(－，a)，因为⊥，所以·＝0，即(2＋)(－)＋(a)2＝0，所以5a2＋3a－8＝0，解得a＝1或a＝－(舍去)，所以||＝1. 角度2　角的问题 例2－2　已知矩形ABCD的边长满足BC＝3AB，点P满足＝(＋)，则cos ∠DPA的值为________． 答案：－ 解析：以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设BC＝3AB＝3，则点A(0，0)，B(1，0)，C(1，3)，D(0，3)，＝(＋)＝(1，0)＋(1，3)＝(1，)，则点P(1，)，所以＝(－1，)，＝(－1，－)，因此||＝＝，||＝，·＝(－1)×(－1)＋×(－)＝1－＝－.cos ∠DPA＝＝＝－. 角度3　垂直问题 例2－3　已知a，b都是单位向量，若a－b与b垂直，且|a＋b|＝k|a－b|，则k的值为(　　) A．1 B． C．2 D． 答案：D 解析：由于a－b与b垂直，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝a·b－＝0，a·b＝，由|a＋b|＝k|a－b|两边平方并化简得2＋2a·b＝k2(2－2a·b)，即2＋1＝k2(2－1)，k2＝3，k＝或k＝－(舍去)，所以k的值为.故选D. 1．求模：利用公式|a|＝. 2．求夹角：cos θ＝. 3．判定垂直：若a，b为非零向量，则a⊥ba·b＝0.　　 对点练2．(1)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 (2)(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则(　　) A．|b|＝2 B．a·b＝－2 C．(4a＋b)⊥ D．|a－b|＝1 答案：(1)C　(2)AC 解析：(1)由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5.故选C. (2)由题意可知，b＝(2a＋b)－2a＝－＝，则|b|＝||＝2，故A正确；a·b＝·＝||·||cos 120°＝×2×2×(－)＝－1，故B错误；(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×(－1)＋22＝0，则(4a＋b)⊥，故C正确；|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×(－1)＋4＝7≠1，即|a－b|≠1，故D错误．故选AC. 学生用书第31页 题型三　平面向量的数量积与三角函数的综合 例3　已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值． 解：f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－) ＝3cos x－sin x＝2cos (x＋). 因为x∈[0，π]，所以x＋∈， 从而－1≤cos (x＋)≤. 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3； 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2. 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1．题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解． 2．当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解．　　 对点练3．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)求证：向量a＋b与a－b垂直； (2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值(其中k为非零实数). 解：(1)证明：因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， 所以|a|＝＝1，同理|b|＝1. 所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝ 1－1＝0， 所以向量a＋b与a－b垂直． (2)a·b＝cosαcos β＋sin αsin β＝cos (β－α). 因为|ka＋b|＝|a－kb|， 所以|ka＋b|2＝|a－kb|2， 即k2a2＋2ka·b＋b2＝a2－2ka·b＋k2b2， 即k2＋2ka·b＋1＝1－2ka·b＋k2， 整理得a·b＝cos (β－α)＝0. 因为0<β<α<π，则0<α<π，0<β<π， 所以－π<β－α<0，所以β－α＝－. 1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D 解析：由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.故选D. 2．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点M是边BC的中点，则·的值为(　　) A．－6 B．6 C．－8 D．8 答案：A 解析：因为在△ABC中，点M是边BC的中点，所以＝(＋)，因为＝－，AB＝4，AC＝2，所以·＝(－)·(＋)＝(2－2)＝×(4－16)＝－6. 3．(多选)已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　) A.a·b＝5 B．|a－b|＝ C．〈a，b〉＝ D．a∥b 答案：ABC 解析：a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，故A正确；a－b＝(2，1)，|a－b|＝＝，故B正确；|a|＝＝，|b|＝＝，则cos 〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉＝，故C正确；3×(－2)≠(－1)×1，故D错误．故选ABC. 4．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 答案：D 解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $$