7、6.3.1 平面向量基本定理-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6．3　平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1　平面向量基本定理 [学习目标]　1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义，培养数学抽象核心素养．　2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．　3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题，培养数学运算核心素养． 知识点　平面向量基本定理 问题1.如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量．请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量． 提示：如图，＝e1，＝λ1e1，＝e2，＝λ2e2，＝a＝＋＝λ1e1＋λ2e2. 问题2.上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？ 提示：分解方法唯一．如果a还可以表示成μ1e1＋μ2e2的形式，那么λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，可得(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，由此式可推出λ1－μ1，λ2－μ2全为0(假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，不妨假设λ1－μ1≠0，则e1＝－e2.由此可得e1，e2共线，这与已知e1，e2不共线矛盾，即λ1＝μ1，λ2＝μ2，因此，分解方法是唯一的． 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2．基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． [微提醒]　(1)同一平面内基底有无数多个，只要两向量不共线即可． (2)当基底确定后，任一向量的表示方法是唯一的，即λ1，λ2是唯一确定的．特别地：当λ1e1＋λ2e2＝0时，λ1＝λ2＝0. 例1　(1)(多选)如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，λ，μ为实数，则下列说法正确的是(　　 ) A．若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 B．对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对 学生用书第20页 C.线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量 D．当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量 (2)(多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是(　　 ) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 答案：(1)AC　(2)ACD 解析：(1)对于A，若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.故A正确；对于B，由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．故B不正确；对于C，平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．故C正确；对于D，结合向量加法的平行四边形法则易知，当λ和μ取不同值时向量λe1＋μe2表示不同向量．故D不正确．故选AC. (2)选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以6e1－8e2与3e1－4e2共线，所以不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底．故选ACD. 对基底的理解 1．两个向量是否能构成基底，关键是看两向量是否共线．若共线，则不能作为基底，若不共线，则可作为基底． 2．一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一地线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则　　 对点练1．已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________． 答案：3 解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，由平面向量基本定理得所以所以x－y＝3. 应用一　用基底表示向量 例2　如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示 ，. 解：因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点， 所以＝＝＝b. ＝＋＋＝－－＋ ＝－×b－a＋b＝b－a. 用基底表示向量的两种基本方法 1．运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直至用基底表示为止． 2．通过列向量方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求解，即若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则根据来构建方程(组)，使得问题获解．　　 对点练2．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时， 可表示为________，以{a，c}为基底时，可表示为________． 答案：a＋b　2a＋c 解析：以{a，b}为基底时，＝＋＝a＋b；以{a，c}为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得＝2a＋c. 应用二　平面向量基本定理的应用 例3　如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c. (1)用a，c表示向量； (2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF. 解：(1)因为＝－＝c－a，点D是AC的中点， 所以＝＝(c－a)， 因为点E是BD的中点， 所以＝(＋)＝＋ ＝－a＋(c－a)＝c－a. (2)设＝λ(0<λ<1)， 所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a) ＝(1－λ)a＋λc. 又＝a＋c，所以λ＝， 所以＝，所以AF∶CF＝4∶1. 学生用书第21页 用向量解决平面几何问题的一般步骤 第一步：选取合适的基底，要注意与已知条件的联系； 第二步：将相关向量用基底表示，将几何问题转化为向量问题； 第三步：利用向量知识进行向量运算，得到向量问题的解； 第四步：将向量的解转化为平面几何问题的解．　　 对点练3．如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值． 解：设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2. 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μ e1＋μ e2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 而＝＋＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得解得 所以＝，＝， 所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. 知识 (1)平面向量基本定理．(2)用基底表示向量．(3)平面向量基本定理的应用． 方法 数形结合 易错误区 忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量． 1．在△ABC中，＝c，＝b，点D满足＝2，若将{b，c}作为一个基底，则＝(　　) A．b＋c B．c－b C．b－c D．b＋c 答案：A 解析：因为＝2，所以－＝2(－)，所以－c＝2(b－)，所以＝b＋c.故选A. 2．如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝(　　) A．－2e1－4e2 B．－4e1－2e2 C．e2－3e1 D．－e2＋3e1 答案：C 解析：如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C. 3．已知非零向量 ， 不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系式是(　　 ) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 答案：A 解析：由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2，即x＋y－2＝0.故选A. 4．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案： 解析：如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，又因为与不共线，所以λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$