5、6.2.4 第1课时 两向量的夹角及数量积的概念-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

6.2.4　向量的数量积 第1课时　两向量的夹角及数量积的概念 [学习目标]　1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．　2.掌握向量数量积的定义及投影向量，培养数学抽象核心素养．　3.会计算平面向量的数量积，培养数学运算核心素养． 知识点一　两向量的夹角 问题1.在功的公式W＝|F||s|cos θ中，θ是谁与谁的夹角？ 提示：θ是向量F与向量s的夹角． 1．夹角：已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 当θ＝0时，a与b同向； 当θ＝π时，a与b反向． 2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. [微提醒]　(1)两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为. (2)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角． 例1　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°. 以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°，所以与的夹角为30°，与的夹角为60°. 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 1．求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出． 2．特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.　　 对点练1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：C 解析：如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.故选C. 学生用书第15页 知识点二　两向量的数量积 问题2.物体在力F的作用下产生位移s时，力F所做的功是如何计算的？ 提示：＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角). 1．平面向量数量积的意义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0． 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos_θ． (2)a⊥b ⇔ a·b＝0． (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. (5)cos θ＝. [微提醒]　(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． (4)|a|＝ 是求向量的长度的工具． 例2　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解：(1)因为与的夹角为60°， 所以·＝||||cos 60°＝1×1×＝. (2)因为与的夹角为120°， 所以·＝||||cos 120°＝1×1×(－)＝－. (3)因为与的夹角为60°， 所以·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 定义法求平面向量的数量积 若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．　　 对点练2．(1)在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________． (2)设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________． 答案：(1)0　－16　－16　(2) 解析：(1)由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16. (2)设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 知识点三　投影向量 问题3.如图所示，设∠AOB＝θ，过点A作OB的垂线AD，则线段OD就是线段OA在OB上的投影，如何用|OA|和θ表示|OD|? 提示：|OD|＝|OA|cos θ. 1．如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 学生用书第16页 2．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. [微提醒]　(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量． (2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性． 例3　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影向量． 解：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10. (2)a在b上的投影向量为|a|cos θ e＝e＝ －e＝－e. 投影向量的求法 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θ e(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量).　　 对点练3．已知e为单位向量，＝6，向量a，e的夹角为，则a在e上的投影向量是(　　) A．2e B．0 C．－3e D．－2e 答案：C 解析：e为单位向量，则 ＝1，则向量a在向量e上的投影向量为cos θ＝6cos e＝－3e.故选C. 知识 (1)向量的夹角．(2)向量数量积的定义．(3)投影向量．(4)向量数量积的性质． 方法 数形结合 易错误区 向量夹角共起点；a·b>0两向量夹角为锐角，a·b<0两向量夹角为钝角． 1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于(　　 ) A．3 B．－3 C．－3 D．3 答案：B 解析：由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×(－)＝－3.故选B. 2．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是(　　 ) A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0 B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π) C．若a⊥b，则a·b＝0 D．|a|＝ 答案：CD 解析：a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故A错误；向量夹角的范围是[0，π]，故B错误；由数量积的性质知，故C正确；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝，故D正确．故选CD. 3．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·＝______． 答案：2 解析：·＝||||cos ∠ABC＝2××cos 45°＝2. 4．已知|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________． 答案：e 解析：设a与b的夹角为θ，a在b上的投影向量为|a|cos θ e＝2×e＝e. 学科网（北京）股份有限公司 $$