6、6.2.4 第2课时 向量数量积的运算律及应用-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第2课时　向量数量积的运算律及应用 [学习目标]　1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．　2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明，培养数学运算核心素养． 知识点　向量数量积的运算律 问题1.向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？ 提示：不相同；数量积得到的结果是实数；而数乘运算得到的结果是向量． 问题2.类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 提示：满足交换律和分配律． 1．向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 2．多项式乘法与向量数量积的相同点 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a [微提醒]　(1)a·b＝b·c推不出a＝c. (2)a，c不共线时，(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量． 例1　(1)(多选)如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的有(　　) A．＋＋＝0 B．(－)·(－)＝0 C．(·)＝(·) D．|＋|＝|＋－| (2)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，向量a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，则a·b＝________． 答案：(1)BC　(2)－ 解析：(1)对于A，＋＋＝2，故A错误；对于B，因为－＝－＝，－＝－＝，由正六边形的性质知OF⊥EA，所以(－)·(－)＝0，故B正确；对于C，设正六边形的边长为1，则·＝1×1×cos 120°＝－，·＝1×1×cos 60 °＝，所以(·)＝(·)⇔－＝，式子显然成立，故C正确；对于D，设正六边形的边长为1，|＋|＝||＝1，|＋－|＝|＋－|＝|－|＝||＝，故D错误．故选BC. (2)因为单位向量e1，e2的夹角为120°，且a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，所以a·b＝(－e1＋2e2)·(2e1＋e2)＝－2e＋3e1·e2＋2e＝－2＋3×1×1×cos 120°＋2＝－. 1．运用a·b＝|a||b|cos θ计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，求解时要灵活运用数量积的运算律． 2．若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算．　　 对点练1．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.求a·b与(a－2b)·(a＋b)的值． 解：a·b＝|a||b|cos θ ＝5×4·cos 120°＝－10； (a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2 ＝|a|2－|a||b|·cos 120°－2|b|2 ＝25－(－10)－2×42＝3. 学生用书第18页 应用一　向量的模的计算 例2　已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(　　) A．6 B．4 C． D． 答案：C 解析：a·(a－2b)＝0，所以a2－2a·b＝0.因为|a|＝1，|b|＝2，所以a·b＝，所以|a＋b|＝＝＝.故选C. 求向量的模的基本思路 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据．这种通过求自身的数量积从而求模的思路是解决向量的模的问题的主要方法．此外，根据平面图形求向量的模时，要注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化．　　 对点练2．已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　) A．2 B．2 C．6 D．12 答案：B 解析：因为|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1·cos 60°＋16×12＝12，所以|a－4b|＝2.故选B. 应用二　向量的夹角与垂直 角度1　两向量的夹角 例3　已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|＝，则a与b的夹角为(　　) A．120° B．60° C．30° D．45° 答案：D 解析：由|a－b|＝可得(a－b)2＝，即|a|2－2a·b＋|b|2＝，故1－1＋|b|2＝，即|b|＝.设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ＝，即cos θ＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°.故选D. 求两向量夹角的方法 求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系再求解.　　 角度2　利用数量积解决向量的垂直问题 例4　已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b.求实数m为何值时，c与d垂直． 解：由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1. 若c⊥d，则c·d＝0. 所以c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0， 所以m＝. 故当m＝时，c与d垂直． 向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算代入，与向量的模、夹角相关的知识结合解题．　　 对点练3．已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小． 解：设a与b的夹角为θ，由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cos θ－8＝0， 所以cos θ＝， 又0°≤θ≤180°，所以θ＝60°， 即a与b的夹角为60°. 知识 (1)向量数量积的运算律．(2)利用数量积求向量的模和夹角．(3)向量垂直的应用． 方法 类比法 易错误区 忽略向量数量积不满足结合律． 学生用书第19页 1．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b＝(　　) A．1 B．－4 C．－ D． 答案：C 解析：由已知，得e1·e2＝|e1||e2|cos ＝，所以a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－.故选C. 2．若两个单位向量a，b的夹角为，则|4a＋5b|＝(　　) A.1 B． C． D．7 答案：C 解析：因为(4a＋5b)2＝16a2＋40a·b＋25b2＝16×12＋40×1×1×cos ＋25×12＝21，所以|4a＋5b|＝.故选C. 3．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(t m＋n)，则实数t＝(　　) A.4 B．－4 C． D．－ 答案：B 解析：由题意知＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2，因为n⊥(tm＋n)，所以n·(t m＋n)＝0，所以t m·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，所以t＝－4.故选B. 4．已知向量a，b满足(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ＝________． 答案： 解析：因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝.又a·b＝|a||b|cos θ＝cos θ，所以cos θ＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$