9、6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 [学习目标]　1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示．　2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．　3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养数学运算、逻辑推理核心素养． 知识点一　数乘运算的坐标表示 问题1.已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐标吗？ 提示：λa＝λ(x i＋y j)＝λxi＋λyj，即λa＝(λx，λy). 平面向量数乘运算的坐标表示 1．语言表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 2．坐标表示：a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)． 例1　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝. 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行计算，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．　　 对点练1．已知向量a＝，b＝，c＝(4，7). (1)求2a－3b＋c； (2)求满足c＝m a＋n b的实数m，n. 解：(1)2a－3b＋c＝－＋(4，7)＝(17，－3). (2)因为c＝m a＋n b，所以＝m＋n＝， 所以解得 知识点二　平面向量共线的坐标表示 问题2.已知a，b两个向量，则两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个向量共线？ 提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，则有(x1，y1)＝λ(x2，y2)消去λ，得x1y2－x2y1＝0. 平面向量共线的坐标表示 条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0 结论 向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0 例2　(1)下列各组向量共线的是(　　) A．a1＝(－2，3)，b1＝(4，6) B．a2＝(2，3)，b2＝(3，2) C．a3＝(1，2)，b3＝(7，14) D．a4＝(－3，2)，b4＝(6，4) 学生用书第26页 (2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？ 答案：(1)C 解析：(1)对于A，因为a1＝(－2，3)，b1＝(4，6)，则(－2)×6－3×4≠0，即a1与b1不共线；对于B，因为a2＝(2，3)，b2＝(3，2)，则2×2－3×3≠0，即a2与b2不共线；对于C，因为a3＝(1，2)，b3＝(7，14)，则1×14－2×7＝0，即a3与b3共线；对于D，因为a4＝(－3，2)，b4＝(6，4)，则(－3)×4－2×6≠0，即a4与b4不共线．故选C. (2)＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6). 法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，所以与共线，通过观察可知，和方向相反． 法二：因为＝－2，所以与共线且方向相反． 向量共线的判定方法 　　 对点练2．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，且＝，＝，求证：∥. 证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2). 由题意知＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)， 所以＝＝(，)，＝＝(－，1)， 所以＝(x1，y1)－(－1，0)＝(，)， ＝(x2，y2)－(3，－1)＝(－，1)， 所以(x1，y1)＝(－，)，(x2，y2)＝(，0)， 所以＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(，－). 因为4×(－)－(－1)×＝0， 所以∥. 应用一　利用向量共线的坐标表示求参数 例3　(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________． (2)已知＝(k，2)，＝(1，2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________． 答案：(1)－　 (2)－ 解析：(1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)， 所以0－(－10－30k)＝0，解得k＝－. (2)＝－＝(1－k，2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)， 由题意可知∥， 所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－(k＝1不合题意，舍去). 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 1．利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解． 2．利用向量共线的坐标表示直接求解． [提醒]　当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值．　　 对点练3．(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　 ) A．－1或 B．1或－ C．－1 D． (2)若a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，所以m＝.故选D. (2)因为a＝(，cos α)，b＝(3，sin α)，a∥b，所以sin α－3cos α＝0，即tan α＝，又0<α<，故α＝. 应用二　有向线段定比分点坐标公式及应用 例4　如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标． 解：因为D是AB的中点，所以点D的坐标为， 因为＝2，所以＝2， 设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得 x＝＝， y＝＝， 即点G的坐标为. 学生用书第27页 1.用有向线段的定比分点坐标公式(λ≠－1)可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比． 2．若＝λ，其中λ≠0. (1)当λ>0时，点P在线段P1P2上； (2)当λ<－1时，点P在线段P1P2的延长线上； (3)当－1<λ<0时，点P在线段P1P2的反向延长线上．　　 对点练4．已知点A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝2|BP|，则点P的坐标为________． 答案：(6，－9) 解析：设点P的坐标为(x，y)，由条件可知＝－2，由定比分点坐标公式可知即点P的坐标为(6，－9). 知识 (1)平面向量数乘运算的坐标表示．(2)两个向量共线的坐标表示． 方法 化归与转化 易错误区 两个向量共线的坐标表示的公式易记错． 1．已知向量a＝， b＝，那么2a＋b＝(　　 ) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为a＝，b＝，所以2a＋b＝2(1，－1)＋＝＋＝.故选A. 2．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么a－b等于(　　 ) A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6) 答案：C 解析：因为a∥b，所以a＝λb，则得所以b＝(－2，4)，所以a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).故选C. 3．若三点A，B，C共线，则实数t＝(　　 ) A．－4　　 B．－5 C．4　　　D．5 答案：A 解析：＝，＝，由题意可得∥，则t＋2＝－2，解得t＝－4.故选A. 4．已知A，B，O为坐标原点，A，B，M三点共线，且＝＋λ，则点M的坐标为________． 答案： 解析：因为A，B，M三点共线，且＝＋λ，所以λ＝，又A，B，即＝(2，－1)，＝(－1，1)，所以＝(2，－1)＋(－1，1)＝，则点M的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $$