10、6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 [学习目标]　1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．　2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题，培养数学运算核心素养． 知识点一　平面向量数量积的坐标表示 问题1.在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2. 向量数量积的坐标表示 1．语言表示：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 2．坐标表示：已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2． 例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 学生用书第28页 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.故选B. (2)由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.故选C. 数量积坐标运算的方法 进行平面向量的数量积的坐标运算的前提是牢记相关的运算法则和运算性质，通常有两种解题方法：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知进行计算． [提醒]　如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法求平面向量的数量积．　　 对点练1．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝______． 答案： 解析：建立平面直角坐标系如图所示， 则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，因为＝2，所以F.所以＝(2，1)，＝－(2，0)＝，所以·＝(2，1)·＝2×＋1×2＝. 知识点二　平面向量的模 问题2.若向量a＝(x，y)，你能计算出向量a的模吗？若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能计算出的模吗？ 提示：根据a2＝a·a＝x2＋y2，所以＝，＝(x2－x1，y2－y1)， 则＝. 1．向量模的坐标公式 若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，|a|＝. 2．两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式 ||＝． 例2　设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　 ) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝＝.故选A. 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 1．求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．　　 2．a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 对点练2．已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________． 答案：5 解析：因为a＝(2，1)，所以a2＝5，又|a＋b|＝5，所以(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，所以5＋2×10＋b2＝50，所以b2＝25，所以|b|＝5. 知识点三　平面向量的夹角、垂直问题 问题3.你能根据向量数量积的坐标运算，表示两非零向量的夹角吗？当夹角为时，得到的结论是什么？ 提示：若两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝． 当夹角为时，x1x2＋y1y2＝0. 1．两向量夹角的余弦公式 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝． 2．向量垂直的充要条件 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0． 学生用书第29页 [微提醒]　(1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆． (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角． 例3　已知a＝(4，3)，b＝(－1，2). (1)求a与b夹角的余弦值； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 解：(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝＝5，|b|＝＝，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝＝. (2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)， 所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝. 解决向量夹角问题的方法及注意事项 1．求解方法：由cos θ＝＝，直接求出cos θ. 2．注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.　　 对点练3．已知a＝，b＝， (1)若a∥b，求实数m的值； (2)若a⊥b，求实数m的值； (3)若a与b夹角为锐角，求实数m的取值范围． 解：因为a＝，b＝， (1)若a∥b，则1×m＝2×1，解得m＝2. (2)若a⊥b，则1×2＋1×m＝0，解得m＝－2. (3)若a与b夹角为锐角，则a·b＝1×2＋1×m>0，且a与b不同向共线，即m≠2， 所以实数m的取值范围为(－2，2)∪(2，＋∞). 知识 (1)平面向量数量积的坐标表示．(2)a⊥bx1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量). (3)cos θ＝(θ为非零向量a，b的夹角). 方法 化归与转化 易错误区 两向量夹角的余弦公式易记错． 1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，3)，则a·(2a＋b)＝(　　 ) A．0 B．1 C．－1 D．2 答案：A 解析：由题意，向量a＝(1，－1)，b＝(－1，3)，可得a2＝2，a·b＝1×(－1)＋(－1)×3＝－4，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝2×2－4＝0.故选A. 2．已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为(　　 ) A． B． C． D． 答案：A 解析：|a|＝＝5，|b|＝＝13，a·b＝3×5＋4×12＝63.设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝.故选A. 3．已知向量a＝，b＝，若⊥，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 答案：D 解析：因为a＝，b＝，所以a＋λb＝，a＋μb＝，由⊥可得，·＝0，即＋＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 4．已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则·＝________，||＝________． 答案：7　 解析：＝(1，－3)，所以·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3，2)，所以||＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$